资源简介 (共58张PPT)章末核心要点分类整合第22章 图形的相似1. 对于给定的四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如＝(或a:b＝c:d)，那么，这四条线段叫做成比例线段.2. 比例的基本性质：如果＝，那么ad＝bc；如果ad＝ bc，那么＝ .3. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称平行线分线段成比例.4. 相似多边形的对应边成比例，对应角相等；各边对应成比例、各角对应相等的两个多边形是相似多边形．5. 相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似；(2)两角分别相等的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(4)三边成比例的两个三角形相似.6. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比；相似三角形对应边上的高的比、对应角的平分线的比、对应边上的中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.7. 画位似图形的一般步骤(1)确定位似中心；(2)作出位似中心与能代表原图的关键点的连线；(3)根据相似比，在连线所在的直线上确定能代表所作的位似图形的关键点；(4)顺次连结上述各点，得到放大或缩小后的图形.8. 图形变换引起的点的坐标变化规律如下表：专题平行线分线段成比例1链接中考>>平行线分线段成比例是三角形相似的基础，也是求线段长的一种方法.中考时，常以选择题或填空题的形式出现.例 1[中考·哈尔滨]如图22－1，在四边形ABCD中，AD∥ BC，点E在AB上，EF∥AD交CD于点F，若AE∶BE＝1∶2，DF＝3，则FC的长为( )A. 6B. 3C. 5D. 9解题秘方：根据平行线分线段成比例，列出比例式求解 即可．解：∵AD∥BC，EF∥AD，∴AD∥EF∥BC．∴＝，即＝，解得FC＝6．答案：A专题相似三角形的判定2链接中考>>图形的相似是平面几何中非常重要的内容，也是中考中常见的考点.相似三角形的判定方法有多种，解题时要合理选用判定方法.[中考·上海节选]如图22－2，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD．求证：AD2＝DE·DC．例 2解题秘方：选择合适的方法判定△ADE∽ △BAD，再利用相似三角形性质和等线段代换即可.证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，AB＝DC，∴∠ABD＋∠ADB＝90°.∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°.∴∠DAE＝∠ABD.又∵∠ADE＝∠BAD＝90°，∴△ADE∽△BAD.∴＝，即AD2＝DE·BA.又∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC.专题相似三角形的性质3链接中考>>相似三角形的性质归纳起来有三点：(1)相似三角形的对应边成比例，对应角相等； (2)相似三角形的对应线段(对应边上的中线、高，对应角的平分线)的比等于相似比；(3)相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.相似三角形的性质既可以进行线段相等、平行、垂直的证明，也可以进行线段长度和图形面积的计算.例 3[中考·江西]如图22－3，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2；…．以此类推，则△AnBnCn的面积为( )A. ()n＋1 B. ()nC. ()n D. ()n－1解题秘方：根据三角形中位线定理得到△A1B1C1∽△ABC，相似比＝，再根据相似三角形的性质求△A1B1C1和△A2B2C2的面积，总结规律，根据规律解答即可.解：∵点A1，B1，C1分别为等边三角形ABC的边AC，BC，AB的中点，∴B1C1＝AC，A1C1＝BC，A1B1＝AB，∴△A1B1C1∽△ABC，相似比＝.∵△ABC的面积为1，∴△A1B1C1的面积＝()2＝，同理，△A2B2C2的面积＝()2，…，∴△AnBnCn的面积＝()n .答案：C专题相似三角形的应用4链接中考>>相似三角形的知识在实际生活中有广泛的应用，这一应用是建立在数学建模和数形结合思想基础上的，把实际问题转化为数学问题，通过数学问题达到解决实际问题的目的.在中考中以选择题、填空题和解答题的形式考查.[中考·无锡节选]某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动.【活动主题】测量物体的高度【测量工具】卷尺、标杆例 4【活动过程】南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一，该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动(示意图如图22－4所示)．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q′处，此时标杆E′F′竖立于F′处，从点P′处看到标杆顶E′、塔顶A在同一条直线上．已知AB，EF，PQ，E′F′和P′Q′在同一平面内，点B，F，Q，F′，Q′在同一条直线上，EF＝E′F′＝2.8 m，PQ＝P′Q′＝1.4 m，FQ＝1.2 m，F′Q′＝2.2 m，QQ′＝30 m．求妙光塔AB的高度.解题秘方：构造相似三角形，根据相似三角形的性质列比例式求解．解：如图22－4，过点P′作P′H⊥AB于点H，交EF于点M，交E′F′于点M′.∵PQ＝P′Q′＝1.4 m，∴点P在线段P′H上.易得四边形PQFM，四边形PQBH，四边形P′Q′F′M′，四边形P′Q′BH均为矩形，∴HP＝BQ，MP＝FQ＝1.2 m，M′P′＝F′Q′＝2.2 m，BH＝MF＝M′F′＝PQ＝P′Q′＝ 1.4 m.∴EM＝E′M′＝2.8－1.4＝1.4(m).由题意知EF∥AB，∴△HAP∽△MEP.∴＝. 同理可得＝.又∵EM＝E′M′，∴＝.∵HP＝BQ，HP′＝BQ′＝BQ＋QQ′＝BQ＋30，∴＝，解得BQ＝36 m，∴HP＝36 m.代入＝，得＝，解得AH＝42 m.∴AB＝AH＋BH＝42＋1.4＝43.4(m).答：妙光塔AB的高度为43.4 m.专题位似图形5链接中考>>位似图形是特殊的相似图形，所以位似图形具有相似多边形的所有性质，中考中主要考查根据相似比或相似多边形的性质计算，主要以选择题或填空题的形式考查.例 5[中考·烟台]如图22－5，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(6，)，△ABC的顶点A的坐标为(4，3)．以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧……按照以上规律作图，点A3的坐标为__________.(－10，)解题秘方：连结AP，根据两点坐标求得AP的长，再根据相似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比得出A1P，A2P，A3P的长，再求得直线AP的表达式，根据点的坐标和线段的长度列方程求解．解：如图22－5，连结AP，依题意，得A1P＝2AP＝2＝5，∴A2P＝2A1P＝10，∴A3P＝2A2P＝20．设直线AP的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，把(6，)，(4，3)代入，得解得∴y＝－x＋6．设A3(m，－m＋6)，∴(m－6)2＋(－m＋6－)2＝202，解得m1＝－10，m2＝22(舍去)．∴－m＋6＝，∴A3(－10，)．专题图形的变换与坐标6链接中考>>图形的变换主要有平移、轴对称、旋转、位似，主要考查图形的不同变换方式下，点的坐标的变化规律，考查形式有选择题、填空题和解答题.如图22－6，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1；(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；(3)求△CC1C2的面积.例 6解题秘方：先确定变换规则，然后根据规则进行作图，作图时，首先确定图形的关键点，依次作出图形关键点的对应点，再顺次连结各关键点的对应点即可.解：(1)△A1B1C1如图22－6所示.(2)△A2BC2如图22－6所示.(3)如图22－6，易知CC2＝3，△CC1C2的边CC2上的高为6，∴△CC1C2的面积为×3×6＝9.专题分类讨论思想7专题解读>>在解答有关相似图形的某些问题时，往往需要按某一标准把问题分成若干个部分或若干种情况分别加以研究，逐一解决，从而得到完整的结果.这种分类讨论思想要求对这类问题审题要仔细，分类要注意两点：一是正确选择分类标准；二是分类科学，既不重复也不遗漏.如图22－7，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似？例 7解题秘方：紧扣公共角两边的关系，分类说明两个三角形相似.解：设经过t s，△PBQ与△ABC相似.①∵△PBQ与△ABC有公共角∠B，∴当PQ∥AC，即＝ 时，△PBQ∽△ABC.∵AP＝2t cm，AB＝8 cm，∴PB＝(8－2t)cm.又∵BQ＝4t cm，BC＝16cm，∴＝. 解得t＝2.②∵∠B为△PBQ与△ABC的公共角，∴当＝时，△PBQ∽△CBA.由①知PB＝(8－2t)cm，QB＝4t cm，∴＝. 解得t＝0.8.综上所述，经过0.8 s或2 s，△PBQ与△ABC相似.专题方程思想8专题解读>>当两个图形相似时，对应边、周长及面积具有一定的关系，在求线段长、周长或面积 时，利用方程(组)会给解题带来很大的方便.如图22－8，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10. 四边形BDEF 是△ABC的内接正方形(点D， E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是______.例 8解题秘方：利用相似三角形的性质得出已知线段与未知线段之间的关系，从而建立方程求解.25解：在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，AB＝BC，AC＝10，∴2AB2＝200. 解得AB＝BC＝10(负值舍去).∵四边形BDEF是正方形，∴EF∥BC，EF＝BF.设EF＝BF＝x，则AF＝10－x.∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC.∴＝，即＝. 解得x＝5.∴EF＝5.∴此正方形的面积是5×5＝25.1. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰三角形APQ，使AP＝PQ，∠APQ＝∠ABC，连结CQ.求证：PB·AQ＝AP·CQ.类型巧用“三点定形法”证两三角形相似1证明：∵△ABC和△APQ是等腰三角形，且∠APQ＝∠ABC，∴两个等腰三角形的底角也相等．∴△ABC∽△APQ．∴＝，即＝．∵∠BAC＝∠PAQ，∴∠BAP＝∠BAC－∠CAP＝∠PAQ－∠CAP＝∠CAQ．∴△ABP∽△ACQ．∴＝，即PB·AQ＝AP·CQ.2. [中考·安徽]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，BD是边AC上的高. 点E，F分别在边AB，BC上 (不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE＝x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为( )A类型利用相似三角形的判定与性质解与函数的综合问题23. [中考·湖北]如图①，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AB＝n cm．动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出 发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s)的关系如图②所示．(1)m＝______；(2)n＝______.8124. