资源简介

(共128张PPT)
23.4 解直角三角形
第23章 解直角三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
解直角三角形
解非直角三角形
解直角三角形在实际问题中的应用
知识点
解直角三角形
知1－讲
1
1. 解直角三角形：直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
说明
已知直角三角形中除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素，简记为“知二求三”.
知1－讲
深度理解
1. 已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，所以有无数个三角形符合条件.
2. 已知一角一边时，角必须为锐角，若已知角为直角，则不能求解.
知1－讲
2. 直角三角形中的边角关系
如图23.4－1所示.
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2.
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.
(3)边角之间的关系：sin A＝，sin B＝；cos A＝，cos B＝；tan A＝，tan B＝.
知1－讲
基本类型 解法(解法不唯一)
已知斜边c和直角边a (1)b＝；
(2)利用sin A＝求∠A；
(3)∠B＝90°－∠A
已知两直角边a和b (1)c＝；
(2)利用tan A＝求∠A；
(3)∠B＝90°－∠A
知1－讲
基本类型 解法(解法不唯一)
已知斜边c和锐角∠A (1)∠ B＝90°－∠A；
(2)a＝c sin A或a＝c cos B；
(3)b＝c cos A或b＝
已知直角边a和锐角∠A (1)∠ B＝90°－∠A；
(2)b＝a tan B或b＝；
(3)c＝或c＝
知1－讲
特别提醒
解直角三角形的原则：
1. 有斜用弦，无斜用切：当求解过程中涉及斜边时，用正弦或余弦， 不涉及斜边时，用正切；
2. 宁乘勿除：当求解过程中既可以用乘法计算又可以用除法计算时，优先选用乘法 计算；
3. 取原避中：能用原始数 据求值就避免使用中间数据，以减小误差.
知1－练
例 1
在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件，解直角三角形：
(1)a＝20，c＝20；(2)a＝2，b＝2.
思路导引：
知1－练
解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝20，c＝20，
∴sin A＝cos B＝＝＝，
b＝＝＝20. ∴∠A＝45°，∠B＝45°.
知1－练
(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，a＝2，b＝2，
∴c＝＝＝4，tan A＝＝＝，
∴∠A＝60°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
知1－练
1-1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形.
知1－练
知1－练
在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.根据下列条件，解直角三角形：
(1)∠A＝30°，b＝12； (2)∠A＝60°，c＝6.
例 2
解题秘方：紧扣以下两种思路求解：
①求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角函数.
②求角时，一般用直角三角形的两锐角互余求解.
知1－练
解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝60°.
∵ tan A＝，∴ ＝，
∴ a＝4，∴ c＝2a＝8.
知1－练
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∵ sin A＝，∴ ＝，∴ a＝3.
由勾股定理得b＝＝＝3 .
知1－练
2-1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件，解直角三角形：
(1)c＝20，∠A＝45°；
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°－45°＝45°，∴∠B＝∠A，∴a＝b.
又∵c＝20，∴a＝b＝10．
知1－练
(2)a＝8，∠A＝60°.
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠A＝60°，
∴∠B＝90°－60°＝30°，b＝＝＝，
∴c＝2b＝．
知识点
解非直角三角形
知2－讲
2
解非直角三角形的问题时往往要构造直角三角形，将问题转化为解直角三角形问题，常见的类型有以下三种：
知2－讲
类型 转化技巧
斜三角形问题 通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形
一般的平行四边形与梯形问题 通过过顶点作高把一般的平行四边形或梯形转化为含有直角三角形的图形
特殊的平行四边形问题 通过连结对角线把矩形、菱形、正方形转化为含有直角三角形的图形
知2－讲
特别解读
解非直角三角形的方法：
当已知图形为非直角三角形时，往往通过作垂线构造直角三角形，从而将问题转化为解直角三角形.若已知条件中存在30°或45°或60°的角，则在构造直角三角形时，尽可能使这些特殊角是直角三角形的锐角.
知2－练
例 3
如图23.4－2，在△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝75°，AC＝2，求BC的长.
知2－练
解题秘方：已知的△ABC不是直角三角形，这时可以作三角形的一条高，把原三角形转化为两个直角三角形，在选择作哪一条边上的高时，要注意尽量不破坏三角形中的特殊角，这样便于进一步计算.
解：如图23.4－2，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠B＝45°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°–∠ACB－∠B＝180°－75°－45°＝60°.
又∵AC＝2，sin A＝，
∴CD＝AC·sin A＝2sin 60°＝.
在Rt△BDC中，∠CDB＝90°，∠B＝45°，
∴sin B＝ ，∴BC＝＝＝.
知2－练
构造出含有特殊角的
Rt△ADC和Rt△BDC.
知2－练
3-1. 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sin B＝，求BC的长.
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E.
在Rt△ABE中，∵sin B＝＝，AB＝1，
∴AE＝，∴BE＝＝.
在Rt△ACE中，AC＝，∴CE＝＝.
∴BC＝BE＋CE＝.
知2－练
知3－讲
知识点
解直角三角形在实际问题中的应用
3
1. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有 关性质，解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；(4)检验，得到实际问题的答案.
知3－讲
解直角三角形在实际问题中的应用
2. 解直角三角形的应用中涉及的有关概念
(1)仰角、俯角问题
①铅垂线：重力方向所在的直线.
②水平线：垂直于铅垂线的一条直线.
③仰角与俯角：如图23.4－3，在进行测量时，从下向上
看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
知3－讲
解直角三角形在实际问题中的应用
(2)坡度、坡角问题
①坡度：如图23.4－4，坡面的竖直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝(坡度通常写成1∶m的形式).
②坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，
记作α，有i＝ ＝tan α.
知3－讲
解直角三角形在实际问题中的应用
说明
坡度、坡角都是表示斜坡倾斜程度的量，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
知3－讲
解直角三角形在实际问题中的应用
(3)方向角：以观测者的位置为原点，由东、西、南、北四个方向把平面划分为四个部分，以正北或
正南方向为始边，旋转到观测目标的方向
线所成的锐角称为方向角.如图23.4－5，
点A在北偏东30°的方向上，点B在北偏
西45°的方向上，也称西北方向.
知3－讲
解直角三角形在实际问题中的应用
注意
(1)方向角一般写成“北偏……”“南偏……”的形式；(2)解决实际问题时可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形.
特别提醒
1. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.
2. 若问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，则可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.
知3－讲
知3－练
某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图23.4－6，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，
彩带用线段AD表示.工作人员在点A
处测得点C的俯角为23.8°，测得
点D的仰角为36.9°.
例 4
知3－练
解题秘方：过点A向CD边作垂线，构造直角三角形.先在Rt△ACE 中求出AE的长，再在Rt△ADE中求出AD的长.
知3－练
解：如图23.4－6，过点A作AE⊥CD，垂足为点E．
∵线段AB和CD都与地面垂直，
∴四边形ABCE为矩形. ∴CE＝AB＝13.2．
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝ ≈ ≈ 30.
知3－练
在Rt△ADE中，cos∠DAE＝，
∴AD＝ ≈ ＝＝37.5(m).
答：AD的长约为37.5 m.
知3－练
4-1. 随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛. 如 图，O，C是同一水 平线上的两点，无人机 从O点竖直上升到A点， 在A点测得C点的俯角 为30°，A，C两点的距 离为24 m.无人机继续竖直上升到
B点，在B点测得C点的俯角为36.9°.
知3－练
求无人机从A点到B点的上升高度AB. (精确到0.1 m，点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈ 0.80，tan 36.9°≈0.75，≈1.73)
知3－练
解：由题意得∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，∠BCO＝ 36.9°，AC＝24．在Rt△AOC中，∠ACO＝30°，AC＝24，
∴AO＝AC＝12，∴OC＝＝＝12.
在Rt△BOC中，∠BCO＝36.9°，
∴BO＝CO·tan ∠BCO＝CO·tan 36.9°≈12×0.75＝9. ∴AB＝BO－AO≈9－12≈9×1.73－12＝3.57≈3.6(m).
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6 m.
知3－练
如图23.4－7，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡 长 AB＝6 m，背水坡CD的坡度i＝1∶，则背水坡CD的坡长为______m.
例 5
12
知3－练
解题秘方：紧扣坡度、坡角的定义即可求解.
解：∵迎水坡AB的坡角α＝45°，AB＝6，
∴AE＝AB·sinα＝6×sin 45°＝6.
∵背水坡CD的坡度i＝1∶，
∴tan C＝＝，∴ ∠ C＝30°.∴CD＝2DF＝2AE＝12 m.
知3－练
5-1. 如图，这是梯形池塘的横断面示意图，若池塘斜面AB的坡度为1∶0.5，AB＝ m，则池塘边缘点B到池塘底部AC的距离为( )
A. 2 m B. 1.5 m
C. m D. 1 m
A
知3－练
如图23.4－8，灯塔A周围9 n mile内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，
继续航行6 n mile后到达C处，测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin 32°≈ 0.530，
cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，
sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，
tan 58°≈1.600)
例 6
知3－练
解题秘方：根据题意作AD⊥BC，构造直角三角形，设AD＝x，根据等腰直角三角形的性质表示出CD，再用含x的代数式表示出BD，根据正切的定义列方程求解．
知3－练
解：如图23.4－8，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°. 设AD＝x.
由题意得∠ABD＝90°－58°＝32°，
∠ACD＝45°，BC＝6，
∴在Rt△ACD中，∠CAD＝∠ACD＝45°.
∴CD＝AD＝x.∴BD＝BC＋CD＝6＋x.
知3－练
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴AD＝BD·tan∠ABD，即x≈0.625(x＋6)，解得x≈10.
∵10＞9，
∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险．
知3－练
6-1. 如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，木栈道AB与景区道路CD平行，在C处测得木栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得木栈道另一端B位于北偏西32°方向，已知CD＝120 m，BD＝80 m，求木栈道AB的长度.(保留整数，参考
数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，
tan 32°≈0.62，sin 42°≈0.67，cos 42°≈
0.74，tan 42°≈0.90)
知3－练
解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F. 易得四边形CDFE是矩形，
∴EF＝CD＝120,CE＝DF.
在Rt△BDF中，∠BDF＝32°,BD＝80,
∴BF＝80·sin 32°≈80×0.53＝42.4，
DF＝80·cos 32°≈80×0.85＝68.
∴EB＝EF－BF≈120－42.4＝77.6.
知3－练
在Rt△ACE中，CE＝DF≈68,∠ACE＝42°，
∴AE≈68·tan 42°≈68×0.90＝61.2.
∴AB＝AE＋EB≈61.2＋77.6≈139(m).
答：木栈道AB的长度约为139 m.
解直角三角形
解直角
三角形
实际
应用
方向角问题
仰角、俯角问题
坡度、坡角问题
依据
勾股定理
两锐角互余
锐角三角函数
定义
类型
已知两边
已知一边和一锐角
题型
利用解直角三角形求线段的长
1
如图23.4－9，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC.若CD＝3，BD＝2，sin∠DBC＝，求对角线AC的长.
例 7
思路导引：
解：如图23.4－9，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，则∠E＝90°.
∵sin∠DBC＝＝，BD＝2，
∴DE＝2×＝2，
∴在Rt△BDE中，BE＝＝＝4.
∵CD＝3，
∴在Rt△CDE中，CE＝＝＝1.
∴BC＝BE－CE＝4－1＝3.∴BC＝CD.∴∠CBD＝∠CDB.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∴∠ABD＝∠CDB，∴AB//CD.
同理AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB＝AD，∴□ABCD是菱形.
设AC与BD交于点O，则AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝×2＝.
∴在Rt△BOC中，OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2.
技巧点拨
解四边形问题时，通常通过作辅助线将问题转化成解直角三角形问题，作辅助线时注意：
1. 尽量不破坏题目中原有的已知角，特别是一些特殊角；
2. 尽量使已知的边作为构造的直角三角形的边，否则会给解题造成麻烦或不能求解.
