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(共48张PPT)
24.1 在重复试验中观察随机现象
第24章 随机事件及其概率
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
事件的认识
事件发生的机会
用频率估计随机事件发生的机会的大小
知识点
事件的认识
知1－讲
1
事件类型 定义
确定 事件 必然 事件 无须通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件
不可能事件 在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件
随机事件 在重复试验条件下无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件，我们称它们为随机事件
知1－讲
说明
所有事件都是在一定条件下进行分类的，当条件改变时，事件的类型可能发生改变.如：标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，但当气压高于标准大气压时，水的沸点提高，水加热到100℃沸腾就不是必然事件了.
知1－讲
特别提醒
一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或违背客观存在的事实的事件是不可能事件.
知1－练
例 1
下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？为什么？
(1)在地面上向空中抛一块石头，石头终将落下；
(2)甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，甲获胜；
(3)从一副扑克牌(不含大小王)中随意抽取一张牌，这张牌正好是红桃；
(4)两个负数的商小于0.
知1－练
解题秘方：紧扣事件的定义进行判断.
解：(1)是必然事件；(2)，(3)是随机事件；(4)是不可能事件. 因为向空中抛一块石头，石头最终一定会落下，所以(1)是必然事件. 因为比赛前不能判断甲获胜还是乙获胜，所以(2)是随机事件. 因为从一副扑克牌中随意抽取一张牌，这张牌可能是红桃，也可能是黑桃、梅花或方块，所以(3)是随机事件. 因为两个负数的商为正数，所以(4)是不可能事件.
知1－练
1-1. 下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？并说明理由.
(1)13个人中至少有两个人出生的月份相同；
(2)十五的月亮像一艘弯弯的小船；
(3)三角形的内角和等于180°；
(4)李叔叔买彩票，中奖.
知1－练
解：必然事件是(1)(3)；不可能事件是(2)；随机事件是(4).
理由：(1)一年有12个月，13个人中一定至少有两个人出生的月份相同，是必然事件. (2)十五的月亮是圆的，一定不会像一艘弯弯的小船，是不可能事件. (3)三角形的内角和等于180°是定理，一定是正确的，是必然事件. (4)李叔叔买彩票，有可能中奖，也有可能不中奖，无法确定，是随机事件.
知2－讲
知识点
事件发生的机会
2
1. 一般地，随机事件发生的机会是有大小的，不同的随机事件发生的机会的大小有可能不同.
2. 事件发生的机会 (1)必然事件：发生的机会为100%或1；
(2)不可能事件：发生的机会为0；
(3)随机事件：发生的机会介于0和1之间(不包括0和1).
知2－讲
特别提醒
描述随机事件发生的机会大小的常用语：
“机会极小”“不大可能”“可能”“很可能” “机会极大”等.
知2－练
一个不透明的口袋中有7个红球，5个黄球，4个绿球，这些球除颜色外没有其他区别，现从中任意摸出1个球.
例 2
解题秘方：口袋中哪种颜色的球最多，则摸到这种颜色的球的机会最大.
知2－练
(1)你认为摸到哪种颜色的球的机会最大？
(2)如果要使摸到绿球的机会最大，那么需要在这个口袋中至少再放入多少个绿球？
解：摸到红球的机会最大.
当绿球的个数最多时，摸到绿球的机会最大，
因为原来口袋中红球的个数最多，有7 个，
所以至少要再放入7－4＋1＝4(个)绿球.
知2－练
2-1.一个不透明的袋子里有10个完全相同的球，分别标注序号1~10.从中任意摸一个球，摸到球上标注的序号是下面哪一种数的机会最小？( )
A. 奇数 B. 偶数
C. 质数 D. 合数
C
知3－讲
知识点
用频率估计随机事件发生的机会的大小
3
在随机事件中，虽然其结果是随机的、无法预测的，但随着试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率会逐渐稳定到某一个数值附近. 正因为随机现象发生的频率有这样趋于稳定的特点，所以我们就可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小.
知3－讲
说明
(1)随着试验次数的增加，随机事件发生频率的图象呈现“先波澜起伏，后风平浪静”的趋势.
(2)频率是通过试验得到的，可能取多个数值，具有随机性，所以只能近似地反映事件发生机会的大小.
知3－讲
特别提醒
每一个随机事件发生的频率在很多次试验之后才会稳定下来, 所以把仅通过几次试验得到的频率作为某一随机事件发生的机会的稳定值是不恰当的.
知3－练
为了预测某一事件A发生的机会的大小，九年级(1)班全体同学进行试验探究. 全班共分6组，每组10人，每人试验2次，每组试验结果如下：
例 3
组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
事件A发生的频数 9 12 8 14 2 16
知3－练
请你给出一种可以估计事件A发生的机会的大小的方法，并给出你的估计值(画出统计表和统计图，结果保留一位 小数).
解题秘方：紧扣频率对随机事件发生机会的估计，计算出频率来解决问题.
知3－练
解：将各组试验的次数及事件A发生的频数分别逐个相加，
计算出事件A发生的频率，得下表：
试验次数 20 40 60 80 100 120
事件A发生的频率 0.45 0.53 0.48 0.54 0.45 0.51
知3－练
画出频率折线统计图(如图24.1-1)，可以估计事件A发生的机会为0.5 .
知3－练
3-1.某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购买100元以上的商品就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪个区域就可以获得相应的奖品，活动进行中的一组统计数据如下表：
知3－练
(1)完成上面的表格.
转动转盘的次数m 落在“铅笔”区域的次数n 落在“铅笔”区域的频率
100 68
150 111
200 136
500 345
800 564
1 000 701
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
知3－练
(2)请估计当n很大时，频率将会接近多少？(精确到 0.1)
解：估计当n很大时，频率将会接近0.7.
在重复试验中观察随机现象
事件
确定
事件
不可能事件
必然事件
随机事件
事件
发生
机会
大小
频率
方法
利用数量多少比较事件发生的机会的大小
1
小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，他们准备借助网络评价选择该城市的一家餐厅用餐，小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，并从每家餐厅的网络评价中分别随机选取了1 000条，统计如下：
例 4
(注：网上对于餐厅的评价等级从高到低，依次为五星、四星、三星、二星、一星)
小芸一家选择在_____(填“甲”“乙”或“丙”)餐厅用餐,获得良好用餐体验(即评价不低于四星)的机会最大.
思路导引：
丙
解：甲餐厅四星、五星评价条数之和为210＋538＝748，乙餐厅四星、五星评价条数之和为187＋460＝647，丙餐厅四星、五星评价条数之和为388＋486＝874.因为647<748<874，所以应选择丙餐厅.
解题通法
比较随机事件发生的机会的大小时,在条件相同、总数一定的情况下,结果数越大,这个事件发生的机会越大.