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝1，OC＝，类型利用相似三角形的性质解规律探究问题3在第二象限内，以原点O为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再以原点O为位似中心将矩形A1OC1B1各边放大为原来的倍，得到矩形A2OC2B2，以此类推，矩形A2026OC2026B2026的面积为_________．×()4 0525. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：类型利用图形变换求坐标4(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点 C1的坐标；解：如图，△A1B1C1为所求作三角形，点C1的坐标为(－1，2).(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的 坐标；解：如图，△A2B2C2为所求作三角形，点C2的坐标为(－3，－2).(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为 (－4，－2)，请求出直线l的表达式.解：如图，连结AA3，OA，OA3，易知直线l垂直平分AA3.设直线l交AA3于点F,则点F为AA3的中点，∵A(2,4), A3(－4,－2),∴F(－1,1).由图易得OA3＝OA，∴直线l必经过点O，设直线l的表达式为y＝kx＋b,将F(－1,1),O(0,0)的坐标代入，得解得∴直线l的表达式为y＝－x．6. [中考·自贡节选 ] 九(2)班的学习小组利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度. 方法如下：如图①，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．类型利用相似三角形解实际问题5如图②，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面．如图③，在江姐故里广场上 E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线 DA与标高线交点C，测得标高 CG＝1.8 m，DG＝1.5 m.将观测点D后移24 m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2 m，D′G′＝2 m．求雕塑高度(结果精确到1 m)．解：设BG＝x m，由题意得CG∥C′G′∥AB,∴△DGC∽△DBA，△D′G′C′∽△D′BA，∴＝，＝，即＝，＝，∴＝，整理得3.6(1.5＋x)＝1.8(25.5＋x)，解得x＝22.5．经检验，x＝22.5是分式方程的解．∴AB＝1.8×(1.5＋22.5)÷1.5＝28.8≈29(m)．答：雕塑高度约为29 m．(共87张PPT)22.1 成比例线段第22章 图形的相似逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相似图形成比例线段比例的基本性质黄金分割平行线分线段成比例的基本事实及推论知识点相似图形知1－讲11. 定义 我们把具有相同形状的图形称为相似图形 .特别解读1. “形状相同”是判定相似图形的唯一条件 .2. 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关 .知1－讲2. 两个关系(1)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 .(2)相似与全等的关系：当两个图形的形状相同、大小也相同时，它们是全等图形，全等图形是相似图形的特殊情况，即全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形，只有相似图形的大小相同时，它们才全等 .知1－练例 1下列图形不是相似图形的是( )A. 同一底版打印出来的两张大小不同的照片B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案C. 某人的侧身照片和正面照片D. 大小不同的两张同版本的中国地图知1－练解题秘方：紧扣“相似图形的定义及相似图形之间的关系”解答 .解：用“排除法”：B符合相似图形之间的关系；A，D符合相似图形的定义，因此A，B，D都是相似图形 . 故选C.答案：C知1－练1-1. 形状相同的图形是相似图形．下列图形不一定是相似图形的是( )A. 关于直线对称的两个图形B. 两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个半径不等的圆C知2－讲知识点成比例线段21. 两条线段的比 在同一单位长度下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比 . 线段a与线段b的比记作“”或“a∶b”.知2－讲2. 对于给定的四条线段a，b，c，d，如 果其中两条线段的长度之比等于另外两 条线段的长度之比，如＝(或a∶b＝c∶d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 . 此时也称这四条线段成比例 .知2－讲特别解读1. 在通常情况下，四条线段a，b，c，d的单位应该一致，但有时为了计算方便，也可以使a与b的单位一致，c与d的单位一致 .2. 线段a，b，c，d成比例，只可以写成＝或a∶b＝c∶d，即四条线段a，b，c，d成比例是有顺序的，不能随便更改位置 .知2－练下列各组不同长度的线段中，是成比例线段的是( )A. 3 cm，6 cm，7 cm，9 cmB. 2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmC. 3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmD. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm例 2知2－练解题秘方：判断四条线段是否成比例的方法：知2－练解：选项 一化 二排 三算 四判断A 3 cm，6 cm，7 cm，9 cm ≠ 否B 0.6 dm＝6 cm 2 cm，5 cm，6 cm，8 cm ≠ 否C 1.8 dm＝18 cm 3 cm，6 cm，9 cm，18 cm ＝ 是D 1 dm，2 dm，3 dm，4 dm ≠ 否答案：C知2－练2-1. [期末·南阳]已知线段a＝0.3 m，b＝18 cm，c＝0.4 m，d＝24 cm，下列说法中正确的为( )A. b，d，c，a成比例B. d，b，a，c成比例C. b，d，a，c成比例D. b，c，d，a成比例C知3－讲知识点比例的基本性质31. 比例的基本性质如果＝，那么ad＝bc；如果ad＝bc，那么＝.变式应用若a，b，c，d满足ad＝bc， 则＝，＝，＝.知3－讲2. 比例的基本性质推广(1)合比性质：＝＝或＝(a＋b≠0， c＋d≠0)；(2)分比性质：＝＝或＝(a≠b，c≠d)；知3－讲(3)等比性质：＝＝＝…＝＝k(b＋d＋f＋…＋n ≠ 0)＝＝k.知3－练已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中 a＝2 cm，b＝4 cm，c＝5 cm，则d等于( )A. 1 cm B. 10 cm C. cm D. cm例 3解题秘方：紧扣“四条线段成比例的顺序性”列比例式求解 .知3－练解：因为线段a，b，c，d是成比例线段，所以＝，即＝，所以d＝10cm.答案：B知3－练3-1. 已知三个数2，，4， 如果再添加一个数，使这四个数成比例，那么添加的数可以是( )A. 2 B. 2或C. 2，4或8 D. 2，或4D知3－练[一题多解]已知＝＝ ≠ 0，求的值 .解题秘方：紧扣“比例的性质”用消元法或参数法求解 .例 4知3－练解：(方法一)由＝，得b＝，由＝，得c＝，∴原式 ＝＝＝.(方法二)设＝ ＝ ＝k(k ≠ 0)，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∴原式 ＝＝.知3－练4-1. [期末·南阳]若＝，则的值为( )A. B. C. D.4-2. 已知x∶y∶z＝3∶4∶6， 则的值为______.D知4－讲知识点黄金分割4黄金分割 如图22.1－1，将一条线段AB分成两条线段AP和PB(AP＞PB)，使AP2＝AB·PB，我们称AP为AB和PB的比例中项，点P为线段 AB的黄金分割点，将线段AB黄金分割.由于＝≈0.618，所以长为1的线段的黄金分割点，与一个端点的距离大约为0.618．知4－讲特别提醒一条线段有两个黄金分割点，如图22.1-2，线段AB有两个黄金分割点，点C和点D，则＝，＝ ，且AD＝BC.知4－练如图22.1－3，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求AC和DC的长.例 5知4－练解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，∴＝.∵AB＝80 cm，∴＝，解得AC＝(40－40)cm.同理BD＝(40－40)cm.∴DC＝AC＋BD－AB＝2×(40－40)－80＝(80－160)cm.知4－练5-1. 手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为18 cm，那么摄像区的长度为__________cm．(27－9)知识点平行线分线段成比例的基本事实及推论知5－讲5平行线分线段成比例的基本事实及其推论知5－讲文字语言 图示 符号语言基 本 事 实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. (简称“平行线分线段成比例”) 如图，若直线l3∥ l4∥l5，则有＝，＝，＝.若AB＝BC，则DE＝EF知5－讲文字语言 图示 符号语言推论 平行于三角形 一边的直线截 其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成 比例 如图，若DE∥BC，则有＝，＝，＝，知5－讲要点解读1. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；2. 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上 .知5－练如图22.1-4，已知AB∥CD∥EF，下列结论中，错误的是( )A. ＝ B. ＝C. ＝ D. ＝例 6知5－练解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解题 .解：∵ AB∥CD∥EF，∴＝，＝，＝，故选项 A，B，D 正确，C 错误 .答案：C知5－练6-1. [期中·郑州外国语中学]已知线段a，b，c，作线段x，使ax＝ bc，则下列作法正确的是( )B知5－练如图22.1-5， 直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于点A，B，C，直线DF分别交这三条直线于点D，E，F，若AB＝3，DE＝3.5，EF＝4，求BC的长 .例 7知5－练解题秘方：紧扣平行线分线段成比例的基本事实，找出已知线段和未知线段之间的关系 .解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝，又∵AB＝3，DE＝3.5，EF＝4，∴ BC＝＝＝.知5－练7-1. 如图，l1∥l2∥l3，若＝，DF＝15，则DE＝_____.6知5－练如图22.1-6，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O. 若＝，AD＝10，则 AO＝______.解题秘方：利用平行线分线段成比例的推论解题 .解：∵ AB∥CD，∴＝＝，即＝，解得 AO＝4.4例 8知5－练8-1. 如图，在△ABC中， 点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是______.知5－练如图22.1-7，在△ABC中，D是AB上 一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过点D作AC的平行线交 CE的延长线于点F，CF与AB相交于点P. 求证：＝ .解题秘方：紧扣平行线分线段成比例的推论，利用中间量进行等量转化.例 9知5－练证明：∵ DE∥BC，∴＝. ∴ PD·PC＝PE·PB.∵ DF∥AC，∴＝∴ PD·PC＝PF·PA. ∴ PE·PB＝PF·PA，∴＝ .知5－练9-1. 如图，在△ABC中，MD//AB，MN//AE. 求证：＝.