题型
利用解直角三角形探究几何综合问题
2
[中考·苏州]综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究. 如图23.4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，
在△CDE中，∠DCE＝
90°，∠E＝30°，AB＝
CE＝12 cm．
例 8
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，找出线段之间的数量关系求解．
【观察感知】
(1)如图23.4－10①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD的度数和线段AD的长．(结果保留根号)
解：∵ 在△ABC中，∠ ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°.
∵在△CDE中，∠ DCE＝90°，∠ E＝30°，∴∠CDE＝60°.
∴∠AFD＝∠CDE－∠BAC＝60°－45°＝15°.
在Rt△ABC中，AC＝AB·sin∠ABC＝12×＝6.
在Rt△CDE中，CD＝CE·tan E＝12×＝4.
∴AD＝AC－CD＝(6－4) cm．
【探索发现】
(2)在图23.4－10①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图23.4-10②)．
①求线段AD的长；( 结果保留根号)
解：如图23.4－10②，过点C作CG⊥DE，垂足为G.
∵在△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，
CD＝4，∴DG＝CD·cos∠CDE＝2，
CG＝CD·sin∠CDE＝6．
∵在△CGA中，∠CGA＝90°，CA＝6，CG＝6，
∴AG＝＝6，∴AD＝AG＋DG＝(6＋2) cm.
②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
解：AB⊥DE.理由如下：
∵在Rt△CGA中，∠ CGA＝90°，AG＝CG＝6，
∴∠CAG＝∠ACG＝45°.
又∵∠BAC＝45°，
∴∠DAB＝∠CAG＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，
∴AB⊥DE．
思路点拨
(1)先根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ABC＝45°，再求出∠CDE＝60°，然后根据三角形外角的性质即可得∠AFD＝15°，最后根据解直角三角形可得AC,CD的长，根据线段的和差即可求得AD的长.
(2)①过点C作CG⊥ DE，垂足为G，先解直角三角形可得CG,DG的长，再利用勾股定理可得AG的长，然后根据线段的和差即可求得AD的长；
②根据等腰三角形的性质可得∠CAG＝∠ACG＝45°，则可得 ∠DAB＝90°，由此即可得AB与DE的位置关系.
题型
利用解直角三角形测量高度
3
无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图23.4－11，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80 m，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°.已知
点A与大楼的距离AB为70 m(点A，B，C，
P在同一平面内)，求大楼的高度BC
(结果保留根号)．
例 9
解题秘方：作辅助线构造直角三角形，利用解直角三角形求出高度．
解：如图23.4－11，过点P作PH⊥AB于点H，
过点C作CQ⊥PH于点Q，易知四边形CQHB
是矩形. ∴QH＝BC，BH＝CQ.
由题意得AP＝80，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70，
∴在Rt△APH中，PH＝AP·sin 60°＝80×＝40，
AH＝AP·cos 60°＝80×＝40.
∴CQ＝BH＝AB－AH＝70－40＝30.
∴在Rt△PCQ中，PQ＝CQ·tan 30°＝10.
∴BC＝QH＝PH－PQ＝40－10＝30(m).
∴大楼的高度BC为30 m.
关键点拨
本题由平行线的性质将两个俯角转化为内错角放在两个直角三角形中，利用解直角三角形及矩形的性质解决问题．
为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量.
例10
如图23.4－12，他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB＝35 m，测角仪的高度是1.5 m(A，B，C在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD(≈1.732，结果保留一位小数).
解题秘方：先利用三角形外角的性质和等角对等边求出DN，再在Rt△DNE中利用正弦的定义求出DE，最后不要忘记加上CE.
解：由题意，易得AM＝BN＝CE＝1.5，AB＝MN＝35，
∠ DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠ DME＝30°.
∵∠DNE是△DMN的外角，∴∠MDN＝∠DNE－∠DMN＝30°. ∴∠DMN＝∠MDN.∴DN＝MN＝35.
∴在Rt△DNE中，DE＝DN·sin 60°＝35×＝.
∴CD＝DE＋CE＝＋1.5≈＋1.5≈31.8(m).
因此，烈士纪念碑的通高CD约为31.8 m．
关键点拨
本题中测角仪的顶端所在水平线与水平地面平行，据此构造出矩形和直角三角形，利用解直角三角形和矩形的性质解决问题.
[中考·盐城]如图23.4－13，小明用
无人机测量教学楼的高度，将无人
机垂直上升至距地面30 m的点P处，
测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为_______m(精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)．
例11
17
思路导引：
解：如图23.4－13，延长AB与PQ的延长线交于点C，则AC⊥PC. 由题意知AC＝30，PQ＝26.6，∠APC＝37°，
∠ BQC＝45°. 在Rt△APC中，PC＝ ≈ ＝40，
∴QC＝PC－PQ≈40－26.6＝13.4.
在Rt△BQC中，易知BC＝QC≈13.4，
∴AB＝AC－BC≈30－13.4＝16.6≈17(m).
因此，教学楼AB的高度约为17 m.
关键点拨
本题关键是构造直角三角形，根据正切的定义求出相关线段的长，最后利用线段的差求解.
如图23.4-14，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从
A，D，C三点可看到铁塔顶端H，
可供使用的测量工具有皮尺、
测倾器.
例12
解题秘方：因为只有宽度AD、高度CD可直接测得，所以可从A，D，C三点进行测量，将其转化为仰角问题.
(1)请你根据现有条件充分利用矩形建筑物设计一个测量铁塔顶端到地面的高度HG的方案，具体要求如下：在所给图形上画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A，D间的距离，用m表示；如果测D，C间的距离，用n表示；如果测角，用α，β，γ等表示，测倾器高度不计)；
解：如图23.4－14，过点D作DM⊥HG于点M，连结DH，CH，测量∠HDM的度数，记为α，测量∠HCG的度数，记为β，测量CD的长，记为n.
(2)根据你测量的数据，计算铁塔顶端到地面的高度HG(用字母表示).
解：易得四边形CGMD为矩形，∴ GM＝CD＝n，DM＝CG. 设HG＝x，在Rt△HCG中，∠HCG＝β，∠HGC＝90°，
∴CG＝. 在Rt△HDM中，∠ HDM＝α，∠ HMD＝90°，
∴DM＝＝. ∵DM＝CG，∴＝，
∴ x＝.
答：铁塔顶端到地面的高度HG为 .
另解
(1)如图23.4－15，过点D作DM⊥HG于点M，连结AH，DH. 测量∠HDM的度数，记为α，测量∠HAM的度数，记为γ，测量CD 的长度，记为n，测量AD的长度，记为m.
(2)易得四边形CGMD 是矩形，∴GM＝CD＝n.
设HG＝x，则 HM＝x－n.
在 Rt△AHM中，易得AM＝ .
在Rt△DHM中，易得DM＝.
∵AM－DM＝AD，∴ －＝m，
∴x＝＋n.
易错点
当三角形的形状不确定时，没有进行分类讨论而致错
在△ABC中，AB＝4，AC＝，∠B＝60°，求BC的长.
例13
错解：如图23.4－16，过A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴AD＝AB·sin B＝4·sin 60°＝4×＝2，
∠BAD＝90°－∠B＝30°，∴BD＝AB＝2.
在Rt△ACD中，AC＝，AD＝2，
∴ CD＝＝1，∴BC＝BD＋CD＝2＋1＝3.
正解：当△ABC为钝角三角形时，
如图23.4－17，过A作AD⊥BC，交BC的延长线于D.
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴AD＝AB·sin B＝4·sin 60°＝4×＝2，
∠BAD＝90°－∠B＝30°，∴BD＝AB＝2.
在Rt△ACD中，AC＝，AD＝2，
∴CD＝＝1，
∴BC＝BD－CD＝2－1＝1.
当△ABC为锐角三角形时，同错解中的解题过程.
综上所述，BC的长为1或3.
诊误区：
在解非直角三角形时，已知两边及一边的对角(锐角)时，由于题目中没有给出图形，所以我们要进行分类讨 论，有时受思维定式的影响，往往只考虑锐角三角形，而忽略了存在钝角三角形的 情况.
本题中三角形的形状不确定，所以求BC的长时，应该有两种情况.错解只考虑了△ABC为锐角三角形的情况，而忽略了△ABC为钝角三角形的情况.
[中考·乐山]如图23.4－18，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2．
例14
考法
利用解直角三角形求线段的长
1
试题评析：本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，过顶点作垂线段构造直角三角形是解题的关键．
(1)求AB的长；
解：如图23.4－18，过点A作AD⊥BC，
垂足为D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵在Rt△ADC中，∠ACD＝60°，AC＝2，
∴AD＝AC×sin∠ACD＝.
∵∠B＝45°，∴∠DAB＝90°－∠B＝45°＝∠B.
∴DB＝DA＝.∴AB＝＝.
(2)求点C到线段AB的距离.
解：如图23.4－18，过点C作CE⊥AB于点E.
∵在Rt△ADC中，∠ACD＝60°，AC＝2，
∴DC＝AC×cos∠ACD＝1，
∵DB＝，
∴BC＝DB＋DC＝1＋.
∵BC×AD＝AB×EC，
∴CE＝＝＝ .
∴点C到线段AB的距离为．
[中考·资阳] 如图23.4－19，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝
1∶3，AB＝10 m， CD⊥BN
(点A，B，C，D，M，N在
同一竖直平面内).
考法
利用解直角三角形解决仰角、俯角、坡度问题
2
例15
试题评析：本题考查解直角三角形在仰角、俯角、坡度问题中的应用，合理构造直角三角形是解题的关键.
(1)求平台BN的高度；
解：如图23.4－19，过点B作BE⊥AM于点E，
则∠AEB＝90°.
∵斜坡AB的坡度i＝＝，∴AE＝3BE.
∵在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
∴(3BE)2＋BE2＝(10)2，∴BE＝10 m.
答：平台BN的高度是10 m．
(2)求建筑物的高度(即CD的长)．
解：如图23.4－19，延长CD交AM于点F.
∵CD⊥BN，BN∥AM，∴CF⊥AM.
∴易得四边形BDFE是矩形.
∴DF＝BE＝10，BD＝EF.
设CD＝x，则CF＝CD＋DF＝x＋10.
∵在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，
∴AF＝＝ ＝ (x＋10).
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，
∴BD＝＝＝x. ∴EF＝BD＝x.
由(1)知AE＝3BE＝3×10＝30，
∵AF＝AE＋EF，∴(x＋10)＝30＋x，
解得x＝15－15. ∴CD＝(15－15) m.
答：建筑物的高度(即CD的长)为(15－15) m．
[中考·长沙]如图23.4－20，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区
品质，景区管委会在道路b上又
开发了风景优美的景点D.
例16
考法
利用解直角三角形解决方向角问题
3
经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m.
试题评析：本题主要考查解直角三角形在方向角问题中的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.
(1)求∠ACB的度数；
解：如图23.4－20，
由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，
BE∥AF∥DM.
∴∠BCM＝∠CBE＝60°，
∠ ACM＝∠CAF＝ 30°.
∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝30°.
(2)求景点C与景点D之间的距离(结果保留根号).
解：∵∠ CBE＝60°，
∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°.
由(1)得∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB.∴AC＝AB＝800.
在Rt△ACM中，sin∠ACM＝，cos∠ACM＝ ，
∴AM＝AC·sin∠ACM＝800×sin 30°＝ 800×＝400，
CM＝AC·cos∠ACM＝800×cos 30°＝800×＝400.
∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1 200.
由题意得∠BDM＝45°，BM⊥DM，
∴∠DBM＝45°，∴∠DBM＝∠BDM，
∴DM＝BM＝1 200. ∴DC＝DM－CM＝(1 200－400)m.
答：景点C与景点D之间的距离为 (1 200－400)m.