方法
利用面积大小比较事件发生的机会的大小
2
小华在如图24.1－2所示的4×3正方形网格纸板上玩飞镖游戏(每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等)，飞镖落在阴影
区域与落在白色区域的机会哪个大？
例 5
解题秘方：比较图中白色区域和阴影区域的面积的大小即可判断飞镖落在哪个区域的机会大.
解：设每个小正方形的边长均为1，
则白色区域的面积是×2＋＝7，
所以阴影区域的面积是3×4－7＝5.
因为7＞5，所以飞镖落在白色区域的机会大.
解法提醒
可以运用面积法.因为飞镖落在纸板的任何一个点的机会都相等，故哪个区域的面积大，飞镖落在哪个区域的机会就大.
易错点
对事件的类型分辨不清而出错
下列成语：①水中捞月；②拔苗助长；③守株待兔；
④瓮中捉鳖.其中所描述的事件是确定事件的是_______. (填序号)
例 6
错解：①②
正解：①②为不可能事件，③为随机事件，④为必然事件.
①②④
诊误区：
必然事件和不可能事件都是确定事件，错误的原因是把确定事件理解为不可能事件.
考法
识别事件的类型
[中考·武汉]掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是( )
A. 向上两面的数字和为5
B. 向上两面的数字和大于1
C. 向上两面的数字和大于12
D. 向上两面的数字和为偶数
例 7
试题评析：本题考查识别事件的类型，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的定义是解题的关键．
解：A.向上两面的数字和可能是5，也可能不是5，因此是随机事件；B.向上两面的数字和最小是2，一定大于1，因此是必然事件；C.向上两面的数字和最大是12，因此是不可能事件；D.向上两面的数字和可能是奇数，也可能是偶数，因此是随机事件.
答案：B
1. [中考·徐州]一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A. 至多有1个球是红球
B. 至多有1个球是黑球
C. 至少有1个球是红球
D. 至少有1个球是黑球
C
2. 下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是( )
A. 空山新雨后，天气晚来秋.(王维《山居秋暝》)
B. 危楼高百尺，手可摘星辰.(李白《夜宿山寺》)
C. 野火烧不尽，春风吹又生.(白居易《赋得古原草送别》)
D.小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头.(杨万里《小池》)
B
3. 在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5 个标有“高铁”的小球(除标记外其他都相同)放入盒中，小红从盒中随机摸出 1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是( )
A. 摸出“北斗”小球的机会最大
B. 摸出“天眼”小球的机会最大
C. 摸出“高铁”小球的机会最大
D. 摸出三种小球的机会相同
C
4. “一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
A
5. 如图，转动下面三个可以自由转动的转盘(转盘均被八等分)，当转盘停止转动后，根据“指针落在白色区域内”的机会的大小，将转盘的序号按事件发生的机会从小到大排列.
解：按“指针落在白色区域内”的机会从小到大排列为①③②.
6. 在一个不透明的盒子中有2个白球和1个黄球，这些球除颜色外其余都相同，每次从该盒中摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀再摸，在摸球试验中得到下表中部分数据(频率保留两位小数)：
(1)将数据表补充完整；
试验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
摸出黄球 的频数 14 24 38 52 67 86 97 111 120 136
摸出黄球 的频率 0.35 0.32 0.33 0.34 0.35 0.35 0.33 0.34
0.30
0.36
(2)根据上表中的数据在下图中绘制折线统计图；
解：绘制折线统计图如图.
(3)观察折线统计图可以发现，随着试验次数的增加，摸出黄球的频率有何特点？
解：观察折线统计图可以发现，随着试验次数的增加，摸出黄球的频率逐渐稳定.
(4)请你估计从该盒中摸出1个球是黄球的机会是多少(结果保留两位小数).
解：观察折线统计图可知，摸出黄球的频率逐渐稳定在0.34附近，故估计从该盒中摸出1个球是黄球的机会是34%.(共23张PPT)
满分题溯源
第24章 随机事件及其概率
重点题型
概率思想在学科中的应用
应用
利用学科内的知识求概率
1
例 1
九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动：A箱中装有4张相同的卡片，它们分别写有数字0，1，2，3；B箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字0，1，2；小明从A箱中随机抽取一张，将其数字作为m的值，小凡从B箱中随机抽取一张，将其数字作为n的值.
求小明、小凡随机抽取的数恰好使关于x的一元二次方程 x2－2mx＋n2＝0有两个不相等的实数根的概率.
解：列表如下：
n m 0 1 2
0 (0，0) (0，1) (0，2)
1 (1，0) (1，1) (1，2)
2 (2，0) (2，1) (2，2)
3 (3，0) (3，1) (3，2)
由表可知共有12种等可能的结果.
∵一元二次方程x2－2mx＋n2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝ (－2m)2－4n2＞0，整理可得m2＞n2.
∵m，n均为非负数，∴m＞n，
由表可知满足m＞n的结果有6种，∴小明、小凡随机抽取的数恰好使关于x的一元二次方程 x2－2mx＋n2＝0有两个不相等的实数根的结果有6种，∴所求概率为＝.
如图1，一只蚂蚁在正方形ABCD区域内爬行，点O是对角线的交点，∠MON＝ 90°，OM，ON分别交线段AB，BC于点M，N，求蚂蚁停留在阴影区域的概率.
例 2
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBO＝∠NCO＝45°， OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴ ∠ BON＋∠CON＝90°.
∵∠MON＝90°，∴∠BON＋∠BOM＝90°，
∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON，
∴S四边形OMBN＝S△BOC＝S正方形ABCD，
∴蚂蚁停留在阴影区域的概率为.
例 3
从－1，2，－3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝，则这些反比例函数中，其图象在第二、四象限的概率是_____.
解：依题意，画树状图如图2所示.
由树状图可知，共有12
种等可能的结果，其中
ab的值为负数的结果有8种，即反比例
函数y＝的图象在第二、四象限的结果有8种，所以其概率为＝.
在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界.某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A，B，C，D，每个学生可选择其中1类学习使用.
例 4
为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图3所示的两幅不完整的统计图.请根据图中信息，完成下列问题：
(1)这次抽取的学生总人数为_______人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为_________度.
解：这次抽取的学生总人数为40÷20%＝200(人).扇形统计图中A类软件所占圆心角为×360°＝144°.
200
144
(2)补全条形统计图.
解：B类软件的人数为200－80－20－40＝60(人).
补全条形统计图如图3①所示.
(3)社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4人中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图法或列表法求出恰好抽到使用A，B两类软件各1人的概率.
解：由题意，列表如下：
A A A B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
A A，A A，A A，B
B B，A B，A B，A
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A，B两类软件各1人的结果有6种，
故所求概率为＝.
例 5
在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,字母为“s”的概率是(　　)
A. B. C. D.
解：由题意知任意选择一个字母有10种等可能的结果，字母为“s”有3种等可能的结果，所以字母为“s”的概率是.
C
田忌赛马是一个为大家所熟知的故事.传说战国时 期，齐王与田忌各有 上、中、下等三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹 马，每匹马赛一次，赢得两局为胜.看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.