成比例线段成比例线段比例的基本性质两条线段的比黄金分割平行线分线段成比例应用利用平行线分线段成比例求线段长1如图22.1－8，l1∥l2∥l3，AB＝3，AD＝2，DE＝ 4，EF＝7.5.求BC，BE的长.例10解题秘方：紧扣平行线分线段成比例，根据已知线段长求出未知线段长.解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，即＝＝，∴BC＝6，FB＝BE，又∵FB＋BE＝EF＝7.5，∴BE＋BE＝7.5，∴BE＝5.方法点拨本题是三条直线被一组平行线所截，根据平行线分线段成比例的基本事实可以列出多个比例式，解决这类问题的关键是从图形中分离出“A”型或“X”型图形，从而列出对应比例式应用利用平行线分线段成比例证明线段的等积式2如图22.1－9，E为平行四边形ABCD的边CD的延长线上的一点，连结 BE，交 AC于点O，交 AD于点F.求证：BO2＝OF·OE.例11解题秘方：找平行线，利用平行线分线段成比例证明等积式.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BC，AB∥CE，∴＝，＝. ∴＝，∴BO2＝OF·OE.方法点拨当所要证明的比例式(等积式)不能直接得出时，往往通过联立两个比例式得出结论.应用利用平行线分线段成比例证明线段的数量关系3[一题多解]如图22.1－10，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M为AD的中点，CM的延长线交AB于点K. 求证：AB＝3AK.例12解题秘方：作平行线构造平行线分线段成比例的模型，利用平行线分线段成比例的推论得到线段的关系.证明：(方法一) 如图22.1－11①，过点B作BG∥CK交AD的延长线于点G，则＝，＝ .∵AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD，∴ MD＝GD.∵点M为AD的中点，∴ MD＝AM，∴ AG＝3AM.∴＝. ∴ AB＝3AK.(方法二) 如图22.1－11②，过点D作DE∥CK交AB于点E，则＝，＝.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD.∴BE＝KE.∵点M为AD的中点，∴ AM＝MD ，∴AK＝KE，∴ AK＝KE＝EB.∴AB＝3AK.方法点拨本题运用转化思想，通过作平行线的方法将一条直线上的两条线段的比转换为另一条直线上的两条线段的比，从而解决问题.另解如图22.1－12，过点A作AI∥CK交BC的延长线于点I，则＝，＝ .∵点M为AD的中点，∴AM＝MD，∴CD＝CI.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD. ∴ BD＝CD＝CI.∴ BC＝2CI. ∴ BK＝2AK. ∴AB＝3AK.易错点没有分类讨论而漏解在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点D在边AB所在的直线上，且AD＝2，过点D作DE∥BC交边AC所在的直线于点E，则CE的长为______.例136或12错解：6正解：当点D在边AB上时，如图22.1－13所示.∵DE∥BC，∴ ＝.又∵AD＝2，AB＝6，AC＝9，∴＝，解得AE＝3.∴CE＝AC－AE＝9－3＝6.当点D在边BA的延长线上时，如图22.1－14所示. ∵DE∥BC，∴ ＝.又∵AD＝2，AB＝6，AC＝9.∴＝，解得AE＝3. ∴CE＝AC＋AE＝9＋3＝12.易知点D在AB延长线上的情况不存在.综上所述，CE的长为6或12.诊误区：由平行线分线段成比例的推论可知，平行于三角形一边的直线与其他两边所在的直线相交的情况有三种，当没有明确是哪种位置关系时，应分类讨论解答.不要忽略了点D在边BA的延长线上这种情况.考法利用相似图形的定义识别相似图形1[中考·连云港]如图22.1－15，下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、 乙、丙、丁，其中是相似图形的为( )A. 甲和乙C. 甲和丙B. 乙和丁D. 甲和丁例14试题评析：本题考查识别相似图形，利用相似图形的定义进行判断即可.解：观察可得，甲和丁的形状相同，因此是相似图形.答案：D考法利用比例的基本性质求分式的值2[中考·南充]已知＝＝＝2，则的值是( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 6例15试题评析：本题主要考查了比例的基本性质和分式的化简，正确变形是解题的 关键.解：∵＝＝＝2，∴a＝2bc，b＝2ac，c＝2ab.∴a2＝2abc，b2＝2abc，c2＝2abc.∴＝＝＝6.答案：D考法利用平行线分线段成比例的基本事实求线段的长3[中考·乐山]如图22.1－16，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为( )A. 4B. 6C. 8D. 10例16试题评析：本题考查了平行线分线段成比例的基本事实，找准线段的对应关系是解决本题的关键.解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即＝，∴EF＝6.答案：B[中考·河南]如图22.1－17所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连结DE，则DE的长为( )A. B. 1 C. D.例17考法利用平行线分线段成比例的推论求线段的长4试题评析：本题考查了平行线分线段成比例的推论、三角形中位线定理，证明出DE是△ABC的中位线是解题的关键.解：如图22.1－17，取格点G，H，由网格的性质可知EG∥CH，∴＝＝＝，＝＝＝.∴D，E分别是AB，AC的中点.∴DE是△ABC的中位线. ∴DE＝BC＝1.答案：B1. 下列图形中，不是相似图形的是( )D2. 在比例尺为1∶8 000的景区地图上，某段隧道的长度为25 cm，则它的实际长度为( )A. 320 cm B. 2 000 cmC. 320 m D. 2 000 mD3. 下列各组线段中，成比例的是( )A. a＝4，b＝6，c＝5，d＝10B. a＝2，b＝4，c＝3，d＝6C. a＝2，b＝，c＝2，d＝10D. a＝0.8，b＝3，c＝1，d＝10B4. [中考·哈尔滨]如图，AB∥CD∥EF，若BC＝5，CE＝ 8，则的值为( )A. B.C. D.D5. [期末·平顶山]已知＝＝，且b＋d≠0，则的值是 ( )A. B. C. D.A6. [期中·郑州中原区]如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是( )A. 1 B.C. D.5D7. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是( )A. B. 1C. D. 2C8. [中考·济南]如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G(点G在正方形ABCD内部)，连结DG并延长交BC于点K.若BK＝2，则正方形ABCD的边长为( )A. ＋1 B. C. D. ＋1D9. [中考·成都]若＝3，则的值为_______．410. 折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能而受到人们的喜爱.如图是一个三层折叠花架，已知AB∥CD∥EF，AC＝30 cm， CE＝50 cm，BD＝42 cm，则BF的长为______．112 cm11. 小慧同学在学习了九年级上册“成比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：_________ .212. [中考·山西]黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且＝，若NP＝2 cm，则BC的长为_______cm(结果保留根号)．(－1)13. 已知a∶b∶c＝2∶3∶5.(1)求代数式的值；(2)如果3a－b＋c＝24，求a，b，c的值.解：∵a∶b∶c＝2∶3∶5,∴可设a＝2k,b＝3k,c＝5k(k≠0).(1)＝＝＝1.(2)∵3a－b＋c＝24,∴6k－3k＋5k＝24,∴k＝3,∴a＝2×3＝6,b＝3×3＝9,c＝5×3＝15.14. 如图，点D是△ABC边BC上的一点，连结AD，过AD上一点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知AE＝4.8，ED＝3.2，BC＝10.求CG的长.解：∵EF∥BD，AE＝4.8，ED＝3.2，∴＝＝＝．∵FG∥AC，∴＝＝．∴＝．∵BC＝10，∴CG＝BC＝6．15. 如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，DE交AB于点F，且＝.求证：AD＝EB.证明：过点D作DG∥AB交BC于点G,则＝, ＝，∴＝.又∵＝，∴＝.∴AD＝EB.(共84张PPT)22.5 图形与坐标第22章 图形的相似逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2确定物体的位置图形变换与坐标变化知识点确定物体的位置知1－讲11. 用坐标确定位置(1)选择一个适当的参照点为原点，建立平面直角坐标系 .(2)根据具体问题确定单位长度 .(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和对应地点的名称 .知1－讲特别提醒1. 建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，要本着方便、简单、美观的原则 .知1－讲2. 用经度和纬度确定位置 通过地球上的经度和纬度可以确定一个地点在地球上的位置.示例 经纬定 位法北京的位置约是“东经116°，北纬40°”知1－讲3. 用角度(方向)和距离确定位置 先选定某个参照物和某个方向，然后用一个角度和一个距离来表示一个点的位置，即某物体的位置.具体的方法如下：(1)选取某个点A为参照点，过参照点A画出表示东西和南北方向的直线；(2)用量角器量出点M相对于参照点A的方位角；(3)用刻度尺量出点M与参照点A之间的图上距离，并利用比例尺计算出点M与参照点A之间的实际距离；(4)用方位角和距离表示点M的位置.知1－讲特别提醒2. 用方位角和距离表示平面内点的位置时，必须有两个数据，缺一不可.(1)该点相对于参照点的方位角；(2)该点与参照点之间的实际距离.3. 用方位角和距离表示平面内点的位置和地图上的方向一样，按上北下南、左西右东划分，处于四个直角平分线上的方向分别是东南、东北、西北、西南.知1－练例 1根据下面的条件画一幅示意图，并在图中标出各个景点的位置和坐标 .菊花园：从中心广场向北走150 m，再向东走150 m；湖心亭：从中心广场向西走150 m，再向北走100 m；松风亭：从中心广场向西走100 m，再向南走50 m；育德泉：从中心广场向北走200 m.知1－练解题秘方：选择一个核心位置为坐标原点，按用平面直角坐标系表示地理位置的方法，建立平面直角坐标系 .知1－练解：如图22.5-1，选择中心广场所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系 .知1－练1-1. 五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下(为先手)，白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜.如图.若白棋A的坐标为(2，1)，黑棋B的坐标为(－1，－1)， 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是________.(1，－2)知1－练如图22.5－2是小明家和学校所在地的简单地图，已知OA＝2 km，OB＝3.5 km，OP＝4 km，C为OP的中点，回答下列问题：例 2知1－练(1)图中到小明家距离相同的是哪些地方？解题秘方：先求出OC的长，再比较各点到点O的距离，找出距离相等的点即可求解；解：因为C为OP的中点，所以OC＝OP＝×4＝2(km).因为OA＝2 km，所以到小明家距离相同的地方是学校和公园.知1－练(2)请用方位角与距离分别描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置.解题秘方：结合图用方位角与距离描述出学校、商场、停车场相对于小明家的位置即可.解：学校在小明家北偏东45°的方向上，且到小明家的距离为2 km；商场在小明家北偏西30°的方向上，且到小明家的距离为3.5 km；停车场在小明家南偏东60°的方向上，且到小明家的距离为4 km.