1. [中考·南通]在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，AC＝2，则BC的长为( )
A. 1 B. 2 C. D. 5
C
2. [中考·长春] 如图，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为( )
A.(m－n)sin α m
B. m
C. (m－n)cos α m
D. m
B
3. 某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面AB的长度为20 m，坡度为1∶1(坡度为坡面的竖直高度与水平长度的比)，汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面AD的坡度为1∶2，改造后背水坡AD的长度为 ( )
A. 20 m B. 10 m
C. 10 m D. 40 m
B
4. 如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角∠1＝45°，∠ 2＝60°，平面镜与成像图层平行，它们之间的距离为4 dm，则M，N两点之间的距离为( )
A. 4 dm
B. 8 dm
C. (4－4)dm D. (8－8)dm
D
5. [中考·眉山]人字梯为现代家庭常用的工具. 如图，若 AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是_____m.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 65° ≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)
1.8
6. [中考·武汉]某科技小组用无人机测量一池塘水面两端 A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120 m的P处，测得A处的俯角为45°，B处的俯角为22°，则A，B之间的距离约是_______m.(tan 22°取0.4)
180
7. 为了提高地下车库出入口车辆的通行效率，车牌识别系统被广泛应用，如图①是生活中某一地下车库，出口为斜坡，
图②是其侧面示意图，AB为斜坡，坡角为30°，车牌识别设备的摄像头在立柱DB的点D处，可识别的最大范围DF与立柱DB的夹角为45°，立柱DB的高度为1.5 m，且立柱DB垂直于车库地面，点D，B，C均在同一直线上，则有效识别区域点F到点B的距离约为_______m.
(结果精确到1 m，参考数据：
≈1.73)
4
8. [中考·重庆]如图，在Rt△ABC中，∠ BAC＝ 90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形，若AB＝2，求△ABC的周长. (结果保留根号)
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B＝60°.
在Rt△ABC中，cos B＝，tan B＝，
∴BC＝＝＝＝4，
AC＝AB·tan B＝2tan 60°＝2.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝2＋4＋2＝6＋2.
9. [中考·陕西]小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度.在征得家长同意后，他们带着工具前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，
又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m.已知DE＝1.7 m，点A，B，C在同 一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直. 求信号杆的高AB.(参考数据：sin 72.5°≈ 0.95，cos 72.5°≈0.30，tan 72.5°≈3.17)
解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC于点H.
∵AB，DE均与水平线FC垂直，
∴DE∥AC,∴∠DBH＝∠BDE＝72.5°，
∵DH⊥AC,∴∠DHI＝90°.
在Rt△DBH中，BD＝22,sin 72.5°＝，cos 72.5°＝，
则HD＝BD×sin 72.5°≈22×0.95＝20.9，
BH＝BD×cos 72.5°≈22×0.30＝6.6，
∵DE∥AC,∴易得∠EDH＝∠DHI＝∠HIE＝90°，
∴四边形EDHI是矩形,∴EI＝HD≈20.9，IH＝DE＝1.7,
∵∠AEI＝45°，∠AIE＝90°，∴∠EAI＝45°，
∴∠AEI＝∠EAI，∴AI＝EI≈20.9，
∴AB＝AI＋IH－BH≈20.9＋1.7－6.6＝16(m).
答：信号杆的高AB约为16 m.
10.【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以
每小时10海里的速度向码头
A航行，小组同学收集到以下信息：
位置 信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气 预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
解：过点B作BE⊥AC于点E，
设BE＝x，依题意，得∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，
CD＝10×＝5，∴∠C＝90°－∠EBC＝37°，
∠EDB＝90°－∠EBD＝45°＝∠EBD,
∴ED＝BE＝x，∴EC＝ED＋DC＝x＋5.
在Rt△BCE中，EC＝＝≈ ＝x，
∴x ≈ x＋5，解得x ≈ 15，即BE ≈ 15海里.
答：渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离约为15海里.
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船 能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈0.75， sin 14°≈0.24，cos 14°≈0.97，tan 14°≈0.25).
解：在Rt△ABE中，由题意得∠ABE＝14°，
∴AE＝BE·tan 14°≈15×0.25＝3.75，
∴AD＝AE＋DE≈3.75＋15＝18.75，
18.75÷10＝1.875(小时)＝112.5分钟，
15：00经过112.5分钟是16：52：30，在17:30之前到达，∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．(共104张PPT)
23.3 锐角三角函数
第23章 解直角三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
锐角三角函数
同角三角函数间的关系
特殊角的三角函数值
用计算器求锐角三角函数值
知识点
锐角三角函数
知1－讲
1
1. 正弦、余弦、正切
定义 表示 图示
正弦 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比值称为锐角A的正弦 sin A＝ ＝
知1－讲
定义 表示 图示
余弦 在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比值称为锐角A的余弦 cos A＝＝
正切 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比值称为锐角A的正切 tan A＝＝
知1－讲
2. 锐角A的正弦、余弦、正切统称为锐角A的三角函数.
知1－讲
注意
(1)锐角三角函数是在直角三角形中定义的.
(2)sin A，cos A，tan A表示一个整体，是指两条线段的比值，没有单位.
(3)锐角三角函数值只与角的大小有关，与锐角所在的直角三角形的大小无关.
(4)用一个大写字母或一个小写希腊字母表示角时，可以省略符号“∠”，如sin A，cos α；用三个大写字母或一个数字表示角时，不能省略符号“∠”，如cos∠ABC，sin∠1.
知1－讲
拓宽视野
1. 因为直角三角形的三边长都是正数，所以锐角A的正弦值、余弦值和正切值都是正实数.又因为直角三角形中两直角边小于斜边长，所以02. 锐角三角函数值随锐角的大小变化情况：sin A，tan A 的值随∠A的增大而增大，cos A的值随∠A的增大而 减小.
知1－练
例 1
在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 已知a＝6，b＝8，求出∠A的三角函 数值.
解题秘方：运用锐角三角函数的定义求三角函数值的实质就是求直角三角形的两边之比，因此求值的关键是求出直角三角形的三边长.一般是缺什么条件就先求什么条件，通常用勾股定理求直角三角形的边长，最后的结果应进行化简.
知1－练
解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝6，b＝8，∴ c＝a2＋b2＝62＋82＝10 .
∴ sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝.
知1－练
1-1. 如图 ，在Rt△OPQ中，∠O＝90°，OP＝，OQ＝2，求∠P和∠Q的 三个三角函数值.
知1－练
解：根据勾股定理，得PQ＝＝＝10，
所以sin P＝＝＝, cos P＝＝＝,
tan P＝＝＝；sin Q＝＝＝,
cos Q＝＝＝, tan Q＝＝.
知2－讲
知识点
同角三角函数间的关系
2
如图23.3－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，同角三角函数之间有下列关系：
知2－讲
数学语言 理由
平方关系 sin2 A＋cos2 A＝1 sin2 A＋cos2 A＝()2＋()2＝＝＝1
商数关系 (拓展) tan A＝ ＝＝＝tan A
知2－讲
注意
当0°＜∠A＜90°时，由sin2A＋cos2A＝1，可知sinA＝，cosA＝.
知2－讲
特别解读
“sin2a”表示“(sin a)2”， 同样，cos2a＝(cos a)2，tan2a＝(tan a)2.
知2－讲
拓宽视野
互余的两个锐角的三角函数间的关系：
sin A＝cos(90°－∠A)，cos A＝sin(90°－∠A)，
即任意锐角的正弦(余弦)等于它的余角的余弦(正弦).
知2－练
[一题多解]已知α 为锐角，sin α＝，求cos α，tan α的值.
解题秘方：已知一个锐角的一种三角函数值，求其他三角函数值时，一般有两种方法：一是利用同角三角函数间的关系来求；二是先设参数表示出相应的边长，再根据定义求解.
例 2
知2－练
解：(方法一)∵α为锐角且sinα＝，
∴cosα＝＝＝，∴tanα＝＝.
(方法二)如图23.3－2，在Rt△ABC中，令∠A＝α.
∵sinα＝，∴可设BC＝3k(k>0)，则AB＝5k.
∴AC＝＝4k.
∴cosα＝＝＝，tanα＝＝＝.
知2－练
2-1. [一题多解]在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，求sin A的值.
知2－练
解：(解法一)如图,∵∠C＝90°，cos A＝513,
∴设AC＝5k(k>0)，则AB＝13k.
∴BC＝＝＝12k，
∴sin A＝＝＝.
(解法二)∵∠A为锐角，cos A＝, sin2A＋cos2A＝1,
∴sin A＝＝＝.
知3－讲
知识点
特殊角的三角函数值
3
1. 特殊角的三角函数值 根据锐角三角函数的定义和直角三角形的有关性质，得到30°，45°，60°角的三角函数值，如下表所示：
知3－讲
α sin α cos α tan α
30°
45° 1
60°
知3－讲
规律总结
观察特殊角的三角函数值，我们可以发现同名三角函数值的变化规律：
若0° cos β，tan a知3－讲
2. 30°，45°，60°角的三角函数值的记忆方法
(1)图形记忆法：如图23.3－3，由三角函数的定义可得各角的三角函数值.
知3－讲
(2)增减规律记忆法：
①30°，45°，60°角的正弦值随角α的增大而增大，依次
为，，；
②30°，45°，60°角的余弦值随角α的增大而减小，依次
为，，；
③30°，45°，60°角的正切值随角α的增大而增大，依次
为，1，.
知3－讲
巧学妙记
30度，45度，60度，三角函数要记住；
分母弦二切是三，分子要把根号添；
一二三来三二一，切要三、九、二十七.
知3－练
求下列各式的值：
(1)tan 60°＋2sin 45°－2cos 30°；
(2)tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°；
(3) － .
例 3
解题秘方：把特殊角的三角函数值分别代入各式进行运算即可，熟记特殊角的三角函数值是解本题的关键.
知3－练
解：(1)tan 60°＋2sin 45°－2cos 30°＝＋2×－2×＝
＋－＝.
(2)tan 30°·tan 60°＋sin2 45°＋cos2 45°＝×＋()2＋()2＝1＋＋＝2.
知3－练
(3) －＝－＝－2＝
1＋－2＝－1.
知3－练
3-1. 求下列各式的值.
(1)sin 30°－2cos 60°＋tan 45°；
(2)cos 60°＋sin 45°＋tan 30°cos 30°；
解：原式＝－2×＋1＝－1＋1＝.
原式＝＋×＋×＝＋＋＝.
知3－练
(3)；
解：原式＝＝＝.
知3－练
在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且∠A，∠B满足|sin A－|＋(－tan B)2＝0，试判断△ABC的形状.
例 4
解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状.
知3－练
解：∵ |sin A－|＋(－tan B)2＝0，
∴ sin A＝，tan B＝.
又∵∠A，∠B均为锐角，∴∠A＝60°，∠B＝30°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°. ∴△ABC是直角三角形.
知3－练
4-1. 在锐角三角形ABC中，若|cos A－|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的度数是( )
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
4-2. 在Rt△ABC中，∠C＝90 °，AB＝2，AC＝， 则∠B的度数为_______.
C
60°
知4－讲
知识点
用计算器求锐角三角函数值
4
1. 已知锐角的度数，求三角函数值
(1)将计算器的角度单位状态设定为“度”，按键顺序是：
(计算设置) (角度单位)OK(度)OK AC，屏幕显示D.
(2)在角度单位状态为“度”的情况下，按sin或cos或tan键直接求出一个角的正弦值、余弦值或正切值.
知4－讲
2. 已知锐角三角函数值，求锐角的度数 一般的计算器中都有sin(sin－1)，cos(cos－1)，tan(tan－1)键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值求锐角时，要用到 sin (sin－1)， cos(cos－1)或 tan(tan－1)键.
知4－讲
特别提醒
不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形：先按三角函数键，再按数字键或先输入数字，再按三角函数键.
知4－练
用计算器求下列三角函数值(精确到0.000 1)：
(1)sin 53°52′41″； (2)tan 35°12′.
例 5
解题秘方：按计算器的使用说明正确按键即可求解.
知4－练
解：先用如下方法将计算器的角度单位状态设定为“度”，按键顺序是： (计算设置) (角度单位) OK (度) OK
AC，屏幕显示D.
(1)按下列顺序依次按键：
，显示结果为0.807 764 16，所以sin 53°52′41″≈0.807 8.
知4－练
(2)按下列顺序依次按键：
，显示结果为0.705 422 401，所以tan 35°12'≈ 0.705 4.
知4－练
5-1. 用计算器求下列各式的值(结果精确到0.000 1).