如果齐王的马按上、中、下的顺序出阵比赛，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？
例 6
解：当田忌的马随机出阵比赛时，双方马的对阵情况如 下表：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
由表可知，共有6种等可能的结果，其中田忌获胜的结果有1种，所以田忌获胜的概率为.
例 7
如图4所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为______.
解：画树状图如图5所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中能够让灯泡发光的结果有6种，所以能够让灯泡发光的概率为＝.
无色酚酞溶液是一种常用的酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色，现有五瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、弱酸性柠檬水溶液、火碱溶液，从这五瓶中同时取出两瓶，将酚酞试剂分别滴入这两瓶液体中，则滴入后只有一瓶呈现红色的概率是( )
A. B. C. D.
例 8
解：将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、弱酸性柠檬水溶液、火碱溶液分别记作A，B，C，D，E，列表如下：
A B C D E
A (B，A) (C，A) (D，A) (E，A)
B (A，B) (C，B) (D，B) (E，B)
C (A，C) (B，C) (D，C) (E，C)
D (A，D) (B，D) (C，D) (E，D)
E (A，E) (B，E) (C，E) (D，E)
由表可知，共有20种等可能的结果，其中滴入后只有一瓶呈现红色的有12种结果，所以滴入后只有一瓶呈现红色的概率为＝.
答案：B(共132张PPT)
24.2 随机事件的概率
第24章 随机事件及其概率
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
概率及其意义
等可能事件的概率的计算公式
频率与概率
用画树状图法求概率
用列表法求概率
知识点
概率及其意义
知1－讲
1
1. 概率的定义 一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率.
2. 事件A发生的概率的表示方法 P(A)＝a(0≤a≤1)，读作“事件A发生的概率等于a”.
3. 概率的意义 用概率来衡量事件在某一次试验中发生的可能性的大小.
知1－讲
注意
事件发生的概率大，并不表示事件一定会发生；反之，概率小，也不表示事件一定不会发生.
知1－讲
4. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近0(如图24.2－1).
知1－讲
特别解读
必然事件、不可能事件、随机事件的概率：
(1)当事件A为必然事件时，P(A)＝1；
(2)当事件A为不可 能事件时，P(A)＝0；
(3)当事件A为随机事件时，0知1－练
例 1
已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法
错误的是( )
A. 连续抛一枚均匀硬币2 次必有1 次正面朝上
B. 连续抛一枚均匀硬币10 次都可能正面朝上
C. 大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100 次出现正面朝上50 次
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
知1－练
解题秘方：紧扣概率是刻画一个事件发生的可能性大小的数值进行说明.
解：A. 连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能2次都正面朝上，也可能都反面朝上，此选项错误；B. 连续抛一枚均匀硬币10次都正面朝上，是一个随机事件，
有可能发生，此选项正确；
知1－练
C. 反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现正面朝上50次，此选项正确；
D. 通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，正面朝上和反面朝上的概率均为，此选项正确.
答案：A
知1－练
1-1. “某商场举办有奖销售活动，每张奖券中奖的可能性相同，其中一等奖中奖概率为0.001”这句话指的是( )
A. 很有可能中一等奖
B. 1 000个顾客中一定有一人中一等奖
C. 可能中一等奖，但机会不是很大
D. 以上说法都不正确
C
知2－讲
知识点
等可能事件的概率的计算公式
2
1. 一般地，在一次试验中，如果有n种可能出现的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝.
知2－讲
注意
求随机事件发生的概率的关键有两点：(1)要清楚关注的事件包含的结果是什么，包含多少种等可能的结果；(2)要清楚该试验共有多少种等可能的结果.这两种结果数的比就是所关注的事件发生的概率.
知2－讲
2. 计算简单随机事件发生概率的主要类型
个数类型 如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能出现的结果数，然后看符合条件的结果数，再运用公式计算
面积类型 如果随机试验是向区域S内投掷一点，那么掷在区域A(A在S内)内的概率P＝
知2－讲
特别解读
1. 使用概率公式计算的试验需具有以下特点：
(1)每一次试验中，可能出现的结果是有限个；
(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
2. 同一事件，发生的概率和不发生的概率之和为1.
知2－练
[中考·资阳] 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是_______．
解题秘方：求简单随机事件(个数类型)发生概率的步骤：(1)求出示，若购票系统随机分所有的等可能的结果数，即n的值；(2)求出事件包含的结果数，即m
的值；(3)通过求得事件发生的概率.
例 2
知2－练
解：由题意知，掷一次小正方体，每个面朝上的机会均等.
因为数字1，2，3，4，5，6中，奇数有1，3，5，共3个，
所以P(朝上一面的数字是奇数)＝＝.
知2－练
2-1. 嘉淇的爸爸购买高铁票时，选定的车厢只剩余一排的5个座位，如图所示，若购票系统随机分配座位，则嘉淇的爸爸购买到靠窗(紧邻窗户)座位的概率为_____.
知2－练
如图24.2－2，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色.任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是________.
例 3
知2－练
解题秘方：计算红色区域的面积与整个转盘面积的比值即可得解.
解：设每个扇形的面积为a，则红色区域的面积为3a，整个转盘的面积为5a. 所以P(指针指向红色区域)＝＝.
知2－练
3-1. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
B
知识点
频率与概率
知3－讲
3
1. 频率 在相同的条件下，重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，即称为事件A发生的频率.
知3－讲
2. 频率与概率的关系
频率 概率
区别 试验值或使用时的统计值 理论值
与试验次数的变化有关 与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点等外界因素有关 与试验人、试验时间、试验地点等外界因素无关
联系 试验次数越多，频率越趋向于概率
知3－讲
3. 用频率估计概率 当试验次数n很大时，事件A发生的频率具有一定的稳定性，其数值将会在某个确定的数值附近摆动，并且试验次数越多，事件A发生的频率越接近这个数值，这个确定的数值就是事件A发生的概率，因 此，可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.
知3－讲
特别解读
1. 试验得出的频率只是概率的估计值.
2. 用频率估计概率时，必须保证每次试验在相同条件下进行且试验次数要足够多.
3. 概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
知3－练
在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的，与频率无关
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
例 4
知3－练
解题秘方：紧扣频率与概率的关系进行判断，要注意：(1)频率和概率都可以反映事件发生的可能性的大小；(2)试验次数很大时，可以用随机事件发生的频率来估计概率.
解：在大量重复试验下，事件A发生的频率逐渐稳定到某个确定的常数附近，这个确定的常数就是事件A发生的概率，故选项A，B，C错误，选项D正确.
答案：B
知3－练
4-1.某人做抛掷硬币试验，抛掷n次,正面朝上有m次(正面朝上的频率是)，则下列说法正确的是( )
A. 一定等于 B. 一定不等于
C. 多抛掷一次，更接近
D. 随着抛掷次数的增加，稳定在
D
知3－练
一枚木质中国象棋棋子“兵”，它的正面雕刻着一个“兵”字，它的反面是平的，将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下，由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子下掷的试验，试验数据如下表(频率保留两位小数)：
例 5
知3－练
解题秘方：先利用频率的意义将表格补充完整并画出频率分布折线图，再利用频率与概率的关系估计概率.