知1－练2-1. 如图，下列关于小明家相对于学校的位置描述最准确的是( )A. 距离学校 1 200米处B. 在学校的北偏东 65°方向上的 1 200米处C. 在学校的南偏西 65°方向上的 1 200米处D. 在学校的南偏西 25°方向上的 1 200米处C知2－讲知识点图形变换与坐标变化21. 平移与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形的平移一般都沿着x轴方向或y轴方向进行，平移前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下：(1)若沿x轴向右(或向左)平移，则对应顶点的纵坐标不变，而横坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位；(2)若沿y轴向上(或向下)平移，则对应顶点的横坐标不变，而纵坐标平移几个单位就增加(或减少)几个单位 .知2－讲特别解读1. 将图形左右平移，点的纵坐标不变；上下平移，点的横坐标不变 . 即右加左减纵不变；上加下减横不变 .2. 关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律：横对称，横不变，纵相反；纵对称，纵不变，横相反.知2－讲2. 轴对称与坐标变化 在同一平面直角坐标系中，图形一般以x轴或y轴为对称轴进行轴对称变换，变换前后图形对应顶点的坐标的变化规律如下：(1)关于x轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等 .知2－讲3. 位似与坐标变化 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k，即若原图形的某一顶点坐标为(a，b)，则其位似图形对应顶点的坐标为(ak，bk)或 (－ak，－bk).知2－讲注意这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比.知2－讲特别提醒1. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换分两种情况：一种是位似图形与原图形在原点的同侧；另一种是在原点的两侧.2. 当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0 知2－讲4. 图形变换引起的点的坐标变化规律如下表：知2－练如图22.5-3，在△ABC中，点A(3，1)，B(1，2)，将△ABC向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B的对应点B′的坐标为( )A. (3，－3)B. (3，3)C. (－1，1)D. (－1，3)例 3知2－练解题秘方：根据平移变换中坐标变化的规律求解 .解：根据平移变换中坐标变化的规律，点B′的坐标为(1－2，2＋1)，即点B′(－1，3).答案：D知2－练3-1.[中考·淄博]如图，已知A，B两点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，将线段AB平移得到线段CD. 若点A的对应点是 C(1，2)，则点B的对应点D的坐标是_______.(3，4)知2－练(1)在平面直角坐标系中，若点M(2，3)与点N(x，－3)关于x轴对称，则x的值为_______.例 4解题秘方：根据关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律求解 .2知2－练(2)如图22.5-4，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，点A的坐标为(－1，4)，现将△ABC沿y轴翻折到第一象限.解题秘方：先求出对应点的坐标，再画出图形 .①请写出点B，C的对应点B′，C′的坐标；②请你在图22.5-4 中画出△A′B′C′.知2－练解：点B′的坐标为(4，3)，点C′的坐标为(3，1).如图22.5-4，△A′B′C′即为所求.知2－练4-1. 如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2，3)，B(1，0)，C(0，3).知2－练(1)画出“V”字图形向左平移 2个单位后的图形；解：如图①.知2－练(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；解：如图②.知2－练(3)将(1)(2)中所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？(任意答一个即可)解：图①是“W”，图②是“X”．(任选一个回答即可)知2－练如图22.5-5，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1).例 5解题秘方：根据位似中心及相似比作图，再利用位似变换中坐标的变化规律求对应点的坐标 .知5－练(1)画出以点O为 位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大为原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为 2)的位似图形△OB′C′；解：如图22.5-5，△OB′C′就是要画的图形 .知5－练(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，试写出点M的对应点M′的坐标 .解：点B′，C′的坐标分别为(－6 ，2)，(－4，－2).点M的对应点M′的坐标为(－2x，－2y).知5－练5-1. [模拟·北京海淀区 ]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A(9，3)，则点A1的坐标是_______.(3，1)图形与坐标图形与坐标图形变换坐标变化平移轴对称位似确定位置坐标角度(方向)和距离经度和纬度题型图形的平移变换与坐标变化1如图22.5－6，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B (3，2)，OC＝AB，OC∥AB.例 6(1)试用平移的知识求点C的坐标；解题秘方：利用图形的平移与点的坐标变化的关系即可求解；解：由题意知将线段AB平移可以得到线段OC.∵将点A(1，4)平移到点O(0，0)，横坐标减少1，纵坐标减少4，∴ 将点B(3，2)的横坐标减少1，纵坐标减少4，即可得到点C的坐标，∴ 点C 的坐标为(2，－2).(2)求四边形ABCO的面积.解题秘方：利用割补法求图形的面积.解：如图22.5－6，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，过点B作y轴的平行线，交EA的延长线于点D，交FC的延长线于点G，则四边形DEFG为矩形. ∴S四边形ABCO＝S矩形DEFG－S△AOE－S△ABD－S△BCG－S△OCF＝182－2－2－2＝10.技巧点拨一条线段平移前后平行(或在同一条直线上)且相等，根据OC＝AB，OC//AB，可知线段OC可以看成是由线段AB平移得到的，利用图形平移前、后坐标的变化规律，即可求出点C的坐标.题型图形的轴对称变换与坐标变化2如图22.5－7，在平面直角坐标系中，AB是过点(1，0)且垂直于x轴的平面镜，则点P(3，2)在平面镜AB中的像的坐标为( )A. (0，2) B. (－3，2)C. (1，2) D. (－1，2)例 7解题秘方：解：∵点P的坐标为(3，2)，且点P在平面镜AB中的像与点P关于AB所在的直线对称，∴点P(3，2)在平面镜AB中的像的坐标为(－1，2).答案：D规律总结关于直线(x＝n或y＝m)对称的两点的坐标的关系：两点关于直线x＝n对称，横坐标相加的一半等于n,纵坐标相等；两点关于直线y＝m对称，横坐标相等，纵坐标相加的一半等于m.题型图形的位似变换与坐标变化3如图22.5－8，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作矩形EFGO的位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)，则位似中心的坐标为_______.例 8(0，2)解题秘方：先确定位似中心，再根据位似的性质求点的坐标.解：如图22.5－8，连结BF交y 轴于点P，则点P为位似中心. ∵ 四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)，∴BC＝4，GF＝2，点 C 的坐标为(0，4)，点G 的坐标为(0，1)，∴ CG＝3.易知 BC∥GF，∴△ BCP∽△FGP，∴＝＝＝.∵ GP＋CP＝GC＝3，∴GP＝1，PC＝2，∴点P的坐标为(0，2).规律总结位似中心不是原点的位似变换中坐标的变化规律：将一个图形按照一定的相似比(k)放大或缩小，设位似中心的坐标为(a，b)，如果图形中某个点的坐标为A(m，n)，那么变换后对应点A′的横坐标为k(m－a)＋a或k(a－m)＋a，纵坐标为k(n－b)＋b或k(b－n)＋b.题型图形变换与坐标变化的规律探究4如图22.5－9①，对于点O，M，点M沿MO的方向运动到点O后左转弯继续运动到点N，使 OM＝ON，且OM⊥ON，这一过程称为点 M关于点O完成一次“左转弯运动”.例 9如图22.5－9 ②，已知正方形ABCD和点P，点P关于点A“左转弯运动”到点P1，点 P1关于点 B“左转弯运动”到点P2，点 P2关于点C“左转弯运动”到点P3，点 P3关于点 D“左转弯运动”到点P4，点P4关于点 A“左转弯运动”到点 P5……解题秘方：根据新定义的图形变化规则，探究点P1，P2，P3，P4，P5 的坐标，找出规律，利用规律求得点P2 026， P2 027，P2 028的坐标.(1)请你用直尺和圆规在图中确定点P1的位置；解：首先作∠BAP1＝∠DAP，然后截取AP1＝AP.点P1的位置如图22.5－10.另解如图22.5－11，以点A为圆心，AP的长为半径画弧，以点B为圆心，DP的长为半径画弧，两弧的交点即为点P1．(2)以点D为原点，直线CD为x轴，直线DA为y轴建立平面直角坐标系，已知点B在第二象限，A，P两点的坐标分别为(0，4)，(1，1)，请求出点P2 026，P2 027，P2 028的坐标.解：画出平面直角坐标系及点P1，P2，P3，P4，P5如图22.5－12，点P(1，1)关于点A(0，4)“左转弯运动”到点P1(－3，3)，点P1(－3，3)关于点B(－4，4)“左转弯运动”到点P2(－5，3)，点P2(－5，3)关于点C(－4，0)“左转弯运动”到点P3(－1，1)，点P3(－1，1)关于点D(0，0)“左转弯运动”到点P4(1，1)，点P4(1，1)关于点A(0，4)“左转弯运动”到点P5(－3，3)，…，由上可知，点P4与点P重合，点P5与点P1重合，…，故点P2 026与点P2 重合，点 P2 027与点P3重合，点 P2 028与点P重合.∴点P2 026的坐标为(－5，3)，点 P2 027的坐标为(－1，1)，点 P2 028的坐标为(1，1).技巧点拨探索规律问题的求解技巧：根据图形先找出几个符合条件的点的坐标的变化规律，再确定P2 026，P2 027，P2 028三个点在这个变化过程中的位置，就能够确定这三个点的坐标，这也是解决探索规律型问题常用的方法．易错点未分类讨论位似图形与位似中心的位置而出错在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(4，0)，O(0，0).以原点O为位似中心，把这个三角形缩小到原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是_________________.例10(－1，2)或(1，－2)错解：(－1，2)正解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小到原来的，得到△CDO，则△CDO与△ABO可以在位似中心的同侧或异 侧，∵点A的坐标为(－2，4)，∴点C的坐标可以为[(－2)×，4×]或[(－2)×(－)，4×(－)]，即(－1，2)或(1，－2).诊误区：当位似图形的位置不明确时，要考虑两种情况:位于位似中心的同侧和异侧.考法建立平面直角坐标系确定位置1在如图22.5-13所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为(－1， 0)，(1，1)，则“强”的坐标为( )A. (3，3)B. (2，3)C. (4，3) D. (4，5)例11试题评析：本题考查了用坐标确定位置，根据“少”“年”的坐标确定平面直角坐标系，即可得出“强”的坐标.