(1)sin 23°5′＋cos 66°55′；
(2)sin27.8°－cos 65°37′＋tan 49°56′.
解：原式≈0.392 07＋0.392 07≈0.784 1.
原式≈0.135 722－0.412 84＋1.188 94≈0.018 42－0.412 84＋1.188 94≈0.794 5.
知4－练
已知下列锐角α的三角函数值，利用计算器求锐角α (精确到1′)：
(1)sin α＝0.516 8； (2)cos α＝0.675 3.
解题秘方：按计算器的使用说明依次按键，注意第二功能键的用法.
例 6
知4－练
解：在角度单位状态为“度”的情况下(屏幕显示D).
(1)按键顺序是： ，显示结果为31.117 845 56.
再按 ，显示结果为31°7′4.24".
所以α≈31°7'.
知4－练
(2)按键顺序是： ，显示结果为47.522 548 74.
再按 ，显示结果为47°31′21.18".
所以α≈47°31'.
知4－练
6-1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝______，∠A≈ ______，∠B≈______. (角度精确到1′)
13
22°37′
67°23′
锐角三角函数
锐角
三角
函数
计算
特殊角的三角函数值
任一锐角的三角函数值
锐角的度数
正弦
余弦
正切
定义
题型
用特殊方法求锐角三角函数值
1
方法1 参数法
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC∶AB＝3∶1，求∠C的三个三角函数值.
例 7
思路导引：
解：如图23.3－4，∵AC∶AB＝3∶1，∴设AB＝x(x>0)，则AC＝3x.
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
BC＝＝＝2x.
∴sin C＝＝＝，cos C＝＝＝，
tan C＝＝＝.
方法点拨
已知线段之比时可以用设参数法求锐角三角函数值，具体步骤为：
(1)合理设出参数；
(2)把相关线段用含参数的代数式表示出来；
(3)利用三角函数的概念求解相关问题.
方法2 构造法
[一题多解]如图23.3－5所示的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( )
A. B.
C. D.
例 8
思路导引：
解：(方法一)(寻找格点构造直角三角形)如
图23.3－6，延长OB到格点C，连结AC，
易得AO＝2，AC＝，CO＝3，
所以AC2＋CO2＝AO2，所以△ACO为直角三角形，且∠ACO＝ 90°，所以∠AOB的正弦值为＝＝.
(方法二)(作高构造直角三角形)如图23.3－7，
过点B作OA边上的高，设为h.
由题意可知AB＝2，OB＝2，
OA＝＝2.
由等面积法可得×2×2＝×2h，解得h＝，
所以∠AOB的正弦值为＝＝.
答案：D
方法点拨
在网格中构造直角三角形的方法：
1. 在网格中找一格点，使要求三角函数值的锐角在直角三角形中，利用网格求出各边长，进而求出该锐角的三角函数值.
2. 作三角形的高，利用等面积法求出该三角形的高，进而求出该锐角的三角函数值.
方法3 等角转换法
[中考·常州]如图23.3－8，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC.若AD＝1，CD＝3，则sin∠ABD＝______.
例 9
解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为求直角三角形中与该角相等的角的三角函数值.
解：如图23.3－8，过点D作DE⊥BC于点E，
则∠DEB＝∠DEC＝90°.
∵∠A＝∠ABC＝90°，∴四边形ABED为矩形.
∴DE∥AB，AD∥BE，AD＝BE＝1，
∴∠ABD＝∠BDE，∠ADB＝∠CBD.
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB.
∴∠CDB＝∠CBD.∴CD＝CB＝3.
∵BE＝1，∴CE＝2.
∴DE＝＝，∴BD＝＝，
∴sin∠BDE＝＝＝，∴sin∠ABD＝.
教你一招
在求锐角的正弦值时，当用定义法、参数法、构造法等都不能求出所要求的锐角的正弦值时，我们需转换思维方式，将角进行转化，改求与所求锐角相等的角的正弦值，即等角转换法.找相等的角的方法有很多种，可以借助平行线、三角形外角、等腰三角形、三角形全等、三角形相似等知识来寻找，要根据题目中的条件灵活选用方法.
[中考·山西]如图23.3－9，在□ABCD中，∠D＝60°.以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点 E，连结AE.分别以点A，E为圆心，以大于AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线
BP交AE于点O，交边AD于点F，
则的值为______.
例10
题型
锐角三角函数与平行四边形综合
2
解题秘方：根据尺规作图得到BP平分∠ABC，再结合等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值求解.
解：∵在□ABCD中，∠D＝60°，∴∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC. 由作图知BP平分∠ABC，BA＝BE，
∴∠ABF＝∠EBF＝∠ABC＝30°，BO⊥AE，AO＝OE.
∵AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB.
∴∠ABF＝∠AFB＝30°，∴AB＝AF.
又∵BO⊥AE，∴∠BAO＝∠FAO＝×(180°－30°－30°)＝60°. ∴＝＝tan ∠FAO＝tan 60°＝.
解题策略
解决锐角三角函数与特殊四边形的综合运用题目，要充分利用特殊四边形的边角关系，结合锐角三角函数的定义求解.
题型
锐角三角函数与函数综合
3
如图23.3－10，直线y＝x＋与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.
例11
(1)求点B的坐标；
思路导引：
解：(1)由解得∴B(1，2).
(2)求sin∠BAO的值.
思路导引：
解：如图23.3－10，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.
对于y＝x＋，当y＝0时，x＋＝0，解得x＝－3，
∴A(－3，0).∴AC＝1－(－3)＝4，
又易知BC＝2，∴AB＝＝2，
∴sin∠BAO＝＝＝.
另解
设直线AB与y轴交于点D. 对于y＝x＋，令y＝0，解得x＝－3；令x＝0，解得y＝，∴AO＝3，OD＝，∴AD＝＝. ∴sin∠BAO＝＝.
已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边的长，b>a＝c，且关于x的一元二次方程ax2－bx＋c＝0的两实数根的差的绝对值等于2，则△ABC中最大角的度数是( )
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
例12
题型
锐角三角函数与一元二次方程综合
4
思路导引：
解：设x1，x2是方程ax2－bx＋c＝0的两实数根，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由|x1－x2|＝得(x1－x2)2＝2，即(x1＋x2)2－4x1x2＝2，
∴－＝2. ∵a＝c，∴－＝－4＝2，即＝3，
∴＝(负值已舍去).
根据题意画出示意图，如图23.3－11，过点B作BD⊥AC于点D.
∵a＝c，∴ AD＝，∠ABD＝∠ABC，
∴sin∠ABD＝＝＝·＝，
∴∠ABD＝60°，∴∠ABC＝2∠ABD＝120°.
答案：B
解题策略
根据一元二次方程根与系数的关系，适当变形后化简求出b，c的数量关系. 画出示意图，利用等腰三角形“三线合一”的性质求解.
易错点
忽略锐角三角函数是在直角三角形中定义的，错误利用了非直角三角形的边
如图23.3－12，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，AD⊥BC于点D，DC＝3，求tan B和tan C的值.
例13
错解：tan B＝＝＝，
tan C＝＝＝.
正解：∵AD⊥BC，∴△ADC和△ADB是直角三角形.
在Rt△ADC中，AD＝＝＝3，
∴tan C＝＝＝.
在Rt△ADB中，BD＝＝＝，
∴tan B＝＝＝.
诊误区：
正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的，因此在解答有关锐角三角函数的问题时，往往要转化到直角三角形中解答，同时要明确哪个角是直角.若锐角所在的三角形不是直角三角形，应先构造直角三角形，再求锐角的三角函数值.
[中考·常州]如图23.3－13，在Rt△ABC中，∠A＝ 90°，AB＝3，AC＝4，则sin B的值是( )
A. B.
C. D.
例14
考法
利用定义求锐角三角函数值
1
试题评析：本题考查锐角三角函数的定义，用勾股定理求出BC的长，再由正弦的定义求值.
解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5. ∴sin B＝＝.
答案：C
[中考·天津]tan 45°－cos 45°的值等于( )
A. 0 B. 1
C. 1－ D. 1－
考法
特殊角的三角函数值的相关计算
2
例15
试题评析：本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算即可.
解： tan 45°－cos 45°＝1－ ×＝0.
答案：A
[中考·广东]如图23.3－14，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连结DE，AF相
交于点G，连结CG.若AB＝8，BC＝12，
则tan∠GCF的值是( )
A. B. C. D.
例16
考法
锐角三角函数与矩形、相似的综合
3
试题评析：本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、正切的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键.
解：∵四边形ABCD是矩形，E，F是BC边上的三等分点，AB＝8，BC＝12，∴AD＝BC＝12，CD＝AB＝8，AD∥
BC，BE＝EF＝FC＝4，∴EC＝8，△FGE∽△AGD.
∴＝＝＝. ∴＝.
如图23.3－14，过点G作GH⊥BC于点H，
则易得GH∥CD，∴△GHE∽△DCE.
∴＝＝＝.
∴EH＝EC＝×8＝2，GH＝CD＝×8＝2.
∴CH＝CE－EH＝8－2＝6. ∴tan∠GCF＝＝＝.
答案：B
[中考·泰安] 如图23.3－15，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为点C，OA＝2，tan A＝，
反比例函数y＝的图象经过OA的中点B，
与AC交于点D.
考法
锐角三角函数与反比例函数的综合
4
例17
试题评析：本题主要考查反比例函数的图象及性质以及锐角三角函数的定义，解题的关键是利用已知的锐角三角函数值求线段长.
解：∵AC⊥x轴，∴∠ACO＝90°.在Rt△ACO中，tan A＝＝，∴AC＝2OC.
∴OC2＋(2OC)2＝(2)2，解得OC＝2(负值舍去)，
∴AC＝4，∴A(2，4). ∵点B是OA的中点，∴B(1，2).
将点B(1，2)的坐标代入y＝，得2＝，∴k＝2.
(1)求k的值；
解：由(1)知y＝，当x＝2时，y＝1，
∴D(2，1)，∴AD＝4－1＝3，
∴S△OBD＝S△OAD－S△BAD＝×3×2－×3×(2－1)＝．
(2)求△OBD的面积.
1. [中考·深圳]如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10 m，斜道AC长为30 m，则sin A的值为( )
A. B. 3
C. D.
D
2. 在△ABC中，若tan A＝1，sin B＝，你认为最确切的判断是( )
A. △ABC是等腰三角形
B. △ABC是等腰直角三角形
C. △ABC是直角三角形
D. △ABC是一般锐角三角形
B
3. 如图，在4×4网格正方形中，小正方形的边长都为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是( )
A. B.
C. D.
C
4. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如 图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 如果大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则sin θ＝( )
A. B.
C. D.
A
5. 用计算器计算：
(1)sin 62°20′≈________；(精确到0.000 1)
(2)已知tan A＝1.386 4，则∠A≈_______.(精确到1′)
0.885 7
54°12′
6. (1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin A＝___；
(2)已知α为锐角，tanα＝2，则＝______.
7
7. [中考·苏州]如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A， B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作 射线OC，连结AC，BC，则tan∠BCO＝_____.(结果保留根号)
(，0)
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连结AB，BC，若tan ∠ABC＝，则点C的坐标为______.
9. 求下列各式的值：
(1) cos 60°－sin245°＋tan260°；
(2)[中考·遂宁] (－)－2－＋|2－|＋2 sin 60°.
解：原式＝－()2＋×()2＝－＋×3＝.
原式＝4－3＋(2－)＋2×＝4－3＋2－＋＝3.
证明：在Rt△ABD和Rt△ADC中,
tan B＝, cos∠DAC＝.
又∵tan B＝cos∠DAC，∴＝,∴AC＝BD.
10. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B＝
cos∠DAC.
(1)求证：AC＝BD；
解：在Rt△ADC中，由sin C＝＝,
可设AD＝12k(k>0),则AC＝13k,
由勾股定理，得CD＝＝＝5k.
又由(1)知BD＝AC＝13k，∴13k＋5k＝12,
解得k＝，∴AD＝12k＝12×＝8.
(2)若sin C＝，BC＝12，求AD的长.