知3－练
(1)请将数据表补充完整；
试验次数 20 40 60 80 100 120 140 160
“兵”字面朝上的次数 14 18 38 47 52 66 78 88
“兵”字面朝上的频率 0.70 0.63 0.59 0.55 0.56
0.45
0.52
0.55
知3－练
(2)在图24.2-3中画出“兵”字面朝上的频率变化趋势图；
解：画频率变化趋势图如图24.2-3所示.
知3－练
(3)如果试验继续进行下去，根据上表的数据，这个试验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少(结果保留两位小数).
解：由表可知随着试验次数的增加，“兵”字面朝上的频率稳定在0.55附近，所以估计“兵”字面朝上的概率是0.55.
知3－练
5-1. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，
知3－练
则符合这一结果的试验最有可能的是(　　)
A. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是4
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
D. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
A
知识点
用画树状图法求概率
知4－讲
4
1. 用画树状图法求概率　用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2. 适用条件　当一次试验涉及两个或两个以上因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法来求事件发生的概率，如从3个口袋中取球.
知4－讲
3. 具体步骤 画树状图如图
24.2－4所示.
由树状图可知，共有m·n·k
种等可能的结果，分析所关
注的事件包含多少种结果，
再利用概率公式求概率.
知4－讲
特别提醒
1. 当事件发生的可能结果数较少时，可以直接列举.
2. 用画树状图法求事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性必须相等.
3. 当试验包含两步时，可用画树状图法，也可用其他方法.当试验在三步或三步以上时用画树状图法比较方便.
知4－练
例 1
A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的接球者随机地传给其他两人中的某一人.
解题秘方：利用画树状图法求总结果数和所求事件的结果数，再利用概率公式解题即可.
知4－练
(1)求两次传球后，球恰好在B手中的概率；
解：画树状图如图24.2－5①所示.
由树状图可知，两次传球后共有
4种等可能的结果，球恰好在B手
中的结果只有1种，所以两次传球后，
球恰好在B手中的概率为.
知4－练
(2)求三次传球后，球恰好在A手中的概率.
解：画树状图如图24.2－5②所示.由树状图可知，三次传球后共有8种等可能的结果，球恰好在A手中的结果有2种，所以三次传球后，球
恰好在A手中的概率为＝ .
知4－练
6-1.［中考·宿迁］某校建议学生利用周末时间积极参加社会实践活动.某周末有两个项目供学生选择：A.文明交通劝导志愿行，B.乡村教育关爱行，每名学生只能选择其中一个项目．
(1)甲学生选择A项目的概率为_______；
知4－练
(2)请用画树状图的方法 ，求甲、乙、丙三名学生恰好选择同一个项目的概率．
解：画树状图如图所示.
由树状图可知一共有8种等
可能的结果，其中甲、乙、
丙三名学生恰好选择同一个项目的结果有2种，所以甲、乙、丙三名学生恰好选择同一个项目的概率是＝.
知5－讲
知识点
用列表法求概率
5
1. 列表法 用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
2. 适用条件　当一次试验涉及两个因素，且可能出现的等可能结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，常采用列表法.
知5－讲
3. 具体步骤　选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为竖列，列出表格.
第二步 第一步 B1 B2 B3 … Bn
A1 (A1，B1) (A1，B2) (A1，B3) … (A1，Bn)
A2 (A2，B1) (A2，B2) (A2，B3) … (A2，Bn)
… … … … …
Am (Am，B1) (Am，B2) (Am，B3) … (Am，Bn)
知5－讲
由表格可知，共有mn种等可能的结果，分析所关注的事件包含多少种结果，然后用概率公式计算概率.
知5－讲
特别提醒
1. 列表法适用于求两步试验的概率，利用表格的行和列，分别表示出试验涉及的两次操作或两个条件.
2. 列表法不适用于求三步及三步以上试验的概率.
3. 在运用列表法分析随机事件发生的概率时，数据或事件的顺序不能混淆，如(1，2)与(2，1)不一定是相同的 事件.
知5－练
小刚和小明两位同学玩一种游戏，游戏规则：两人各执象、虎、鼠三张牌，同时随机各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出的牌相同，则为平局. 例如，小刚出“象”牌，小明出“虎”牌，则小刚胜；又如，两人同时出“象”牌，则两人平局.
例 7
知5－练
解题秘方：抓住小明、小刚同时进行两种相同的操作的情况来列表，然后利用概率公式求概率.
知5－练
(1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少？
解：P(一次出牌小刚出“象”牌)＝.
知5－练
(2)如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1，B1，C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？用列表法加以说明.
知5－练
解：列表如下：
小刚 小明 A B C
A1 (A，A1) (B，A1) (C，A1)
B1 (A，B1) (B，B1) (C，B1)
C1 (A，C1) (B，C1) (C，C1)
知5－练
由表可得小刚和小明出牌的结果共有9种，它们出现的可能性相等，满足小刚胜小明的结果有(A，B1)，(B，C1)，(C，A1)，共3种，
∴ P(一次出牌小刚胜小明)＝＝.
知5－练
7-1.［中考·吉林］在“健康中国2030”与“体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展了“2025健康长跑”活动.由于参加的人数较多，场地空间有限，活动需分A，B，C三组进行，每人只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机软件完成.请用列表的方法，求参与者小顺和小利被分配到同一组的概率.
知5－练
解：列表如下：
小利 小顺 A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
知5－练
由表格可知，一共有9种等可能的结果，其中参与者小顺和小利被分配到同一组的结果有3种，所以参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为＝.
知5－练
“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票(如图24.2-6)中的两张送给好朋友小乐．
例 8
知5－练
小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是( )
A. B. C. D.
知5－练
解题秘方：紧扣放回两次操作相同，不放回两次操作不相同，反映在列表中就是舍不舍去表格中一条对角线上的所有结果求概率.
知5－练
解：将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”的邮票分别记为A，B，C，D．根据题意，列表如下：
第二次 第一次 A B C D
A (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C)
知5－练
由表格可知共有12 种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的结果有2 种. 故其概率为＝ .
答案：C
知5－练
8-1. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，用列表的方法求抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的 概率.
知5－练
解：将《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A，B，C，D. 根据题意列表如下：
第1次 第2次 A B C D
A (B，A) (C，A) (D，A)
B (A，B) (C，B) (D，B)
C (A，C) (B，C) (D，C)
D (A，D) (B，D) (C，D)
知5－练
由表可知总共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的有2种结果，
所以抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是＝ .
随机事件的概率
随机
事件
的概率
意义
公式
求法
非等可
能事件
等可能
事件
用频率估计概率
画树状图法
列表法
题型
利用概率求元素的个数
1
[中考·泸州]在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为_______．
例 9
3
思路导引：
解：设黄球的个数为x.