解：∵“少”“ 年”的坐标分别为(－1，0)，(1，1)，∴建立平面直角坐标系如图22.5－13所示.∴“ 强”的坐标为(2，3)．答案：B考法利用图形变换求点的坐标2[中考·江西] 在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点B，则点 B的坐标为______.例12类型1 平移变换(3，4)试题评析：本题考查了平移变换与坐标. 熟记平移变换中点的坐标变化规律是解题的关键.解：∵点A(1，1)向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点B，∴点B的坐标为(1＋2，1＋3)，即(3，4).[中考·常州]如图22.5－14，在平面直角坐标系xOy 中，正方形 ABCD的对角线AC，BD相交于原点O．若点A的坐标是(2，1)，则点C的坐标是__________.类型2 轴对称变换(－2，－1)例13试题评析：本题考查了轴对称变换与坐标，根据正方形的轴对称性，得到点A，C关于原点对称是解题的关键.解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O，∴点A，C关于原点O对称.∵点A的坐标是(2，1)，∴点C的坐标是(－2，－1).[中考·兰州]如图22.5－15，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O，已 知 BC∶B′C′＝1∶2，则B(2，0)的对应点B′的坐标是( )A. (3，0) B. (4，0)C. (6，0) D. (8，0)例14类型3 位似变换试题评析：本题考查了位似变换中坐标变化的规律，熟练掌握上述规律是解题的关键．解：∵△ ABC与△A′B′C′位似，位似中心是原点O，BC∶B′C′＝1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.∵B(2，0)，∴B′(2×2，0×2)，即B′(4，0)．答案：B[中考·安徽]如图22.5－16，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点)．已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6)．考法3 利用图形变换在平面直角坐标系中作图例15试题评析：本题主要考查了在平面直角坐标系中画位似图形，根据点A和点A1的坐标得出位似变换方式是解题的关键．(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；解：如图22.5－16，点D即为边AB的中点，∵A(－1，－3)，B(－3，1)，∴点D的坐标为(－2，－1)．(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点 A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1．解：如图22.5－16，△A1B1C1即为所求作的三角形．1. [中考·雅安]在平面直角坐标系中，将点P(1，－1)向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点的坐标是 ( )A. (1，1) B. (3，1)C. (3，－1) D. (1，－1)B2. 如图是平面镜成像的示意图．若以蜡烛的底部和平面镜中像的底部连线为x轴，镜面侧面为y轴(镜面厚度忽略不计)建立平面直角坐标系．某时刻火焰顶部S的坐标为(4，2)，则此时对应的像的火焰顶部S'的坐标是( )A. (4，－2)B. (2，4)C. (2，－4)D. (－4，2)D3. [中考·浙江]如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为( )A. (－4，8)B. (8，－4)C. (－8，4) D. (4，－8)A4. 一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，－6)，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为( )A. y＝3x B. y＝－3xC. y＝x D. y＝－xA5. [中考·青岛]如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将△ABC关于y轴的对称图形绕原点O旋转180°，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标是( )A. (－1，－2)B. (1，2)C. (2，1)D. (－2，－1)A6. [中考·无锡]在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上(如图所示)，然后将三角板向右平移a个单位，再向下平移a个单位后，小明发现A，B两点恰好都落在函数y＝的图象上，则a的值为_______．2或37. 【初高衔接】直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，复数z＝a＋bi可用点(a，b)表示，比如，复数1＋4i对应复平面内点(1，4)；复数2－5i对应复平面内点(2，－5).若复平面内的点A对应复数2＋i，点B对应复数1＋2i，则线段AB的长是______；以原点O为位似中心，作△OAB的位似图形△OA′B′， 且点A的对应点为A′， 若△OA′B′与△OAB的相似比为2∶1，则A′对应的复数是______________．4＋2i或－4－2i8. 临黄河而知中国，临河洛而知华夏．洛阳因地制宜、科学规划实施“一中心六组团”城市发展战略，一座座地标性建筑点缀在历史、现代、未来3个城市轴线上，一个错落有致、古今辉映，具有洛阳特色的城市格局跃然而现．如图是洛阳城内部分建筑物的平面示意图，图中每个小方格都是边长为1个单位的正方形．若火车站的坐标为(0，2)，洛阳博物馆的坐标为(2，－2)．(1)请你根据题目条件在图中画出平面直角坐标系，并写出丽景门的坐标；解：平面直角坐标系如图所示．丽景门的坐标为(3,1)．(2)若洛邑古城的坐标为(6，2)，龙门石窟的坐标为(4， －4)，请在图中标出洛邑古城和龙门石窟的位置．解：洛邑古城和龙门石窟的位置如图所示．9. 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(2，3)， C(1，2).(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；解：如图，△A1B1C1即为所求作．(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2∶1，并写出点B2的坐标．解：如图，△A2B2C2即为所求作.点B2的坐标为(－4，－6)．(共199张PPT)23.3 相似三角形第23章 图形的相似逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相似三角形由平行线判定三角形相似由角的关系判定三角形相似由边角关系判定三角形相似由三边关系判定三角形相似相似三角形的性质相似三角形的应用三角形的重心知识点相似三角形知1－讲11. 定义 对应边成比例、对应角相等的三角形称为相似三角形.2. 表示方法 相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 例如△ABC与△A′B′C′相似，记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”.知1－讲3. 相似比 相似三角形对应边的比值叫做这两个相似三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.知1－讲4. 相似三角形的对应性、顺序性、传递性内容 示例 图示对 应 性 两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 如:△ABC∽△A′B′C′ 不能写成△ABC∽ △B′C′A′知1－讲内容 示例 图示顺 序 性 相似比具有顺序性 如:△ABC∽△A′B′C′， 其相似比为k，则 △A′B′C′∽△ABC，其相似比为知1－讲内容 示例 图示传 递性 相似三角形具有传递性 如:△ABC∽△A′B′C′， △A′B′C′∽△GHK，则△ABC∽△GHK知1－讲方法归纳相似三角形中对应元素的寻找方法：知1－练例 1如图22.3-1，已知△ABC∽△ADE，∠A＝70 °，∠B＝40°，AB＝6，BC＝6，AD＝3.解题秘方：紧扣相似三角形的对应角相等，对应边成比例求解 .知1－练(1)求△ABC与△ADE的相似比；解：△ABC与△ADE的相似比为＝＝2 .知1－练(2)求∠AED的度数和DE的长 .解：∵∠A＝70°，∠B＝40°，∴∠C＝180°－70°－40°＝70°.∵△ABC∽△ADE，∴∠AED＝∠C＝70°，＝.又∵AB＝ 6，BC＝ 6，AD＝3，∴＝，解得 DE＝3.知1－练1-1. 如图，△ADE∽ △ABC，且 AD∶DB＝1∶3，则△ADE与△ABC的相似比为( )A. 1 ∶ 3B. 1∶4C. 3 ∶ 1D. 4∶1B知1－练1-2. 如图，点D在△ABC的BC边上，△ABC∽△DAC，∠B＝ 50°，∠C＝20°，则 ∠BAD＝______.60°知2－讲知识点由平行线判定三角形相似2平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似 .常见基本图形 如图22.3-2 .知2－讲特别提醒根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有 BC//DE，图22.3-2 ①②很像大写字母A， 故我们称之为“A”型相似；图22.3-2 ③很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似.知2－练如图 22.3-3，在□ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比 .例 2解题秘方：紧扣平行线截三角形相似的两种基本图形：“A”型和“X”型进行查找 .知2－练解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥ BC，AB＝CD，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED. ∴△CDF∽△AED.∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE.∴△BEF∽△CDF，相似比＝＝；△BEF∽△AED，相似比＝＝；△CDF∽△AED，相似比＝＝.知2－练2-1. 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有( )A. 3 对B. 5 对C. 6 对D. 8 对C知2－练[中考·北京] 如图22.3-4，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为______.解题秘方：紧扣平行线截三角形相似及相似三角形的对应边成比例解答 .例 31知2－练解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∴△AEF∽△CBF，BC＝＝＝4．∴＝＝，∴＝，∴ AE＝1．知2－练3-1. 如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3，若AB的长度为 6，则DE的长度为( )A. 4B. 9C. 12D. 13.5B知识点由角的关系判定三角形相似知3－讲31. 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.2. 数学语言：如图 22.3-5，在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知3－讲特别提醒常见的相等的角：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、两直线平行时的同位角和内错角.知3－练如图22.3-6，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F. 求证：△ABF∽△CAF.例 4知3－练解题秘方：紧扣“两角分别相等的两个三角形相似”证明，由于∠BFA是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠B＝∠4即可证明 .