11. [初高衔接]好学的小王同学在学完锐角三角函数后，想探究锐角三角形ABC中，，之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况.
(1)请帮助小王完成推理过程，填空：
如图①，在Rt△ABC中，sin A＝，sin B＝，
∴c＝____，c＝____. ∴ ___(填“>”“<”或“＝”).
小王根据直角三角形的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，老师提示他找与sin A，sin B都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题.
＝
(2)请帮小王完成锐角三角形时结论的证明(先填空)：
如图②，在锐角三角形ABC中，_______
(填“>”“<”或“＝”).
小王完成证明后又找到老师，老师肯定了
他的答案，并告诉他实际上(2)的结论在钝
角三角形中也是成立的.
＝
＝
证明：过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠BDC＝90°.
在Rt△ACD中，sin A＝＝, ∴CD＝bsin A.
在Rt△BCD中，sin B＝＝,
∴CD＝asin B，∴bsin A＝asin B.
∴＝.同理可得＝, ∴＝＝.
证明：作△ABC使得∠B＝30°，∠C＝45°，
则∠BAC＝180°－∠B－∠C＝105°，如图.
过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵∠C＝45°，∴∠DAC＝90°－∠C＝45°.
∴∠DAC＝∠C，∴AD＝CD.
(3)请利用已学的特殊锐角的三角函数值和(2)的结论求sin 105°的值.
在Rt△ABD中，tan B＝＝tan 30°，sin B＝＝sin 30°，
∴BD＝＝AD, AB＝＝2AD.
设AD＝CD＝m，则AB＝2m，BD＝m，
∴BC＝BD＋CD＝(＋1)m.
由(2)的结论得＝,
∴＝，解得sin 105°＝.(共64张PPT)
章末核心要点分类整合
第23章 解直角三角形
1. 直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)；
(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(4)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
2. 锐角三角函数：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则∠A 的正弦sin A＝，∠A的余弦cos A＝，∠A的正切tan A＝.
3. 特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
4. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)检验，得到实际问题的答案.
专题
直角三角形的性质
1
链接中考>>直角三角形的性质在中考中常与四边形一起考查，有一定的综合性，常需作出辅助线解题.
例 1
[中考·北京]如图23－1，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F. 若AB＝1，∠EBC＝30°，则 △ ABF的面积为_______.
解题秘方：过点F作BC边的垂线，将△ABF的面积转化为直角三角形的面积，再利用直角三角形的性质计算直角边长即可得解.
解：如图23－1，过点F作FM⊥BC，垂足为M，
连结AM，则∠FMC＝90°.
∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°.
∴∠ABC＝∠FMC.∴AB∥FM. ∴易得S△ABF＝S△ABM.
∵CF⊥BE，∴∠BFC＝90°，
∵AB＝1＝BC，∠EBC＝30°，
∴CF＝BC＝，∠BCF＝90°－∠EBC＝60°.
∴∠CFM＝90°－∠BCF＝30°.
∴CM＝CF＝. ∴BM＝BC－CM＝.
∴S△ABF＝S△ABM＝AB·BM＝×1×＝.
专题
锐角三角函数
2
链接中考>>锐角三角函数的有关计算主要就是求锐角的三角函数值，解决这类问题的关键是看清锐角所在的图形以及该图形的性质.这类题目一般属于中档题，多以填空题或选择题形式考查.
[中考·内江]如图23－2，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝______.
例 2
解题秘方：根据折叠的性质和勾股定理求出CF和CE的长，再由正切的定义求解.
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝5，CD＝AB＝3，∠B＝∠C＝90°.
∵矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE.
∴在Rt△ABF中，BF＝＝4.
∴CF＝BC－BF＝5－4＝1.
设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝3－x.
∵在Rt△ECF中，CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋12＝(3－x)2，解得x＝，∴CE＝.
∴tan∠EFC＝＝.
专题
特殊角的三角函数值
3
链接中考>>一般情况下，求含有三角函数的代数式的值，要先将各角的三角函数值代入，再根据运算法则和运算律进行计算，注意最后结果要化简，这类题目常与零次幂、负整数指数幂、乘方、开方等综合考查.
例 3
[中考·巴中]计算：|3－ |＋()－1－ 4sin 60°＋()2.
解题秘方：按照运算法则和运算顺序进行运算即可.
解：原式＝2－3＋3－4×＋2
＝2－2＋2
＝2.
专题
解直角三角形
4
链接中考>>解直角三角形主要就是在直角三角形中根据已知的边角条件求未知的边和角.解决这类问题，关键是要结合图形的特征，灵活运用锐角三角函数的定义.一般都是以解答题形式考查.
[中考·北京]如图23－3，在△ABC中，D，E分别为 AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC．
例 4
(1)求证：四边形DFCG是矩形；
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥CF，即DG∥CF.
∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形.
又∵DF⊥BC，∴平行四边形DFCG是矩形.
(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC 的长.
解题秘方：解第(2)问的关键是过点A作BC边的垂线，即“化斜为直”，解直角三角形.
解：∵DG＝5，∴CF＝DG＝5.
∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°.
在Rt△BDF中，∠B＝45°，DF＝3，
∴BD＝＝＝3，BF＝＝＝3.
∴BC＝BF＋CF＝8.
∵点D为AB的中点，∴AB＝2BD＝6.
如图23－3，过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△ABH中，AH＝AB·sin B＝6·sin 45°＝
6，BH＝AB·cos B＝6·cos 45°＝6，
∴CH＝BC－BH＝2.
在Rt△AHC中，由勾股定理，得AC＝
＝＝2.
专题
解直角三角形的实际应用
5
链接中考>>利用解直角三角形解决实际问题是中考的热点，常考查测量高度问题，解题的关键是正确理解题意，将实际问题转化为解直角三角形的问题，利用直角三角形的知识解决问题.一般都是以解答题的形式考查.
例 5
[中考·遂宁]如图23－4，在综合
实践活动中，为了测得摩天
轮的高度CF，在A处
用高为1.6 m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30 m至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°，求摩天轮的高度．(精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈ 0.75，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)
解题秘方：延长DE交CF于点H，易得DH⊥CF，构造两个直角三角形，解直角三角形建立等量关系，解方程即可得解.
解：如图23－4，延长DE交CF于点H，则易得DH⊥CF，
∵∠DHF＝∠DAF＝∠AFC＝90°，
∴四边形DAFH是矩形.
同理可得四边形DEBA是矩形，
∴ED＝AB＝30，HF＝AD＝1.6.
∴DH＝ED＋EH＝30＋EH.
设CH＝r.
在Rt△CDH中，tan∠CDH＝ ，即tan 37°＝，
∴(30＋EH)×0.75≈r，解得EH≈r－30.
在Rt△CEH中，tan∠CEH＝，即tan 50°＝，
∴1.19EH≈r，∴EH≈. ∴＝r－30，解得r≈60.85.
则CF＝CH＋HF≈60.85＋1.6≈62.5(m)．
答：摩天轮的高度约为62.5 m.
专题
转化思想
6
专题解读>>稍复杂的几何问题中求线段的长往往不能直接求解，这时就需要进行等线段的转化，因此合理作出辅助线就成为解题的关键.
[中考·淄博]如图23－5，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，P是边CD的中点，E是边AD上的动点，线段EF分别与BC，AP相交于点F，Q.若∠FQP＝45°，则EF的长为______．
例 6
解题秘方：过点A作EF的平行线，得到AG＝EF， 构造直角三角形，利用勾股定理求解.
2
解：如图23－5，过点A作AG∥EF交BC
于点G，过点A作AK⊥AP交CB的延长线
于点K， 过点G作GH⊥AK于点H，则
∠KAP＝∠KHG＝90°，∠GAP＝∠PQF＝45°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABG＝∠BAD＝∠ADP＝90°，
CD＝AB＝4，AD＝BC＝6.
∵AG∥EF，∴四边形AGFE为平行四边形.∴EF＝AG.
∵点P是CD的中点，∴DP＝2.
∵∠KAP＝∠BAD＝90°，∴∠KAB＝∠PAD.
∴∠AKB＝∠APD.∴tan∠AKB＝tan∠APD，
即＝＝＝＝3.
∴BK＝，HK＝GH. ∴AK＝＝.
∵∠KAP＝90°，∠GAP＝45°，
∴∠HAG＝45°.∴易得AH＝HG.
∴AK＝AH＋HK＝HG＋HK＝HG＝.
∴AH＝HG＝.
∴EF＝AG＝＝2.
专题
分类讨论思想
7
专题解读>>求锐角三角函数值时，如果没有给出几何图形，那么往往需要分类讨论.这种题一般出现在填空题和解答题中，需要认真分析题意，不遗漏地考虑到所有情况.
[黄冈中学自主招生] 已知等边三角形ABC，点P是直线BC上一点，且满足BP＝2CP，则tan∠BPA＝__________.
例 7
解题秘方：点P可能在线段BC上，也可能在线段BC的延长线上，画出这两种情况的图形进行求解.
3或
解：根据题意，作出图形，如图23－6所示，过点A作AD⊥BC于点D，设等边三角形ABC的边长为2a.
∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，BD＝CD＝a，∴AD＝a.
①当点P在线段BC上，即图23－6中P1的位置时，
∵BP1＝2CP1，∴BP1＝BC＝a，
∴DP1＝BP1－BD＝a，
∴tan∠BP1A＝＝＝3；
②当点P在线段BC的延长线上，即图23－6中P2的位置时，∵BP2＝2CP2，∴BP2＝2BC＝4a.
∴DP2＝BP2－BD＝3a，
∴tan∠BP2A＝＝＝.
综上所述，tan∠BPA＝3或.
1. 如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形ABCD和小正方形EFGH，连结BD交CH于点P.若BP＝BC，则tan∠CBG的值是( )
A. －1 B. 2－
C. D.
类型
利用定义法求锐角三角函数值
1
A
2. 如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长.
类型
利用化斜为直法构造直角三角形求线段长度
2
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.
设BD＝x, 在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝x.
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°,∴∠CAD＝90°－∠C＝45°,∴∠C＝∠CAD,∴CD＝AD＝x.
∵BC＝BD＋DC＝1＋,∴x＋3x＝1＋,
解得x＝1,即BD＝1.在Rt△ABD中，
∵cos B＝,∴AB＝＝＝2.
3.【活动背景】如图，建筑物AC，BD的高度不可直接测 量.为测量建筑物AC，BD的高度，技术员小李用皮尺测得A，B之间的水平距离为150 m，用测角仪在C处测得D点的俯角为35°，测得B点的俯角为43°．
【问题解决】
(1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物AC，BD的高度；(结果保留整数，参考数据：sin 35°≈0.57，cos 35°≈ 0.82，tan 35°≈0.70，sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)
解：过点D作DE⊥AC于点E，则易得四边形ABDE是矩形，由题意可知，AB＝150，∠CDE＝35°，∠ABC＝43°，
∴DE＝AB＝150，AE＝BD.
在Rt△ABC中，tan ∠ABC＝，
∴AC＝AB·tan 43°≈150×0.93＝139.5≈140(m).
在Rt△CDE中，tan ∠CDE＝，
∴CE＝DE·tan 35°≈150×0.70＝105.
∴AE＝AC－CE≈140－105＝35，
∴BD＝AE≈35 m.
答：建筑物AC的高度约为140 m，建筑物BD的高度约为 35 m.
(2)请再设计一种测量建筑物AC，BD高度的方案(建筑物的宽度忽略不计)，画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物AC，BD的高度．(可提供的测量工具：皮尺、测角仪)
解：(答案不唯一)平面示意图如图.
用皮尺测得A，B之间的水平距离为a m，
用测角仪在A处测得D点的仰角为α，
在B处测得C点的仰角为β．
在Rt△ABD中，BD＝AB·tan α＝a tan α m，
在Rt△ABC中，AC＝AB·tan β＝a tan β m.
4. [中考·重庆]如图，人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方 向，且在A的正东方向，AC＝3 600 m.
(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)；
解：过点C作CD⊥AB于点D，
由题意得∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠BAC＝30°，∠B＝45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝AC＝1 800，∴BC＝≈2 545 m.