根据题意，得＝，解得x＝3.
经检验，x＝3是原分式方程的解，所以黄球的个数为3．
解题策略
运用方程思想，根据概率公式列出方程求出黄球的个数.
题型
求无放回和有放回事件的概率
2
[一题多解] 现有4张卡片，其中3张卡片正面上的图案是“ ”，1张卡片正面上的图案是“ ”，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面上的图案相同的概率是( )
A. B. C. D.
例10
思路导引：
解：(方法一) 3张正面上的图案是“ ”的卡片分别用A1，A2，A3表示，正面上的图案是“ ”的卡片用B表示，根据题意列表如下：
由表格可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面上的图案相同的结果有6种，所以P(两张卡片正面上的图案相同)＝＝.
(方法二)3张正面上的图案是“ ”的卡片分别用A1，A2，A3表示，正面上的图案是“ ”的卡片用B表示，根据题意画树状图如图24.2－7所示.
由树状图可知共有12种等可能的结果，其中两张卡片正面上的图案相同的结果有6种，所以P(两张卡片正面上的图案相同)＝＝.
答案：D
另解 用“连线法”求无放回事件的概率：
在求无放回事件的概率时，除了用画树状
图法或列表法外，还可以运用连线法，如本题
中可用一条线段连结任意两张卡片，如图24.2－8，显然共有6种连法，其中两张卡片正面上的图案相同的连法有3种，所以P(两张卡片正面上的图案相同)＝＝. 此法虽然简单，但却不是“通法”，其应用前提是无放回事件.
[中考·陕西]某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”(分别记作A，B，C，D，E)共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.
例11
同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图24.2－9所示的图案，卡片背面保持完全相同．
解题秘方：本题元素较多，用画树状图法求概率更简便，注意“有放回”和“无放回”的区别.
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为______.
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一 张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.
解：画树状图如图24.2－10所示.
由树状图可知一共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的结果有20种，
所以这两个小组研究方向不同的概率是＝．
详解
(1)依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张，所以将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为.
题型
利用概率判断游戏的公平性
3
有3张扑克牌，分别是红桃3、红 桃 4和黑桃5，把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张.
例12
思路导引：
(1)请用树状图表示所有可能的结果.
解：根据题意画树状图如图24.2－11所示.
(2)甲、乙两人做游戏，现有两种游戏规则的方案：
A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得的数字和为奇数则甲胜，否则乙胜.那么这两种游戏规则方案下的游戏公平吗？请说明理由.
解：这两种游戏规则方案下的游戏都不公平. 理由如下：
由(1)中树状图可以得出，共有9种等可能的结果.
A方案：由树状图可知两次抽得相同花色的结果有5种，
所以P(甲胜)＝，P(乙胜)＝.
因为＞，所以A方案下的游戏不公平.
B方案：由树状图可知两次抽得的数字和为奇数的结果有 4种，
所以P(甲胜)＝，P(乙胜)＝.
因为＜，所以B方案下的游戏不公平.
技巧点拨
保证游戏公平的方法：
1. 游戏不涉及分值时，使参与游戏各方获胜的概率相等即可；
2. 游戏涉及分值时，可以通过控制分值，使各方获胜的概率与相应分值的乘积相等.
易错点
不能正确区分“有放回”与“无放回”而出错
一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标号外其他都相同.从中随机摸出两个小球，求摸出的小球标号之和不大于5的概率.
例13
错解：画树状图如图24.2－12所示.
由树状图可知共有25种等可能的结果，其中摸出的小球标号之和不大于5的结果有10种，所以P(摸出的小球标号之和不大于5)＝＝.
正解：画树状图如图24.2－13所示.
由树状图可知共有20种等可能的结果，其中摸出的小球标号之和不大于5的结果有8种，所以P(摸出的小球标号之和不大于5)＝＝.
诊误区：
在摸球游戏中，“有放回”与“无放回”直接影响第二次摸球的等可能的结果.“有放回”，则第二次摸球时包含摸出的这个球；“无放回”，则第二次摸球时不包含摸出的这个球，需注意“一次拿两个球”与“无放回”是同一种类型.
考法
利用频率估计概率
1
[中考·扬州] 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验后，整理的试验数据如下表：
例14
累计抛掷次数 盖面朝下次数 盖面朝下频率
50 28 0.560 0
100 54 0.540 0
200 106 0.530 0
累计抛掷次数 盖面朝下次数 盖面朝下频率
300 158 0.5267
500 264 0.5280
1000 527 0.5270
2000 1056 0.5280
3000 1587 0.5290
5000 2650 0.5300
随着试验次数的增大，“盖面朝下”的概率接近于______ (精确到0.01)．
试题评析：本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够仔细观察表格并掌握随着试验次数的增大，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率.
解：由表中数据可得，随着试验次数的增大，“盖面朝 下”的概率接近于0.53.
0.53
考法
利用画树状图法或列表法求概率
2
某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班.
例15
试题评析：本题考查了求随机事件的概率.(1)直接利用概率公式求解；(2)列表或画树状图可得所有等可能的结果数以及甲、乙两位学生分到同一个班的结果数，然后利用概率公式求解.
(1)“学生甲分到A班”的概率是_______；
(2)请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位学生分到同一个班的概率.
解：(方法一)根据题意，列表如下：
甲 乙 A B C
A (A，A) (B，A) (C，A)
B (A，B) (B，B) (C，B)
C (A，C) (B，C) (C，C)
由表可知总共有9种结果，每种结果出现的可能性相等，其中甲、乙两位学生分到同一个班的结果有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3种，所以P(甲、乙两位学生分到同一个班)＝＝.
(方法二)根据题意，画树状图如图24.214所示.
由树状图可知总共有9种结果，
每种结果出现的可能性相等，
其中甲、乙两位学生分到同一
个班的结果有3种，所以P(甲、乙两位学生分到同一个班)＝＝.
考法
概率在学科内的应用
3
[中考·成都] 从－1，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为______.
例16
试题评析：本题主要考查一元二次方程的根的判别式、利用画树状图法或列表法求概率.根据根的判别式和一元二次方程的定义可得a，b的关系式，再列出表格得到所有等可能的结果，找到满足关系式的结果，最后用概率公式求解即可．
解：因为关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根，
所以所以b2≥4a且a≠0.
由题意列表如下：
b a －1 1 2
－1 (－1，1) (－1，2)
1 (1，－1) (1，2)
2 (2，－1) (2，1)
由表格可知，一共有6种等可能的结果，其中满足b2≥4a且a≠0的结果有3种，
所以关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有实数根的概率为＝.
考法
概率在跨学科中的应用
4
[中考·内江]如图24.2－15所示的电路中，当随机闭合开关S1，S2，S3中的两个时，灯泡能发光的概率为( )
A. B.
C. D.
例17
试题评析：本题主要考查物理中的串并联电路和概率的计算，理解灯泡发光的原理，用画树状图法或列表法求出概率.