知3－练证明：∵EF垂直平分AD，∴ AF＝DF. ∴∠FAD＝∠3.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠ 1＝∠2.又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∴∠B＝∠4.又∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF.知3－练4-1. 如图，在Rt△ABC中， ∠ABC＝90 °，E是边AC上一点，且BE＝BC， 过点A作BE的垂线，交 BE的延长线于点D. 求证：△ADE∽△ABC.知3－练证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠BEC.又∵∠BEC＝∠AED，∴∠AED＝∠C.∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠D＝∠ABC. ∴△ADE∽△ABC.知4－讲知识点由边角关系判定三角形相似41. 相似三角形的判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 .2. 数学语言：如图22.3-7，在△ABC和△DEF中，∵＝，∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.知4－讲特别提醒运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的“SAS”方法 .知4－练如图22.3-8，在正方形ABCD中，P是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. 求证：△ADQ∽△QCP.解题秘方：紧扣“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明 .例 5知4－练证明：设正方形ABCD的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.∵ Q是CD的中点，BP＝3PC，∴ DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴＝＝2 .又∵在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.知4－练5-1. 如图，在△PAD中，点C，B在AD边上，连结PC，PB，△PCB是等边三角形，且AC＝1，CB＝2，BD＝4. 求 证：△ACP∽△PBD.知4－练证明：∵△PCB是等边三角形，∴∠PCB＝∠PBC＝60°，PC＝CB＝PB＝2．∴∠PCA＝∠PBD＝120°．∵AC＝1，BD＝4，∴＝，＝．∴＝．∴△ACP∽△PBD．知5－讲知识点由三边关系判定三角形相似51. 相似三角形的判定定理3三边成比例的两个三角形相似 .2. 数学语言：如图 22.3-9，在△ABC和△DEF中，∵＝＝，∴△ABC∽△DEF.知5－讲特别提醒运用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况.知5－讲3. 利用三边判断两个三角形是否相似的步骤与方法步骤 方法排序 将三角形的三边按从小到大(或从大到小)的顺序排列计算 分别计算这两个三角形对应边的比值判断 根据比值是否相等判断两个三角形是否相似知5－练图22.3-10与图22.3-11中小正方形的边长均为 1，则图22.3-11中的哪一个三角形(阴影部分)与图22.3-10中的△ABC相似？例 6知5－练解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”判断 .知5－练解：易知AC＝，BC＝2，AB＝.图22.3-11①中，三角形的三边长分别为1，，2；图22.3-11②中，三角形的三边长分别为1，，；知5－练图22.3-11③中，三角形的三边长分别为，，3；图22.3-11④中，三角形的三边长分别为2，，.∵＝＝＝，∴图22.3-11②中的三角形与△ABC相似 .知5－练6-1.[期中·上海虹口区]一个木质三角形框架模型的三边长分别为 5 cm，6 cm，10 cm，木工要以一根长为30 cm的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三是( )角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的A. 15 cm，18 cm B. 20 cm，24 cmC. 25 cm，50 cm D. 36 cm，60 cmB知识点相似三角形的性质知6－讲61. 相似三角形的对应边、对应角的性质 相似三角形的对应边成比例、对应角相等．2. 相似三角形的其他性质 已知△ABC∽△A′B′C′， 且它们的相似比为k，性质及推理如下表：知6－讲类别 图形 推理 性质对应 边上 的高 的比 AD，A′D′分别为△ABC 和△A′B′C′的对应边BC和B′C′上的高 由两角分别相等的两个三角形相似，得△ABD∽△A′B′D′， 再由相似三角形的定义，得＝＝k 对应边上的高的比等于相似比知6－讲类别 图形 推理 性质对应 边上 的中 线的 比 AM，A′M′分别为△ABC和△A′B′C′的对应边BC和B′C′上的中线 由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得△ABM∽ △A′B′M′，再由相似三角形的定义，得＝＝k 对应边上的中线的比等于相似比知6－讲类别 图形 推理 性质对应 角平 分线 的比 AN，A′N′分别为△ABC和△A′B′C′的对应角∠BAC和∠B′A′C′的平分线 由两角分别相等的两个三角形相似，得△ΑΒN∽△Α′Β′Ν′， 再由相似三角形的定义，得＝＝k 对应角平分线的比等于相似比知6－讲类别 图形 推理 性质周长 比 AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′的对应边BC和B′C′上的高 ＝ ＝k 周长的比等于相似比面积 比 ＝ ＝k2 面积的比等于相似比的平方知6－讲特别提醒高、中线、角平分线必须是相似三角形对应边上的高、中线及对应角的平分线 .知6－讲活学巧记两个相似三角形，各角对应都相等，各边对应成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.知6－练例 7如图22.3-12，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH 的交点为P，矩形相邻两边的比为 1∶2. 若BC＝30cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH的周长 .解题秘方：将求矩形周长问题转化为与相似三角形对应高的比相关的问题求解 .解：设HG＝x cm，则EH＝2x cm. 易得PD＝HG.∵AD＝10 cm，∴ AP＝(10－x)cm.∵四边形EFGH为矩形，∴ EH∥BC. ∴ AP⊥EH，△AEH∽△ABC.∴＝，即＝，解得x＝6. ∴ HG＝6 cm，EH＝12 cm.∴矩形EFGH的周长为2×(6＋12)＝36(cm).知6－练知6－练7-1. 如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的 高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )A. B.C. D.D知6－练如果两个相似三角形的相似比是3∶2，它们的周长差为 8，那么较大的三角形的周长为______.解题秘方：紧扣“相似三角形周长之比等于相似比”列方程求解 .例 824也可设较小的三角形的周长为2x，则较大的三角形的周长为 3x. ∴ 3x－2x＝8，∴ x＝8，∴较大的三角形的周长为 3x＝24.知6－练解：设较大的三角形的周长为x，则较小的三角形的周长为x－8.∵这两个相似三角形的相似比为3∶2，∴这两个三角形的周长比为3∶2，∴＝，解得x＝24 .知6－练8-1. [中考·连云港]△ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形DEF，其最长边为 12，则△DEF的周长是( )A. 54 B. 36C. 27 D. 21C知6－练如图22.3-13，△ABC∽△A′B′C′，BC＝6，B′C′＝4，AD⊥BC，AD＝4，求△A′B′C′的面积 .解题秘方：利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解 .例 9知6－练解：S△ABC＝BC·AD＝×6×4＝12 .∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝()2，即＝()2＝，∴ S△A′B′C′＝＝，即△A′B′C′的面积为.知6－练9-1. 如图，已知△ABC∽△AEF，若B，E，F三 点共线，线段EF与AC交于点O．知6－练(1)求证：△ABE∽△ACF；证明：∵△ABC∽△AEF，∴＝，∠BAC＝∠EAF，∴＝，∠BAC－∠EAC＝∠EAF－∠EAC，即∠BAE＝∠CAF．∴△ABE∽△ACF．知6－练(2)若AF＝5，BC＝10，△AOF的面积为8，求△BOC的面积.解：由(1)知△ABE∽△ACF，∴∠ABE＝∠ACF．又∵∠AOB＝∠COF，∴△AOB∽△FOC，∴＝, ∴＝.又∵∠AOF＝∠BOC，∴△AOF∽△BOC．∴S△BOC∶S△AOF＝()2＝4．∵S△AOF＝8，∴S△BOC＝32．知识点相似三角形的应用知7－讲71.利用相似测量高度方法一：利用影长测量物体的高度(1)测量原理：同一时刻物体的高度与它在太阳光下的影长成比例 .要确保被测物体的底部能够到达 .知7－讲(2)测量方法：在有太阳光线的同一时刻，测出测量者的影长、待测物体的影长和测量者的身高，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度.(如图22.3-14)特别提醒1. 由于影长可能随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量测量者与被测物体的影长 .方法2：利用直尺或标杆测量物体的高度(1)测量原理：用直尺或标杆的长(高)作为三角形的边，利用视点和盲区构造相似三角形 .(2)测量方法：借助直尺或标杆测量物体高度的方法如图22.3-15.知7－讲知7－讲特别提醒2. 使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”，观测者的眼睛、直尺顶(底)端和被测物体顶(底)端必须“三点共线”，标杆或直尺与地面要垂直，被测物体底部必须可到达 .方法三：利用镜子的反射测量物体的高度(1)测量原理：利用镜子的反射，根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形 .(2)测量方法：测出观测者站立点与镜面标记点的距离、待测物体底部与镜面标记点的距离以及观测者眼睛距地面的高度，利用相似三角形的性质计算待测物体的高度.(如图22.3-16)知7－讲知7－讲特别提醒3. 测量时待测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置. 利用物理学中的“反射角等于入射角”及数学中的“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等.知7－讲2. 利用相似测量宽度(1)测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离 .知7－讲(2)常见的测量方式(1)构造“A”型相似，如图22.3-17.(2)构造“X”型相似，如图22.3-18.知7－练数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为______米.解题秘方：用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.12例10知7－练解：设该旗杆的高度是x 米，根据题意，得2∶1.2＝x∶7.2，解得x＝12，即该旗杆的高度是12 米.知7－练10-1. [期末·郑州郑东新区]如图，树OD垂直立在地面上，小明在A时测得树的影子ED长为6 m，B时又测得该树的影子CD长为4 m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度OD长为_______.2 m知7－练如图22.3-19，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置， 设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上. 