答：B养殖场与灯塔C的距离约为2 545 m．
(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600 m/min，请计算说明甲组能否在9 min内到达B处？(参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：在Rt△ACD中，∠ACD＝60°, AC＝3 600，
∴AD＝AC·sin 60°＝1 800，
∴AB＝AD＋BD＝1 800＋1 800，
∴甲组到达B处所需时间为(1 800＋1 800)÷600＝3＋3≈8.196(min)＜9 min，
∴甲组能在9 min内到达B处．
5. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，其示意图如图①，货物M与点O的连线MO恰好平行于地 面，BM＝3 m，∠BOM＝18.17°.
(1)求直吊臂OB的长；
解：由题意得BM⊥OM，
∵∠BOM＝18.17°，BM＝3，
∴在Rt△BOM中，OB＝≈30.31≈10(m).
答：直吊臂OB的长约为10 m.
(2)如图②，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB 绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？ (参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17° ≈0.33，sin 36°≈ 0.59，cos 36°≈0.81，
tan 36°≈0.73，结果精确到1 m)
解：记旋转后的点B,M的对应点为B′,M′，延长B′M′交水平线于点F. 由题意得B′M′＝BM＝3，OB′＝OB≈10，
易知∠B′FO＝90°.
在Rt△B′OF中，B′F＝OB′×cos ∠OB′M′≈10×cos 36°≈10× 0.81＝8.1，
∴M′F＝B′F－B′M′≈8.1－3＝5.1≈5(m).
答：货物M上升了约5 m．
6. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan 15°时，可构造如图所示的图形.
类型
利用构造法求非特殊角的三角函数值
4
在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝x(x＞0)，延 长CB至点D，使得BD＝AB，连结AD，易知∠D＝15°， CD＝BD＋BC＝AB＋BC＝2x＋x，所以tan 15°＝tan D＝…
任务：
(1)请根据上面的步骤，继续完成tan 15°的计算；
解：tan 15°＝tan D＝＝＝2－，
即tan 15°的值是2－.
(2)类比这种方法，画出图形，计算tan 22.5°的值 .
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到点D，使得BD＝AB，连结AD，
易知∠D＝22.5°.设AC＝x(x>0)，则易
得BC＝x,BD＝AB＝x，故CD＝BC＋BD＝x＋x，
所以tan 22.5°＝tan D＝＝＝－1，
即tan 22.5°的值是－1.
7. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”.
在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝7，AD＝5，求对角线AC的长.
类型
利用割补法解直角三角形求线段长
5
解：分两种情况讨论：①如图①，当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD,BC相交于点E.
∵∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠E＝90°－∠DAB＝90°－60°＝30°，
∴AE＝2AB＝14，
∴DE＝AE－AD＝14－5＝9.
∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°,∴CE＝2CD,
∵CE2＝DE2＋CD2,
∴4CD2＝81＋CD2,
∴CD＝3(负值舍去).
∴AC＝＝＝2；
②如图②，当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D作
DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N,则∠AMD＝90°，
四边形BNDM是矩形.
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝90°－∠DAB＝90°－60°＝30°.
∴AM＝AD＝，
∴DM＝＝＝，DN＝BM＝AB－AM＝7－＝,
∴BN＝DM＝，CN＝＝＝.
∴BC＝BN＋CN＝＋＝4.
∴AC＝＝＝.
综上，对角线AC的长为2或.(共21张PPT)
满分题溯源
第23章 解直角三角形
方法技巧
构造直角三角形解决实际问题
方法
构造单一直角三角形
1
例 1
[中考·上海]如图1，某公司需要员工上班
时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫
描仪，已知扫描仪(线段AB)的竖直高度
2.7 m，某人(线段CD)身高为1.8 m，扫描仪测得∠A＝53°，那么该人与扫描仪的水平距离为______m.
(备用数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈ 1.33，精确到0.1 m)
1.2
解：如图1，过点C作CE⊥AB于点E，则易得
BE＝CD＝1.8 m．
∵AB＝2.7 m，∴ AE＝AB－BE＝0.9 m.
在Rt△ACE中，tan A＝＝ ≈1.33，
∴CE≈1.2 m.
方法
构造有公共边的双直角三角形
2
[中考·徐州]下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头.某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙(如图2)，记作△ABC.
例 2
同学们测得BC＝22.2 m，∠ B＝34.2°，∠ C＝9.8°. 求AC 的长度(精确到0.1 m).(参考数据：sin 34.2°≈ 0.56，cos 34.2° ≈0.83，tan 34.2°≈0.68，sin 9.8°≈ 0.17，cos 9.8°≈0.99， tan 9.8°≈0.17)
思路导引：
解：如图2，过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.
设BD＝x，∵BC＝22.2，
∴CD＝22.2－x.
在Rt△ABD中，∠B＝34.2°，
∴tan B＝＝＝tan 34.2°≈0.68，
∴AD≈0.68x.
在Rt△ACD中，∠C＝9.8°，
∴tan C＝ ≈ ＝tan 9.8°≈0.17，
∴3.774－0.17x≈0.68x，解得x≈4.44.
∴cos C＝ ≈ ＝cos 9.8°≈0.99.
∴AC ≈ ≈17.9(m).
答：AC的长度约为17.9 m.
例 3
[中考·达州]为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，
水更清，莲花湖管委会定期利用无
人机指引工作人员清理湖中垃圾.
如图3，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在 A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前 方向划行30 m到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度.(结果不取近似值)
思路导引：
解：如图3，过点C作CD⊥AB于点D，
依题意得∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，
设CD＝x. 在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴∠BCD＝90°－∠CBD＝45°＝∠CBD，∴BD＝CD＝x.
∵AB＝30，∴AD＝AB＋BD＝30＋x.
在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，即＝，解得x＝15＋15. 答：无人机离湖面的高度为(15＋15)m.
方法
构造无公共边的双直角三角形
3
图4①是一种淋浴喷头，图4②是其示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25 cm，
AB与墙壁DD'的夹角∠D'AB＝
37°，喷出的水流BC与AB形成
的夹角∠ABC＝72°.
例 4
现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且DE＝50 cm，CE＝130 cm. 问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈ 0.75, sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan 72°≈3.08， sin 35°≈0.57，cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70)
思路导引：
解：如图4②，过点B作BG⊥D'D于点G，延长EC，与GB的延长线交于点F，则易得GF＝ DE＝50，DG＝FE.
在Rt△ABG中，∠GAB＝37 °，sin∠GAB＝，
cos∠GAB＝.
∵AB＝25，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，
∴BF≈50－15＝35.
∵∠AGB＝90°，∠ D'AB＝37°，∴ ∠ GBA＝53°.
又∵∠ABC＝72°，∴∠CBF＝180°－53°－72°＝55°，
∴∠BCF＝35°.
∵在Rt△BFC中，tan∠BCF＝，∠BCF＝35°，
∴ CF＝ ≈ ＝50. ∴FE＝CF＋CE≈50＋130＝180.
∴GD＝FE≈180. ∴AD＝GD－GA≈180－20＝160(cm).
答：安装师傅应将支架固定在离地面约 160 cm的位置.
例 5
如图5，海岛B在海岛A的北偏东30°方向上，且与海岛A相距20 n mile，一艘渔船从海岛B出发，以 5 n mile/h的速度沿北偏东75°方向航行，同时一
艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行.
2 h后，快艇到达C处，此时渔船
恰好到达快艇正北方向的E处.
(1)求∠ABE的度数；
解：如图5，过点B作BD⊥AC于点D，BF⊥CE于点F.
由题意得∠NAB＝30°，∠ GBE＝75°.
∵AN∥BD，∴ ∠ ABD＝∠NAB＝30°.
∵∠DBE＝180 °–∠GBE＝180 °－
75 °＝ 105°，
∴∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝30°＋105°＝135°.
(2)求快艇的速度及C，E之间的距离. (参考数据：sin 15°≈ 0.26，cos 15°≈0.97，tan 15°≈0.27，≈1.73)
解：由题意得BE＝5×2＝10.
在Rt△BEF中，∠ EBF＝90°－75°＝15°，
∴EF＝BE×sin 15°≈10×0.26＝2.6，
BF＝BE×cos 15°≈10×0.97＝9.7.
在Rt△ABD中，AB＝20，∠ ABD＝30°，
∴AD＝AB×sin 30°＝20×＝10，BD＝AB×cos 30°＝20×＝10≈10×1.73＝17.3.
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°.
∴四边形BDCF为矩形.
∴DC＝BF≈9.7，FC＝BD≈17.3.
∴AC＝AD＋DC≈10＋9.7＝19.7(n mile)， CE＝EF＋CF≈ 2.6＋17.3＝19.9(n mile).
∴快艇的速度约为＝9.85(n mile/h).
答：快艇的速度约为9.85 n mile/h，C，E之间的距离约为19.9 n mile.(共60张PPT)
23.1 测量
第23章 解直角三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
利用相似三角形的性质进行测量
利用勾股定理进行测量
知识点
利用相似三角形的性质进行测量
知1－讲
1
利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体(如旗杆、楼房等)的高度问题，常用的测量方法如下：
(1)影子测量法：利用太阳光是平行光线，构造
相似三角形进行测量. 如图23.1-1 ①，
测量同一时刻人的高度、人的影长
和旗杆的影长.
知1－讲
(2)镜子反射法：利用镜子的反射原理——反射角等于入射角，构造相似三角形进行测量. 如图23.1-1 ②，测量人眼到地面的高度、人和旗杆分别到镜子的距离.
知1－讲
(3)标杆测量法：利用视线与标杆, 通过从人的眼睛处向物体作垂线, 构造相似三角形进行测量. 如图23.1-1 ③，人的底端、标杆的底端与旗杆的底端成一条直线，
且旗杆的顶端、标杆的顶端与人
的眼睛恰好在同一条直线上.
知1－讲
说明
以上测量方法，原理都是构造相似三角形并利用相似三角形的性质.
知1－讲
特别提醒
1. 用影子测量法求物高的两种方法：
一是直接根据线段的比例关系计算；
二是利用相似三角形的性质计算.
2. 在利用相似三角形的性质计算物体的高度时，要找准对应边，根据对应边成比例计算出物体的高度.
3. 在具体的测量中，要注意测量方法的选择，测量方法要切实可行，测量结果要准确，尽量减少误差.
知1－练
例 1
为了测量出某校旗杆的高度，数学活动小组设计了三种方案，示意图如图23.1-2，并测得图①中∠AOB＝∠COD，BO＝5 m，OD＝2 m，CD＝1.6 m；
知1－练
图②中CD＝1 m，FD＝0.45 m，EB＝1.8 m；图③中此人站在CD处，手臂FG向前平伸，BD＝12 m，EF＝0.2 m，且此人的臂长为0.6 m.
说明其中运用的主要知识，并分别计算出旗杆的高度.
知1－练
解题秘方：紧扣测量方案中出现的相似三角形等知识，利用相似三角形的性质等知识解决问题.
知1－练
解：图①运用了相似三角形的性质.
由题意易得△AOB ∽△COD，∴＝，解得AB＝4 m.
知1－练
图②运用了“同一时刻、同一地点阳光下物体的高度与影长成正比”.
由题意易得＝，即＝，
解得AB＝4(m).
知1－练
图③运用了两次相似三角形的性质.
由题意易得△CEF∽△CAB，△CFG∽△CBD，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，解得AB＝4 m.
知1－练
图③也可运用“相似三角形对应边上的高之比等于相似
比”.
由题意易得△CEF∽△CAB，
EF⊥FG，AB⊥BD，
∴＝，即＝，解得AB＝4 m.
知1－练
1-1. [期中·成都]小颖 对某塔进行了测量，测量方法如下：如图，先在点A处放一平面镜，从A处沿NA方向后退 1 m 到点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方 向继续向后移动15 m放在D处
(即AD＝15 m)， 从点D处向后退1.6 m，
到达点E处，恰好再次在 平面镜中
看到塔的顶部点M.