解：由电路图可知，当同时闭合开关S1和S2，S1和S3时，灯泡能发光.画树状图如图24.2－16所示.
由树状图可知共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的结果有4种，
所以灯泡能发光的概率为＝.
答案：A
1. [中考·山西] 彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展.已知某种彩票的中奖概率为1%，则下列说法正确的是(　　)
A. 买1张这种彩票，不可能中奖
B. 买200张这种彩票，可能有2张中奖
C. 买100张这种彩票，一定有1张中奖
D. 若100人每人买1张这种彩票，一定会有一人中奖
B
2. 为了解某市某条斑马线前机动车驾驶员“礼让行人”的情况，下表是某志愿者小组6周累计调查的数据，由此数据可估计机动车驾驶员“礼让行人”的概率为( )
C
抽查车辆数 200 400 800 1 500 2 400 4 000
“礼让行人”的驾驶员人数 186 376 761 1 438 2 280 3 810
“礼让行人”的频率 0.93 0.94 0.95 0.96 0.95 0.95
A. 0.93 B. 0.94 C. 0.95 D. 0.96
3. 从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为( )
A. B. C. D.
B
4. 甲骨文是我国已发现最早 的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌 成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽” “山” “河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.
把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是( )
A. B. C. D.
B
5. [中考·苏州] 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______.
6. 某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图，假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是_______.
3
7. [中考·浙江] 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是_______.
8. 如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是___ .
9. [中考·眉山] 一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地、大小都相同的小球，若红球个数比黑球个数的2倍多40个，从袋中任取1个球是白球的概率是.
(1)求袋中红球的个数；
解：290×＝10(个)，290－10＝280(个)，
(280－40)÷(2＋1)＝80(个)，280－80＝200(个).
答：袋中红球的个数是200个.
(2)求从袋中任取1个球是黑球的概率.
解：由(1)知袋中黑球有80个，故从袋中任取1个球是黑球的概率是＝.
10. [中考·长春]长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰 名.甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A，B，C三个出口中随机选择一个出口驶 出.用画树状图(或列表)的方法，
求甲、乙两辆车从同一出口驶
出的概率.
解：由题意画树状图如图所示.
由树状图可知一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有3种，所以甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是＝.
11. 学校拟举办文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程.
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是_______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
解：画树状图如图所示.
由树状图可知，一共有9种等可能
的结果，其中两次摸到的数字之和
大于4的结果有3种，两次摸到的数字之和小于4的结果有3种，所以小明获胜的概率为＝，小红获胜的概率为＝，
因为＝，所以这个游戏对双方公平.
12. [镇海中学自主招生] 如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏，他们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个.
“字母棋”的游戏规则如下：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负.
(1)若小玲先摸，则小玲摸到C棋的概率是多少？
解：小玲摸到C棋的概率为.
(2)已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋子中随机摸一个，问这一轮比赛中小玲胜小军的概率是多少？
解：因为小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋子中随机摸一个，所以小军摸到棋子的等可能的结果有9种.只有当小军摸到D棋时，小玲胜小军，所以这一轮比赛中小玲胜小军的概率为.
(3)已知小玲先摸一个棋子，小军在剩余的 9个棋子中随机摸一个，问这一轮比赛中小玲摸到哪种棋时胜小军的概率最大？
解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B棋、C棋，则小玲胜，所以小玲胜小军的概率是;
②若小玲摸到B棋，小军摸到C棋、D棋，则小玲胜，所以小玲胜小军的概率是;
③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，则小玲胜，所以小玲胜小军的概率是;
④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，则小玲胜，所以小玲胜小军的概率是.
因为>>>，所以这一轮比赛中小玲摸到B棋时胜小军的概率最大.(共26张PPT)
项目学习9 测高如此巧妙
第24章 随机事件及其概率
实践主题：测高如此巧妙.
实践目标
1. 掌握相似三角形、锐角三角函数等几何知识及测量、尺规作图等技能，理解古人测高原理并能运用相关工具进行实地测高.
2. 能够设计并实施测高方案，结合实际问题优化测量工具与过程，提升数学建模与动手实践能力.
活动准备
知识技能准备
1. 相似三角形、锐角三角函数、解直角三角形等几何知 识；测量、尺规作图等基本技能.
2. 光照、反射等物理知识；透视原理、手工制作等美术知识；电脑制图等信息技术知识.
材料准备：卷尺、三角板、绳子、手工工具等．
活动形式：实地或实物测量、自制测量工具、比较方法优劣等.
成果形式：自制的测量工具、测量报告等.
任务一 重拾古人测量的智慧
方法探究
一、泰勒斯测高方法及原理(如图1)
1. 操作步骤：
(1)选择晴朗天气，测量待求高度物体(高度为h1)的底部中心到影子顶端的距离，记为l1；
(2)同一时刻，将竖直放置的标杆放置在同一区域的平地 上，确保其影子能完整测量，记录标杆的高度为h2，影子长度为l2；
(3)根据＝可得h1＝.
2. 方法原理：在同一时刻、同一地点，太阳光可近似看成平行光线，此时物体与其影子、标杆与其影子会构成两个相似的直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例可得＝.
二、商高测高方法及原理(如图2)
1. 操作步骤：
(1)准备“矩尺”(两条垂直的直尺，可标注刻度)，观测者站立于与物体同一水平面上，手持矩尺，确保矩尺的一条直角边与地面垂直，另一条直角边与地面平行；
(2)观测者移动位置，使矩尺的水平右端点、竖直上端点以及被测物体的顶端在同一直线上；
(3)测量关键数据：观测者到物体底部的水平距离l1、矩尺竖直边的长度h2、矩尺水平边的长度l2；矩尺与地面的高度H；
(4)依据相似三角形的比例关系计算物
体高度h1：h1＝＋H.
2. 方法原理：矩尺的两直角边与物体顶端到矩尺的竖直高度及矩尺水平右端点到物体的水平距离构成相似直角三角形，再依据对应边成比例求高度.
优劣比较
泰勒斯测高方法 商高测高方法
优势 1. 测量步骤少，仅需测量“物体影长、参照高度、参照影长”三个数据，操作效率高； 2. 工具要求极低，仅需卷尺，无需自制专用工具，筹备成本低 不受光线限制，适用场景更广泛
泰勒斯测高方法 商高测高方法
劣 势 1. 环境依赖性极强，仅能在晴天、光线充足且无遮挡的场景使用，并且需确保地面水平， 2. 受物体形态限制，对于底部不可到达的物体，难以应用； 3. 影子边缘易模糊(如树荫、傍晚光线)，导致影长测量有误差，影响结果准 确性 1. 依赖自制矩尺的精度，若矩尺直角不垂直、刻度标注不准，会直接导致核心数据偏差；
2. 操作要求高，需精准瞄准物体顶端，并且需确保地面水平，否则会破坏直角三角形构建；
3. 受物体形态限制，对于底部不可到达的物体，难以应用
任务二 测高有办法
研究练习
1. 测量一根电线杆的高度：如图3，先在地
面的适当位置O处平放一面镜子，然后沿着电线杆的底部N与镜子所在的直线向后退，退到在镜子中刚好能看到电线杆的顶端Q为止.此时，测得观察者的眼睛P到地面MN的距离PM，观察者到O处的水平距离MO，电线杆底部N到O的距离NO，即可求得电线杆的高度QN.