已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝______m.5.5例11知7－练解题秘方：解本题的关键是找出相似三角形，然后根据对应边的比相等列出方程求解.解：DE＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m.∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D ＝∠D，∴△DEF∽△DCB. ∴＝. ∴＝.∴ BC＝4 m. ∴ AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m).知7－练11-1. 小明为测量旗杆的高度，设计了如下的测量方案：如图，竖直标杆的高度CD＝3.6 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝3 m，E，C，A三点共线，EM⊥ AB 于点M，交CD于点N．求旗杆AB的高度.知7－练解：由题易得，四边形EFDN，四边形EFBM，四边形NDBM都是矩形，CD∥AB，∴EF＝DN＝MB，EN＝DF，MN＝BD，EM＝BF，△ECN∽△EAM．∴＝．∵CD＝3.6 m，EF＝1.6 m，DF＝3 m，BD＝15 m，∴EN＝3 m，BM＝1.6 m，CN＝3.6－1.6＝2(m)，EM＝FB＝15＋3＝18(m)．知7－练∴＝．∴AM＝12 m．∴AB＝AM＋MB＝12＋1.6＝13.6(m)．答：旗杆AB的高度为13.6 m．知7－练如图22.3-20是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处水平放一平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2 米，BP＝3 米，PD＝12 米，求该古城墙CD的高度.例12知7－练解题秘方：紧扣“利用镜子的反射测量物体的高度的原理”判定两个三角形相似解决问题 .解：如图22.3-20，过点P作PE⊥BD.由题意可得∠CPE＝∠APE，∴∠CPD＝∠APB.∵ AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP ＝∠CDP＝90°.∴△ABP∽△CDP.∴＝.∵ AB＝2 m，BP＝3 m，PD＝12 m，∴＝，∴ CD＝8 m .答：该古城墙CD的高度为8m .知7－练知7－练12-1. [期末·南阳]医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．知7－练数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度AB(顶端A到水平地面BE的距离)，在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线BC后退到点E处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端A．已知BC＝6 m，EC＝1 m，小明的眼睛距地面的高度DE＝1.65 m，则雕像的高度AB＝_______.9.9 m知7－练下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度AB为( )A. 4 mB. mC. mD. 20 m例13题目 测量河的宽度测量目标示意图相关数据 AB⊥BC，AD⊥DE，BC＝12 m，BD＝10 m，DE＝30 m知7－练解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解.解：∵AB⊥BC，AD⊥DE，∴BC∥DE. ∴△ABC∽△ADE.∴＝，即＝，解得AB＝ m．即河的宽度AB为 m．答案：B知7－练13-1.[期中·南阳]白河，古称淯水，是南阳母亲河，小宛想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，她在河的对岸选定一个目标作为点A，再在这一侧的河岸边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，连结DE，使DE∥BC.知7－练经测量，BC＝80 m，DE＝200 m，且点E到河岸BC的水平距离为1 200 m．过点A作AF⊥BC于点F(AF即为河流的宽度)，请求出河流的宽度．知7－练解：过点E作EH⊥BF，垂足为H，则EH＝1 200 m．∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE．∴＝＝＝，∴＝．∵EH⊥BF，AF⊥BC，∴∠EHC＝∠AFC＝90°．又∵∠ECH＝∠ACF，∴△ECH∽△ACF．∴＝，即＝，∴AF＝800 m．答：河流的宽度为800 m．知8－讲知识点三角形的重心81. 三角形的重心 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心 .2. 三角形重心的性质 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点.知8－讲特别解读经过三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边.知8－练如图22.3-21，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，取AB的中点F，连结FD交AC于点E，求的值.解题秘方：已知条件中给出了中点，可以构造三角形的重心，紧扣重心的性质解题.例14知8－练解：如图22.3-21，连结AD.∵ CD＝BC，∴点C为BD的中点.又∵ 点F为AB的中点，AC和DF交于点E，∴ 点E为△ABD的重心，∴＝.知8－练14-1. 如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E，F分别为△ABD和△ADC的重心， 如果BC＝12，那么两个重心之间的距离为_______.4知8－练如图22.3-22，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD 的面积为( )A. 1 cm2B. 1.5 cm2C. 2 cm2D. 3 cm2例15知8－练答案：A解题秘方：根据重心将中线分成的两条线段的比得到面积之间的比解决问题.解：由点G为△ABC的重心可知，AD为BC边上的中线，且DG＝AD，故S△ABD＝S△ABC＝3 cm2 .易得＝＝，故S△BGD＝S△ABD＝×3＝1(cm2).知8－练15-1. 如图，在菱形ABCD中，E为AB的中点， 连结DE交对角线AC于点F，若菱形ABCD的周长为40 cm，AC＝16 cm， 求△ADF与菱形ABCD的面积比.知8－练解：连结BD，交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC，BD的中点，且AC⊥BD.∵菱形ABCD的周长为40cm，AC＝16 cm，∴AD＝10 cm，AO＝8 cm.知2－练相似三角形相似三角形判定定义平行线判定定理性质对应边、对应角对应线段周长、面积应用测高测宽题型利用相似三角形的判定和性质计算和证明1类型1 证明等积式如图22.3－23，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F. 求 证：AC·CF＝ CB·DF.例16解题秘方：用“三点定形法”将比例式中的四条线段划归到两个相似三角形中进行证明.证明：∵在Rt△CDB中，E为CB的中点, ∴EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，∴∠B＝∠ACD. ∴∠FDA＝∠ACD.又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD. ∴＝.∵∠ADC ＝∠CDB＝90°，∠ACD ＝∠B，∴△ACD∽△CBD. ∴＝ .∴＝，即AC·CF＝CB·DF.思路点拨比例式：＝.横看：比例式的两个分子中的字母对应的点是A，C，D，F四点，不能确定三角形；竖看：比例式的左端所含字母对应的点构成△ABC，比例式的右端所含字母对应的点构成△DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故需要找一个中间比来联系和；将证＝转化为证＝和＝后，再用横看找相似三角形.类型2 证明线段相等[一题多解]如图22.3－24，在△ABC中，点D是AB上的点，且AB＝3AD，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F.求证：BC＝CF.例17解题秘方：紧扣“平行线或相似三角形”使线段成比例的特征作辅助线.作平行线构造成比例线段及相似三角形的实质是构造“A型”或“X型”图形.证明：(方法一)如图22.3－25，过点A作AG∥DF，交 BF的延长线于点G.∵E是AC的中点，∴F是CG的中点.∵AB＝3AD，∴BD＝ AB.∵AG∥DF，∴＝＝. ∴BF＝BG. ∴ BF＝2FG.∵F是CG的中点，∴ FG＝CF. ∴BF＝2CF. ∴ BC＝CF.(方法二)如图22.3－26，过点A作 AG∥BC，交 FD的延长线于点G.由E是AC的中点，易得△AGE≌△CFE，∴ AG＝CF. ∵AB＝3AD，∴ AD＝BD.∵AG∥BF，∴△ AGD∽△BFD.∴＝＝.∴AG＝BF. ∴CF＝BF. ∴ BC＝CF.另解本题还有其他多种解法，下面仅给出添加辅助线的思路，举例如下：1. 如图22.3－27，过点B作BG∥AC，交FD的延长线于点G.2. 如图22.3－28，过点B作BG∥DF，交AC的延长线于点G.3. 如图22.3－29，过 点C作CG∥DE，交AB于点G.同理，还可过点D，E，F作平行线. .类型3 求线段长如图22.3－30，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE∥AB.例18解题秘方：紧扣“平行线构成A型图形相似”的 特征，利用相似比与面积比、周长比的关系进行求解.(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，求DE的长；解：∵AC＝4，BC＝3，∠ C＝90°，∴ AB＝5.∵DE∥AB，∴△ ABC∽△DEC.(1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，S△CDE∶S△CAB ＝1∶2.又∵＝()2，∴＝＝. ∴DE＝AB＝.(2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求DE的长.解：当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，CD＋CE＝AD＋AB＋BE，∴CD＋CE＝＝6.∵△ABC∽△DEC，∴＝＝.∴＝＝.∴DE＝AB＝.解法提醒相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方;反之，两个三角形相似，相似比等于周长比，相似比等于面积比的算术平方根.方法点拨解题时，若题中涉及“对应线段”(中线、高、角平分线)或面积，一般利用“相似三角形对应线段的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解.类型4 求面积如图22.3－31，在□ABCD中，点E是边AD的中点，连结EC交对角线BD于点F，若S△DEC＝3，则S△BCF＝________.例194解题秘方：紧扣“相似三角形面积的比的性质”，先求出与之相似的三角形的面积及相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝.∵点E是边AD的中点，∴DE＝AD＝BC，∴＝＝，∴＝，∴＝＝.∵ S△DEC＝3，∴S△DEF ＝1.又∵＝()2＝，∴ S△BCF＝4.等高(或等底)的两个三角形面积的比等于对应底(或高)的比.方法点拨解决面积问题的常用 方法：解决面积问题的常用 方法：①直接用面积公式；②利用相似三角形的 性质；③利用等底或等高；④割补法.本题先利用等高三角形面积的比等于对应底边的比，求出△DEF的面积，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BCF的面积.