知1－练
已知小颖眼睛到地面的距离CB＝FE＝1.64 m，请根据题中提供的相关信息，求出该塔的高度MN(平面镜大小忽略不计).
知1－练
解：根据题意得∠NAM＝∠BAC，∠MNA＝∠CBA＝ 90°，∴Rt△AMN∽Rt△ACB.
∴＝，即＝.①
∵∠NDM＝∠EDF，∠MND＝∠FED＝90°，
∴Rt△MND∽Rt△FED.
∴＝，即＝.②
知1－练
由①②得＝，解得AN＝25 m.
∴＝，解得MN＝41 m.
答：该塔的高度MN为41 m.
知2－讲
知识点
利用勾股定理进行测量
2
1. 数学中的测量与物理中的测量属于同一概念，但数学中的测量需要伴随着数学运算，勾股定理就是在实际测量中经常用到的知识.
2. 数学中的测量工具一般有：刻度尺、测角仪等.
知2－讲
特别提醒
应用此种方法的前提是在直角三角形中.
知2－练
在暴风雨来临之前，某市相关部门为防止古树被暴风折断，便在古树的中上部B处用夹板固定，然后向地面上C，D两处引了两条拉线，如图23.1－3所示，其中BC＝15 m，BD＝20 m.又知C，D
两固定点之间的距离为25 m，求固定
点B到地面的距离AB.
例 2
知2－练
思路导引：
解：由题意知AB⊥CD. 设AC＝x m，则AD＝(25－x)m.
在Rt△ABC中，AB2＝BC2－AC2＝152－x2.
在Rt△ABD中，AB2＝BD2－AD2＝202－(25－x)2.
∴152－x2＝202－(25－x)2，解得x＝9，
∴ AB＝ ＝12(m).
答：固定点B到地面的距离AB为12 m.
知2－练
2-1. 如图，明明在距离水面高度为5 m 的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13 m．若明明收绳6 m后，船到达D处，则船向岸A移动了多少米？
知2－练
解:由题意得CD＝13－6＝7(m).
由题意可知CA⊥AB，
∴AD＝＝＝2(m)，AB＝＝＝12(m).
∴BD＝AB－AD＝(12－2)m.
答：船向岸边A处移动了(12－2)m．
测量
测量
原理
勾股定理
相似三角形
的性质
借助
阳光下物体的影子
镜子的反射
标杆(标尺)
题型
构造相似三角形测量物体的高度
1
例 3
如图23.1－4，为了测量一棵树CD的高度, 观测者在点B处立一根高为2 m的标杆，观测者站在点F处时，观测者的眼睛 E与标杆顶端A、树的顶端C在
同一条直线上.测得BD＝6.4 m，
FB＝1.6 m，EF＝1.6 m，求树高.
类型1 构造一对相似三角形
思路导引：
解：如图23.1－4，作EG⊥CD于点G，交AB于点H，则EH⊥AB. 易知AB∥CD，∴ △ EAH∽△ECG. ∴＝.
易知HG＝BD＝6.4 m，EH＝FB＝1.6 m，
BH＝GD＝EF＝1.6 m，
∴EG＝EH＋HG＝1.6＋6.4＝8(m)，
AH＝AB－BH＝2－1.6＝0.4(m).
∴CG＝ ＝＝2(m).
∴CD＝CG＋GD＝2＋1.6＝3.6(m).
答：树高为3.6 m.
技巧点拨
解决此类问题的关键是构造出两个相似的直角三角形.对于本题，过点E作EG⊥CD于点G，交AB于点H，则EH⊥AB，这样就构造出了两个相似的直角三角形.
例 4
如图23.1－5，小华和小康想用标杆来测量河对岸的树AB的高，小康在F处竖立了一根标杆EF，小华走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的
顶端B在一条直线上，此时测得小华
的眼睛到地面的距离DC＝1.6 m.
类型2 构造两对相似三角形
然后，小华在C处蹲下，小康平移标杆到H处时，小华恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离MC＝0.8 m.已知EF＝GH＝2.4 m，CF＝2 m，FH＝1.6 m，点 C，F，H，A在一条直线上，点M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，
AB⊥AC，请根据以上测量过程及测量
数据，求出树AB的高度.
思路导引：
解：如图23.1－5，过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K.
由题意可得∠END＝∠BPD＝90°，
∠ GKM＝∠BQM＝90°，DP＝MQ＝AC，
NF＝AP＝DC＝1.6 m，KH＝AQ＝MC＝0.8 m，
DN＝CF＝2 m，MK＝CH＝CF＋FH＝2＋1.6＝3.6(m)，
又∵∠EDN＝∠BDP，∠ GMK＝∠BMQ，
∴△DEN∽△DBP，△ GMK∽△BMQ，∴＝，＝.
∵EN＝EF－NF＝2.4－1.6＝0.8(m)，GK＝GH－KH＝2.4－
0.8＝1.6(m)，
∴＝，＝，解得AB＝8.8 m.
答：树AB的高度是8.8 m.
解题策略
由于标杆位置的变化，导致看树的顶端的视线有两条，因此需要过观察点(即眼睛)向树干作两条垂线段，从而构造出两对相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例列出两个比例式，建立方程组求解即可.
题型
利用分段影长求物体的高度
2
例 5
如图23.1－6，小丽发现垂直于地面的电线杆AB的影子落在地面和土坡上，影子分别为BC和CD，经测量得到BC＝20 m，CD＝8 m，点 D距地面的高度为
4 m，且此时测得垂直于地面的1 m
长的标杆在地面上的影长为2 m，
则电线杆AB的长度为__________m.
(14＋2)
解题秘方：影子落在建筑物或斜面上求物高时，可以通过“平移”或者将影子“放平”，利用同一时刻物高与影长成比例，列出比例式，从而求相关线段的长.
解：如图23.1－6，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，延长AD交BC的延长线于点G，则DF＝4 m.
由题意易知＝＝，解得FG＝8 m.
在Rt△CDF中，CF＝＝
＝4 (m)，
∴BG＝BC＋CF＋FG＝20＋4＋8＝(28＋4)m.
易得＝，∴AB＝＝BG＝(14＋2)m.
另解
如图23.1－7，过点D分别作DE⊥
AB于点E，DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F.
∵CD＝8 m，DF＝4 m，∴CF＝＝
＝4(m).由图可知BE＝DF＝4 m，DE＝BF＝BC＋CF＝(20＋4)m. 易得＝，即＝，
解得AE＝(10＋2)m. ∴ AB＝AE＋BE＝(14＋2)m.
易错点
求物体的高度时，漏加眼睛到地面的距离
例 6
在《数书九章》中记载了一个测量塔高的问题：如图23.1－8，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，
AB，CD，EF在同一平面内，点A，C，E 在同一条水平直线上，已知AC＝20 m，CE＝10 m，CD＝7 m，EF＝1.4 m，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为______m.
18.2
错解：如图23.1－8，过点F作FG⊥CD，
垂足为G，延长FG交AB于点H.
由题意，得FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝
1.4 m，GH＝AC＝20 m，FG＝CE＝10 m，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°.
又∵∠DFG＝∠BFH，∴△FDG∽△FBH.∴＝，
∵CD＝7 m，∴DG＝CD－CG＝7－1.4＝5.6(m).
∴＝. ∴BH＝16.8 m. ∴塔的高度为16.8 m.
正解：由错解可知BH＝16.8 m，
∴AB＝BH＋AH＝16.8＋1.4＝18.2(m).
∴塔的高度为18.2 m.
诊误区：
由于人的眼睛距地面有一定的高度，因此计算结果一定不要忘记加上这段高度，这也是解这类题目时容易出现的错误.
考法
利用相似三角形求物体的高度
例 7
[中考·陕西副卷]如图23.1－9，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB.小明先在竖起的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角α为45°；
然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF，使点E，C，A在同一直线上，并测得ND＝1 m，FD＝1.7 m. 已知CD＝ 2.6 m，EF＝1 m，F，D，B三点在同一水平直线上，AB，CD，EF均垂直于FB，求避雷针顶端A的高度AB.
试题评析：本题主要考查了相似三角形的应用、矩形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质列出方程是解题的关键.
解：如图23.1－9，过点E作EH⊥AB于H，
∵EF＝ND＝1 m，∴ EH经过点N. 易得四
边形EFBH，四边形EFDN都是矩形，
∴BH＝EF＝1 m，EN＝DF＝1.7 m.
∵ND＝1 m，CD＝2.6 m，∴CN＝CD－ND＝1.6 m.
∵∠ANH＝45°，EH⊥AB，∴△ANH是等腰直角三角形.
∴AH＝NH.
设AH＝NH＝x m，则EH＝EN＋NH＝(x＋1.7)m.
∵∠CNE＝∠AHE＝90°，∠ CEN＝∠AEH，
∴△CEN∽△AEH. ∴＝，即＝，
解得x＝27.2，经检验，x＝27.2是原方程的解，
∴AH＝27.2 m. ∴AB＝AH＋BH＝28.2 m.
答：避雷针顶端A的高度AB为28.2 m.
1. 某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5 m的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1 m，又量出旗杆AC的影子BC的长度为 6 m，那么旗杆AC的高度为( )
A. 6 m B. 7 m
C. 8.5 m D. 9 m
D
2. 小刚想测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 m，当他将绳子的上端固定，把绳子的下端沿垂直于教学楼的方向拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高度是( )
A. 10 m B. 12 m
C. 14 m D. 8 m
D
3. 如图，校园内有两棵树，相距12 m，一棵树高8 m，另一棵树高13 m，一只小鸟从一棵树的顶端A飞到另一棵树的顶端C，至少要飞______m.
13
4. 如图，在工厂某处有一堵5 m高的围墙AB，阳光恰从围墙上点A经窗户CD照进车间地面.当阳光从最高点C处照进车间地面F点时，测得OF＝8 m；当阳光从窗户最低点D处照进地面E点时，测得OE＝0.5 m.此外，还测得窗户距地面的高度OD＝1 m.求窗户CD的高度.
解：∵AB⊥BF，DO⊥BF，∴∠ABE＝∠DOE＝90°．
又∵∠BEA＝∠OED，∴△BAE∽△ODE，
∴＝，即＝，∴OB＝2 m．
∵∠ABF＝∠COF＝90°，∠AFB＝∠CFO，
∴△BAF∽△OCF，∴＝，即＝，
∴CD＝3 m，即窗户CD的高度为3 m．
5. 学习了相似三角形的相关知识后，小明和同学们想利用标杆测量大楼的高度. 如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立标杆AB，使得小明的头顶端E、标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上(点F，B，D也在一条直线上).已知小明的身高EF＝1.5 m，
标杆AB＝2.5 m，BD＝23 m，FB＝2 m.
(1)大楼CD的高度为多少米？
解：如图①，作EM⊥CD于点M，交AB于点N，
易得BN＝DM＝EF＝1.5 m，MN＝BD＝23 m，
EN＝FB＝2 m，
∴EM＝EN＋MN＝25 m，AN＝AB－BN＝1 m.
易得AB∥CD，∴△AEN∽△CEM.
∴＝，即＝，解得CM＝12.5 m.
∴CD＝CM＋DM＝12.5＋1.5＝14(m).
答：大楼CD的高度为14 m.
(2)小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得大楼CD上点G的高度GD＝11.5 m，那么相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米？
解：如图②，过点E作EM⊥CD于点M,交AB于点N′.
易得BN′＝DM＝EF＝1.5 m，∴AN′＝AB－BN′＝1 m.
类似于(1)可得△AEN′∽△GEM，∴＝.
∵GD＝11.5 m，DM＝1.5 m，∴GM＝10 m.
由(1)知EM＝25 m，∴＝，解得EN′＝2.5 m.
∴EN′－EN＝2.5－2＝0.5(m). 答：相对于第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动0.5 m．(共61张PPT)
23.2 直角三角形的性质
第23章 解直角三角形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
直角三角形的性质
知识点
直角三角形的性质
知1－讲
1
1. 已学过的直角三角形的性质
(1)直角三角形的两个锐角互余；
(2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)；
(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知1－讲
2. 含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的一半.
符号语言：如图23.2－1，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠ A＝30° ，∴ BC＝AB.