2. 如图4，某人测得他与一座建筑物DE的水平距离AF，将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，测得眼睛到食指的距离AG，食指的长BC，即可求得该建筑物的高度DE.
3. 我国魏晋时期著名数学家刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远，其中有一题是数学史上有名的测量问题，译文为：如图5，AH为底部H不可到达的一座山峰，A为山峰的最高点，现要测量山峰的高度AH.
立两根高三丈的标杆BC和DE，两杆相距BD＝1 000步， D，B，H三点共线，从BC退行123步到F点 ，从 F点看A 点，A，C，F三点共线；从DE退行127步到G点 ，从 G点看A点，A，E，G三点也共线，即可求出山峰的高度AH. (古制 1步＝6尺，1里＝180丈＝
1 800尺＝300步)
4. 利用解直角三角形的知识，使用皮尺和自制测量仪(如图6，图 7)，通过测量长度、角度等几何量， 测量一个海岛中的山峰高度.
测量示意图如图8，需要测量BD＝EC＝a，DE＝b，∠AEK＝α，∠ACK＝ β，即可求出此座山峰的高度AH.(自制测量仪：将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM(高度为1.5米)、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合，绕点 O转动量
角器，使观测目标P与量角器直径两端
点A，B共线，此时目标P的仰角∠POC＝
∠GON)
项目学习10 抽奖背后的秘密
第24章 随机事件及其概率
实践主题：抽奖背后的秘密.
实践目标
1. 理解概率、几何与公平性在各类抽奖工具(如骰子、转盘、盲盒)设计中的数学原理．
2. 能够运用数学工具分析与设计公平的抽奖方案，并通过数据收集、随机试验验证概率并识破不公平抽奖的套路.
活动准备
知识技能准备
1. 随机试验、可能性等概率知识；立体图形、扇形等几何知识．2. 数据处理、模型绘制等信息技术知识；赌徒心 理、前景理论等心理学知识；风险偏好等经济学知识；手工制作等美术知识．
材料准备
硬纸板、彩笔、剪刀等手工工具，骰子，硬币，转盘等．
活动形式
收集资料与数据分析、自制抽奖工具、探索中奖概率等．
成果形式
自制的工具及其说明书、试验分析报告等．
抽奖背后的秘密分析
投掷类抽奖 转盘类抽奖 其他类型抽奖
常见工具 硬币、骰子、均匀正多面体等 圆形转盘、正多边形转盘、虚拟转盘等 盲盒、福袋、刮刮乐、飞镖、抽奖箱、数字抽奖机、卡片抽奖等
投掷类抽奖 转盘类抽奖 其他类型抽奖
公平性实现条件 1. 工具形状规则(如骰子为正多面体、硬币厚度均匀)； 2. 材质均匀、重心居中； 3. 投掷环境无干扰(无外力操控力度/角度)； 4. 所有结果发生的概率相等 1. 各中奖区域圆心角相等(等分转盘)； 2. 转盘材质均匀、重心居中； 3. 旋转无阻碍(无摩擦差异)； 4. 旋转力度随机无操控 1. 奖项实际分布与宣传占比一致；
2. 抽取或开启方式随机(无顺序操控)；
3. 无隐藏奖项；
4. 中奖概率透明可验证
投掷类抽奖 转盘类抽奖 其他类型抽奖
常见作弊 方式 1. 工具造假：骰子重心偏移(内置重物)、非正多面体(如长方体骰子)、硬币厚薄不均； 2. 操控投掷：固定力度或角度让结果可控 1. 区域造假：表面等分实际圆心角不等、隐藏区域划分； 2. 转盘操控：重心偏移(边缘加重)、局部摩擦增大(阻碍某区域停留) 1. 虚假宣传：夸大中奖概率，实际奖项数量极少；
2. 分布作弊：热门奖项集中在特定批次或位置，操控抽取顺序；
3. 设计陷阱：刮刮乐中奖区域重叠、盲盒隐藏“空奖”未告知
投掷类抽奖 转盘类抽奖 其他类型抽奖
概率测算 方式 单个结果概率＝1/总结果数 概率＝对应区域圆心角之和/360° 单个奖项概率＝该奖项数量/总产品数量
试验要点 随机试验需多次重复，验证概率稳定性 自制抽奖工具：从上述抽奖工具中任选一种，保证公平性实现的条件，用自制抽奖工具开展随机试验并根据各个奖项获奖概率等写说明书即可．(共49张PPT)
章末核心要点分类整合
第24章 随机事件及其概率
1. 事件分为确定事件和随机事件，确定事件中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；随机事件的概率为0和1之间的数.
2. 求随机事件的概率主要是用列举法，列举所有机会均等的结果时，主要有画树状图法和列表法.
3. 有些事件发生的结果不能列举，求概率时只能用频率来估计概率.
专题
事件类型的判断
1
链接中考>>对事件类型的判断，关键是判断事件发生机会的大小，即概率的大小.考查时一般都是以选择题的形式出现.
例 1
[中考·湖北] 在下列事件中，不可能事件是( )
A. 投掷一枚硬币，正面向上
B. 从只有红球的袋子中摸出黄球
C. 任意画一个圆，它是轴对称图形
D. 射击运动员射击一次，命中靶心
解题秘方：根据不可能事件的定义，即在每次试验中一定不会发生的事件，对各选项逐一分析.
解：A. 投掷硬币可能出现正面向上或反面向上，是随机事件，不合题意；B. 袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄
球不可能发生，属于不可能事件，符合题意；C. 圆始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；D. 射击可能命中可能不命中，是随机事件， 不合题意.
答案：B
专题
概率的意义
2
链接中考>>利用概率的意义可以解释生活中的一些现象，比如买彩票、摸奖等.在中考中一般以选择题的形式考查，难度不大.
[中考·连云港]下列说法正确的是( )
A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件
D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连
续抛此硬币2次必有1次正面朝上
例 2
解题秘方：根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可.
解：A. 10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸或后摸的人摸到奖票的概率一样，故该选项错误，不符合题意；
B. 从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，则取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；
C. 小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗 全是6点朝上是随机事件，该选项正确，符合题意；
D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意.
答案：C
专题
用频率估计概率
3
链接中考>>有些事件的概率无法通过列举法求出，只能通过多次重复试验求出事件发生的频率，然后用频率来估计事件发生的概率.考查时一般以选择题或填空题的形式出现.
例 3
[中考·贵州] 某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋 子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：
抛掷次数n “正面朝上”的 次数m “正面朝上”的频率
20 12 0.60
60 38 0.63
100 58 0.58
抛掷次数n “正面朝上”的次数m “正面朝上”的频率
120 62 0.52
140 75 0.54
160 88 0.55
500 275 0.55
1 000 550 0.55
2 000 1 100 0.55
5 000 2 750 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为( )
A. 0.52 B. 0.55 C. 0.58 D. 0.63
解题秘方：根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值.
解：当抛掷次数较小(如20次、60次等)时，频率波动较大 (如0.60，0.63等)，当抛掷次数增加到500次及以上时，频率稳定在0.55，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55.
答案：B
专题
用画树状图法或列表法求概率
4
链接中考>>求概率的关键是列举出事件发生的所有等可能结果，列举时主要有画树状图法和列表法，两种方法有时可以同时用，有时只能选择其中一种.在列举所有等可能的结果时，要特别关注类似于拿球问题中“有放回”与“无放回”这类数学模型.考查求概率及利用概率判断游戏是否公平时，一般都是以解答题形式出现.
[中考·无锡] 一只不透明的袋子中装有1个白球、1个红球和1个绿球，这些球除颜色外都相同.
(1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到白球的概率是_______.
例 4
解题秘方：本题属于“有放回”事件，列表或者画树状图时要考虑所有的结果.
(2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求2次摸到的球颜色不同的概率. (请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析 过程)
解：根据题意，列出表格如下：
白 红 绿
白 (白，白) (白，红) (白，绿)
红 (红，白) (红，红) (红，绿)
绿 (绿，白) (绿，红) (绿，绿)
由上表可知，一共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有6种，
所以2次摸到的球颜色不同的概率为＝.
例 5
在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲、乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
解题秘方：本题的实质是“无放回”事件，画树状图或列表时要注意排除多余的结果.
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
解：画树状图如图24－1所示.
由树状图可知，一共
有12种等可能的结果，
其中两球上的数字之
和为奇数的结果有8种，所以甲获胜的概率为＝.
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
解：这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
理由：由(1)中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果有4种，所以乙获胜的概率为＝，
因为＜，所以甲获胜的概率大于乙获胜的概率.
因此这个游戏规则对甲、乙双方不公平.
专题
方程思想
5
专题解读>>在由概率求原始条件时，经常会用到方程思想，先设出未知数，再根据已知条件列出方程求解即可.
某校组织多项活动加强科学教育，八年级(一)班分两批次确定项目组成员参加“实践探究”活动，第一批次确定了7人，第二批次确定了1名男生，2名女生.现从项目组中随机抽取1人承担联络任务，若抽中男生的概率为，则第一批次确定的人员中，男生有_______人.
例 6
5
解：设第一批次确定的人员中，男生有x人，
则＝，
解得x＝5.
所以第一批次确定的人员中，男生有5人.
专题
数形结合思想
6
专题解读>>数形结合思想是将数量与图形结合起来，对题目中给定的题设和结论进行代数方面和几何方面的分析.在与面积有关的概率问题中，要根据几何图形的特点，利用转化的方法计算面积的比值来求解.
[中考·山西]如图24－2是一张矩形纸板，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连结菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是( )
A. B.
C. D.
例 7
解：如图24－2，连结EG，FH.
设AD＝BC＝2a，AB＝DC＝2b，则FH＝AD＝2a，
EG＝AB＝2b. ∵四边形EFGH是菱形，
∴S菱形EFGH＝FH·EG＝·2a·2b＝2ab.
∵M，O，P，N分别是菱形各边的中点，
∴PO＝MN＝FH＝a，MO＝NP＝EG＝b.
∵四边形MOPN是矩形，
∴S矩形MOPN＝OP·MO＝ab，
∴S阴影＝S菱形EFGH－S矩形MOPN＝2ab－ab＝ab.
∵S矩形ABCD＝BC·AB＝2a·2b＝4ab，
∴飞镖落在阴影区域的概率是＝.
答案：B
1. [中考·河北] 抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1，2，3中的一个数字)，若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是 ( )
类型
概率的应用
1
A
2. [中考·苏州] 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
3. [中考·兰州]现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着 a，e，i的三张韵母卡片(卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同)，若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是( )
A. B. C. D.
类型
求实际问题的概率
2
A
4. [西安交大少年班自主招生] 一学校共有200人，其中参加物理竞赛的有120人，参加化学竞赛的有80人，两科都不参加的有20人，则在学校中随机抽取一人，两科竞赛都参加的概率为( )
A. B. C. D.
A
5. 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注.若小庆同学从“豆包”“腾讯元宝”“即梦AI”“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为_______.
6. 甲、乙两名同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A，B，C， D)，若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率.
解：画树状图如图①，由图①可知共有12种等可能的结 果，其中乙选中球拍C有3种结果，
∴乙选中球拍C的概率为＝.
(2)双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？
解：公平．理由如下：画树状图如图②，
由图②可知共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种结果，
∴甲先发球的概率为＝，
∴乙先发球的概率为1－＝.
∵＝，∴这个约定公平．
7. 小明对一个如图所示的圆盘练习掷飞镖，这个圆盘由两个同心圆组成，被过圆心且互相垂直的两条直线分成了若干部分，则小明掷在空白区域的概率是( )
A. B.
C. D.
D
类型
求学科内问题的概率
3
8. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳 数”的概率为( )
A. B. C. D.
C
9. 从0，1，2，3四个数中选取一个作为m的值，则满足不等式组的解集是x＞3，且分式方程＋＝2有解的概率为_______.
10. [中考·广州] 如图，曲线G：y＝(x＞0)过点P(4，t)．
(1)求t的值；
解：∵曲线G：y＝(x>0)过点P(4，t)，
∴t＝＝.
(2)直线l：y＝－x＋b也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
解：由(1)得t＝，故P(4，).
∵直线l：y＝－x＋b也经过点P，
∴把P(4，)的坐标代入y＝－x＋b，
得＝－4＋b，解得b＝4.5. ∴y＝－x＋4.5.
令x＝0，则y＝4.5，∴l与y轴交点的坐标为(0，4.5).
直线l如图所示.
(3)在(2)的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)随机取一个格点(横、纵坐标都是整数的点)，求该格点在曲线G上的概率．
解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角
形内部(不包含边界)的格点共有6个，分
别是(1，3)，(1，2)，(1，1)，(2，1)，
(2，2)，(3，1)，如图.
易知格点(1，2)，(2，1)在曲线G上，即有两个格点在曲线G上.∴格点在曲线G上的概率为＝.
11. 在实验室中有四瓶试剂，分别是稀盐酸、NaOH溶液、NaCl溶液以及水，现小马准备从四瓶试剂中任选两瓶做实验，则选出的两瓶试剂可以发生化学反应的概率为 ( )
A. B. C. D.
A
类型
求跨学科问题的概率
4
12. 如图，电路上有S1，S2，S3，S4四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为( )
A. B.
C. D.
D

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