知1－讲
注意
应用性质的前提是在直角三角形中，如果已知图形中没有直角三角形或者未说明是直角三角形，就需要作垂线或者利用勾股定理的逆定理得到直角三角形.
知1－讲
拓宽视野
含30°角的直角三角形的性质的逆命题，是真命题，即在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
知1－练
例 1
[期中·杭州上城区]如图23.2－2，在等腰三角形ABC中，∠BAD＝∠CAD，E是AC的中点.若AB＝5，则 DE的长为_______.
知1－练
解题秘方：先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.
解：∵在等腰三角形ABC中，∠ BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC，AC＝AB＝5，∴ ∠ ADC＝90°.
∵E是AC的中点，∴DE＝AC＝.
知1－练
1-1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，AB的中点，DE＝3，CE＝5，则 AC＝______.
8
知1－练
如图23.2－3，在 Rt△ABC中，∠C＝90° ，点D在线段BC上，且∠B＝30° ，∠ADC＝60°，BC＝3，求 BD的长.
例 2
解题秘方：当直角三角形中有30°角时，一般都要考虑用含30°角的直角三角形的性质找线段之间的关系解答.
知1－练
解：设CD＝x，∵在Rt△ACD中，∠C＝90°， ∠ADC＝60°，
∴∠CAD＝30°， ∴ AD＝2CD＝2x.
又∵∠B＝30°， ∠ ADC＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝30°＝∠B，∴BD＝AD＝2x，
∴BC＝BD＋CD＝2x＋x＝3x.
又∵BC＝3，∴3x＝3，解得x＝1.∴BD＝2x＝2.
知1－练
2-1. 如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为______.
1＋
知1－练
如图23.2－4，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′，BC′与 AD交于点E.若AD＝8 cm，AB＝ 4 cm，求 △ BDE的面积.
解题秘方：紧扣折叠的性质将要求的边与已知边都集中在同一个三角形中是解决问题的关键.
例 3
解：如图23.2－4，设DE＝x cm，则AE＝(8－x)cm.
由折叠的性质知△BCD≌△BC′D，则∠1＝∠2.
在矩形ABCD中，∵ AD∥BC，∴ ∠ 1＝∠3.
∴∠2＝∠3.
∴BE＝DE＝x cm.
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2＝AB2＋AE2，
即x2＝42＋(8－x)2，解得x＝5.
∴△BDE的面积为DE·AB＝×5×4＝10(cm2).
知1－练
将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解.
知1－练
3-1.[中考·威海]将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式折叠，使点C落在 AB上的点C′处，折痕为MN，点 D落在点D′处 ， C′D′交 AD于点E. 若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝______ .
直角三角形的性质
直角三角形
的性质
边
勾股定理
角
两个锐角互余
等于斜边的一半
斜边上的
中线
30°角所对
的直角边
应用
利用直角三角形的性质求线段长
1
如图23.2－5，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AC＝ 6 cm，求AD的长.
例 4
解题秘方：要利用直角三角形的性质解决问题，需要构造直角三角形.本题可连结BD，先判断△CBD为直角三角形，再根据直角三角形的性质求解.
解：如图23.2－5，连结BD. ∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝(180°－∠ABC)＝30°.
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.
∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝90°.
∴DC＝2BD＝2AD.
又∵AC＝6 cm，∴AD＝AC＝×6＝2(cm).
方法点拨
在直角三角形中求线段长时，要联想到三个知识点：
(1)勾股定理；
(2)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用
利用直角三角形的性质求面积
2
如图23.2－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB上的中线CD＝1，△ABC的周长为2＋，求△ABC的面积.
例 5
解题秘方：紧扣直角三角形的性质，表示出两直角边的和与平方和，运用整体思想求出两直角边之积.
解：∵∠ACB＝90°，斜边AB上的中线CD＝1，
∴AB＝2CD＝2.
∵△ABC的周长为2＋，∴BC＋AC＝.
又∵BC2＋AC2＝AB2＝4，BC2＋AC2＋2BC·AC＝(BC＋AC)2，∴BC·AC＝1.∴△ABC的面积为BC·AC＝.
技巧点拨
若已知两直角边的平方和及两直角边的和,则运用乘法公式的变形,结合整体思想可求两直角边的乘积,从而直接求出直角三角形的面积.
应用
利用直角三角形的性质证明边角关系
3
如图23.2－7，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，点M为AB边的中点，连结ME，MD，ED.
求证：
例 6
(1)△MED与△BMD都是等腰三角形；
思路导引：
证明：∵ AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABD，△ ABE为直角三角形.
∵点M为AB边的中点，
∴ME＝AB，MD＝AB，BM＝AB，
∴ME＝MD＝BM，∴△ MED与△BMD都是等腰三角形.
(2)∠EMD＝2∠DAC.
思路导引：
证明：∵ME＝AB＝MA，∴ ∠ MAE＝∠MEA，
∴∠BME＝2∠MAE.
∵MD＝AB＝MA，∴ ∠ MAD＝∠MDA.
∴∠BMD＝2∠MAD.
∴∠EMD＝∠BME－∠BMD＝2∠MAE－2∠MAD＝2∠DAC.
解题策略
1. 若题目中出现了一边的中点，往往需要用到中线，若又有直角，往往需要用到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个性质.
2. 在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边上的中线，从而利用直角三角形斜边上的中线的性质把问题转化为等腰三角形的问题，利用等腰三角形的性质解决问题.
应用
利用直角三角形的性质解决实际问题
4
如图23.2－8，在一次夏令营活动中，小明从营地点A出发，沿北偏东60°方向走了500 m到达点B，然后沿北偏西30°方向走了500 m
到达目的地点C.
例 7
(1)求A，C两点之间的距离.
思路导引：
解：如图23.2－8，过点B作EF//AD，则
∠ABE＝∠DAB＝60°. 由题意知∠CBF＝30°，
∵∠CBF＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
∴∠CBA＝90°，即△ABC为直角三角形.
由已知得BC＝500 m，AB＝500 m.
∴AC＝＝＝1 000(m).
故A，C两点之间的距离为1 000 m.
(2)目的地点C在营地点A的什么方向？
思路导引：
解：在Rt△ABC中，∵ BC＝500 m，AC＝1 000 m，
∴ BC＝AC. 如图23.2－8，取AC的中点G，连结BG，
∵∠ABC＝90°，∴ BG＝ AC＝CG，
∴ BG＝CG＝BC，∴△BCG是等边三角形，
∴∠C＝60°，∴ ∠ CAB＝30°.
又∵∠DAB＝60°，∴ ∠ DAC＝30°.
故目的地点C在营地点A的北偏东30°方向上.
易错警示
根据题中描述的方向在图中找角度时，一定要找准确，如图23.2-9，可在观测点的位置画方向十字找角度.
易错点
忽略三角形的形状而导致漏解
[期中·上海浦东新区]在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠B＝ 30°， 则 BC＝________________.(结果保留根号)
例 8
3＋3或3－3
错解：如图23.2－10，过点A作AD⊥BC于点D，
则∠ADB＝ ∠ADC＝90°.
∵∠B＝30°， AB＝6，∴ AD＝AB＝3，
∴BD＝＝＝3.
CD＝＝＝3.
∴BC＝BD＋CD＝3＋3.
正解：当∠ACB是锐角时，同错解.
当∠ACB是钝角时，如图23.2－11，过点A作
AD⊥ BC，交BC的延长线于点D，则
∠ADB＝90°.
同理可得BD＝3，CD＝3，
∴BC＝BD－CD＝3－3.
综上，BC＝3＋3或3－3.
诊误区：
当已知条件中没有给出图形时，往往需要分类讨论.本题中三角形的两边和其中一边的对角确定，由全等三角形的判定方法可知，三角形的形状不确定，需要分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
考法
利用直角三角形的性质解决简单的实际问题
1
南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图23.2－12是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC＝4.8 m，∠C＝30°，则EF的长为______m．
例 9
1.2
试题评析：本题考查了含30°角的直角三角形的性质，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得EF的长．
解：∵E是斜梁AC的中点，AC＝4.8 m，
∴CE＝AC＝2.4 m.
∵EF⊥BC，∴∠EFC＝90°.
∵∠C＝30°，∴EF＝CE＝×2.4＝1.2(m).
考法
综合利用等腰三角形、直角三角形的性质求线段的长
2
[中考·安徽]如图23.2－13，在△ABC中，∠A＝ 120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是( )
A. 4 B. 6
C. 2 D. 3
例10
试题评析：本题主要考查了等腰三角形性质、含30°角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，并能利用勾股定理建立方程是解题的关键.
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠C＝＝30°.
∵D是AC的中点，∴AC＝2CD.
∵ED⊥AC，∴△EDC是直角三角形.
又∵∠C＝30°，∴EC＝2DE.
∵DE＝，∴EC＝2.
在Rt△EDC中，根据勾股定理，得EC2＝DE2＋CD2，即
(2)2＝()2＋CD2，
解得CD＝3(负值已舍去).∴AC＝2CD＝6.
答案：B
1. [中考·陕西]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的
角共有( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
C
2. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CBA＝120°，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E.连结CE，点D恰好落在线段CE上，则CD的长为( )
A. 2 B. 4
C. 3 D. 6
B
3. [中考·德阳]如图，在△ABC中，∠CAD＝ 90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，F是AB边的中点，则DF＝( )
A. B.
C. 2 D. 1
A
4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，点C为AB的中点，反比例函数y＝的图象经过点C.若点B的坐标为(0，6)，OC＝5， 则k＝______.
12
5. 小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼.如图，已知电梯的长、宽、高分别是1.2 m，0.9 m，2 m，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是_______m.
2.5
6. [苏州中学自主招生]如图，在矩形ABCD中， AB＝5，BC＝12，将矩形ABCD沿对角线所在直线对折，然后放在桌面上，折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是_____ .
7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠BCD＝30°，则AD的长为_______.
6或12
8. 如图，在ABCD中，∠DAB＝30°.
(1)实践与操作：用尺规作图法过点D作AB边上的高DE； (保留作图痕迹，不要求写作法)
解：如图，DE即为所求作的高.
(2)应用与计算：在(1)的条件下，AD＝4，AB＝6，求BE 的长.
解：∵AD＝4，∠DAB＝30°，DE是AB边上的高，
∴DE＝AD＝2,
∴AE＝＝2．
又∵AB＝6，∴BE＝AB－AE＝6－2.
9. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD＝AE.
(1)若∠B＝40°，求∠BAD的度数；
解：∵AD是BC边上的高线，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵∠B＝40°，∴∠BAD＝50°.
(2)若EG＝CG，求证：DG⊥CE.
证明：连结DE.∵AD⊥BC,CE是AB边上的中线，
∴DE＝AB＝AE.
又∵AE＝CD,∴DE＝CD.
又∵EG＝CG,∴DG⊥CE.
10. 如图，△ABC为某公园的平面图，经测量AB＝200 m，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°.
(1)求△ABC的面积；
解：过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，AD2＋BD2＝AB2.
∵AB＝200 m,∴AD2＋BD2＝(200)2，
解得AD＝BD＝200 m.
∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AD＝400 m.
∴CD＝＝200 m.
∴BC＝(200＋200) m.
∴△ABC的面积为BC·AD＝×(200＋200)×200＝
(20 000＋20 000)m2.
(2)一辆广告宣传车沿着道路BC在B，C两站点之间来回宣传，宣传车周围250 m以内能听到广播宣传.宣传车宣传时，点A处是否能听到？如果不能听到，请说明理由；如果能听到，已知宣传车的速度是100 m/min，那么宣传车沿着道路BC从站点B到站点C的行驶过程中，点A处一共能听到多少分钟的宣传？
解：点A处能听到.以点A为圆心，以250 m为半径画弧交BC于点E, F，连结AE，AF, 则AE＝AF＝250 m, 由(1)知AD＝200 m,∴DE＝DF＝＝＝150 m.
∴EF＝DE＋DF＝300 m.
∵300÷100＝3(min)，
∴点A处一共能听到3 min的宣传.

展开更多......

收起↑