类型5 解决实际问题某小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花木(如图22.3－32)，其中AD∥ BC，AD＝10m，BC＝20 m.例20解题秘方：紧扣“相似三角形面积的比的性质”，建立相似三角形的模型求解.(1)他们在△AMD和△CMB地带上种植太阳花，价格为8元/ m2，在△AMD地带(图22.3－32中阴影部分)上种满太阳花共花了160元，请计算种满△CMB地带所需的费用；解：∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴＝()2＝()2＝.∵在△AMD地带上种满太阳花共花了160元，价格为8元/m2，∴S△AMD＝20 m2，∴S△CMB＝80 m2，∴在△CMB地带上种满太阳花所需的费用为8×80＝640(元).(2)在(1)的条件下，若其余地带有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，价格分别为12元/m2和10元/m2，则选择种植哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？解：设△AMD的边AD上的高为h1 m，△CMB的边BC上的高为h2 m，则易知梯形ABCD的高为(h1＋h2) m.∵×10h1＝20，∴h1＝4. ∵×20h2＝80，∴h2＝8.∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)(h1＋h2)＝×(10＋20)×(4＋8)＝180(m2).∴S△AMB＋S△DMC ＝180－20－80＝80(m2).160＋640＋80×12＝1 760(元)，160＋640＋80×10＝1 600(元)，∴选择种植茉莉花可以刚好用完所筹集的资金.另解∵△AMD∽△CMB，∴＝＝，∴CM＝2AM.又 ∵△AMD与△DMC 是等高三角形，∴ S△DMC＝2S△AMD＝ 40 m2.同理可得S△AMB＝40 m2.∴ S△AMB＋S△DMC＝40＋40＝ 80(m2).方法1 利用中间比法求物宽周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽. 如图22.3－33所示，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线EF，在直线EF上选点观测.例21题型利用相似三角形的判定和性质测量2当他位于点N时，他的视线从点M通过露台点D正好落在遮阳篷点A处，当他位于点N′时，视线从点M′通过点D正好落在遮阳篷点B处，这样观测到的两个点A，B之间的距离即为遮阳篷的宽.已知点C在AG上，AB∥CD∥EF，AG，DE，MN，M′N′均垂直于EF，MN＝M′N′，露台的宽CD＝GE.实际测得GE＝5 m，EN＝15.5 m，NN′＝6.2 m.请根据以上信息，求出遮阳篷的宽AB是多少米.解题秘方：根据平行线找相似三角形，利用相似三角形的性质建立线段之间的关系解决问题.解:如图22.3－33，连结MM′并延长交DE于点H. 易知HM＝EN＝15.5 m，CD＝GE＝5 m，MM′＝NN′＝6.2 m，CD∥HM，∴∠ADC＝∠DMH.又易知∠ACD＝∠DHM＝90°，∴△ACD∽△DHM，∴＝＝.易知AB∥MM′，∴△ABD∽△MM′D，∴＝＝，即＝，解得 AB＝2m.答：遮阳篷的宽AB是2 m.解题通法用相似三角形求物高(宽)的两个原则：(1)核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度(宽度)一般是其中的一边.(2)构造相似三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的边要容易测量这一原则.方法2 利用分割(补形)法求物高如图22.3－34，在离某建筑物CE4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直于地面放置，影子GH的长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD的高为2 m，那么这棵树的高度是多少？例22解题秘方：添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例求解.解：延长AD，与地面交于点M，如图22.3－34.易知AM∥FH，∴∠ AMB＝∠FHG.∵AB⊥BG，DC⊥BG，FG⊥BG，∴∠ ABM＝∠DCM＝∠FGH＝90°，∴△ABM∽△DCM∽△FGH.∴＝＝.∵CD＝2 m，FG＝1.2 m，GH＝2 m，∴＝，∴CM＝m.∵BC＝4 m，∴ BM＝BC＋CM＝4＋＝(m).∴＝，∴ AB＝4.4 m.答：这棵树的高度是4.4 m.教你一招利用相似三角形的性质解决实际问题的关键是能构造出相似三角形.构造相似三角形常用的方法为“作三线”：作平行线、作垂线、作延长线.方法3 利用影子断物法求物高如图22.3－35，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，测得CD＝8 m，BC＝20 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m高的木杆的影长为2 m，则电线杆的高度为( )A. 9 m B. 28 mC. (7＋) m D. (14＋2 ) m例23解题秘方：利用同一时刻物高和影长成比例，建立线段之间的数量关系解决问题.解：如图22.3－35，延长AD交 BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BF于点E.∵∠ DCE＝30°，CD＝8 m，∠ CED＝90°，∴DE＝4 m.∴CE＝＝4 m.设AB＝x m，EF＝y m.∵ DE⊥BF，AB⊥BF，∴DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴＝，即＝，∴＝.∵此时测得1 m高的木杆的影长为2 m，∴＝.① ∴＝，解得y＝8.将y＝8代入①，得＝，解得x＝14＋2.∴AB＝(14＋2)m.答案：D知识储备同一时刻，同一地点，有比例式：＝.方法点拨当物体的影子落在斜坡上时，常延长光线画出若无斜坡阻挡时物体在地面上的影子，根据相似三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理及方程思想求解.如图22.3－36，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6 cm，CD＝4 cm，BD＝14 cm，动点P从点B出发沿BD方向匀速向点D移动，当点P距离点B多远时△APB 与△CPD相似？例24题型探究动态问题中的相似三角形3思路导引：解：设BP＝x cm，则PD＝(14－x)cm. 当△ABP∽△PDC时，有＝，即＝. 整理，得x2－14x＋24＝0，解得x1＝2，x2＝12. 所以当BP＝2 cm或12 cm时，△ABP∽△PDC；当△ABP∽△CDP时，有＝，即＝，解得x＝8.4. 所以当BP＝8.4 cm时，△ABP∽△CDP.综上，当点P距离点B 2 cm或12 cm或8.4 cm时,△APB与△CPD 相似.解题通法在与相似三角形相关的动点题目中，随动点位置的不同，图形的形状发生变化，则相似三角形边的对应关系发生变化，出现多种情况.所以在动点的题目中，出现“△XXX和△XXX相似”这种描述时，点的对应关系不确定，必须进行分类讨论.在△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝10，P为AB上一点，PA＝4，过点P的直线交AC边所在的直线于点D，若△PAD 与△ABC相似，则PD的值为多少？例25易错点解题时考虑不全面，造成漏解错解：如图22.3－37，∵△PAD∽△BAC，∴＝.又∵PA＝4，AB＝8，BC＝10，∴＝.∴PD＝5，即PD的值为5.正解： 分两种情况：当PD∥BC时，同错解，PD＝5.当PD与BC不平行时，如图22.3－38，∵△PAD∽△CAB，∴＝.∵PA＝4， BC＝10， AC＝5，＝. ∴PD＝8.综上所述，PD的值为5或8.诊误区：由于受到思维定式的影响，往往只考虑到PD//BC的 情况，而忽视PD与BC不平行的情况，从而造成漏解.解答此类问题时，要考虑所有可能的情况,避免因为考虑不全面而导致漏解.[中考·河北]如图22.3－39，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽ △DCN，则这个条件是( )A. ∠ B＋ ∠4＝180° B. CD ∥ABC. ∠ 1＝ ∠4 D. ∠ 2＝ ∠3例26考法相似三角形的判定1试题评析：本题主要考查了相似三角形的判定、平行线的性质与判定，熟练应用相似三角形的判定方法是解题的关键．解：A.∵∠ B＋∠4＝180°，∴CD∥BM，∴∠CDN＝∠AME.∵AE∥BC，∴∠ AEM＝∠CND，∴△MAE∽△DCN，故A不符合题意；B. ∵CD∥AB，∴∠CDN＝∠AME，∵AE∥BC，∴∠AEM＝∠CND，∴△MAE∽△DCN，故B不符合题意；C. ∵AE∥BC，∴∠1＋∠B＝180°，∠AEM＝∠CND，∵∠1＝∠4，∴∠B＋∠4＝180°，∴CD∥BM，∴∠CDN＝∠AME.∴△MAE∽△DCN，故C不符合题意；D. 根据∠2＝∠3且结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN，故D符合题意.答案：D[中考·绥化]两个相似三角形的最长边的长分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是( )A. 14 cm B. 18 cmC. 30 cm D. 34 cm考法利用相似三角形周长比的性质求周长2例27试题评析：本题考查相似三角形的性质——周长比等于相似比，先根据两个相似三角形最长边的长度确定相似比，再根据周长之和即可求解．解：∵两个相似三角形的最长边的长分别为10 cm和6 cm，∴相似比为10∶6＝5∶3.∴较大三角形与较小三角形的周长比为5∶3.∵它们的周长之和为48 cm，∴较小三角形的周长为48×＝18(cm).答案：B[中考·宜宾]如图22.3－40，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4例28考法利用相似三角形面积比的性质求线段的比值3试题评析：本题考查了相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键.解：如图22.3－40，过点D作DF∥ BC交AC于点F.∵AD＝2DB，∴＝2，∴＝.∵DF∥BC，∴△AFD∽△ACB.∴＝＝，∴＝()2＝.设S△AFD＝4s，则S△ACB＝9s.∵沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，∴S△ADE＝s. ∴＝＝＝.∴÷＝ · ＝＝÷＝. ∴＝3.答案：C[中考·滨州]如图22.3－41，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC.以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F；以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H，以点H为圆心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连结AG并延长交BC于点D.考法相似三角形的判定和性质的综合4例29试题评析：本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握和运用以上知识是解题的关键．(1)求证：△ACD∽△BCA；证明：由作图可知∠DAC＝∠B.又∵∠ C＝∠C，∴△ ACD∽△BCA.(2)当AB＝4时，求BC的长.解：∵∠ BAC＝108°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°.由(1)得∠DAC＝∠B＝36°.∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝72°.∴∠ ADB＝180°－∠B－∠BAD＝72°.∴∠ ADB＝∠BAD，∴BD＝AB＝AC＝4.由(1)知△ ACD∽△BCA，∴＝.设BC＝x，则CD＝x－4，∴＝，整理，得x2－4x－16＝0.解得x＝2＋2或 x＝2－2(舍去).∴BC的长为2＋2.[中考·河南]焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下.例30考法相似三角形的应用5活动主题 测量纪念碑的高度实物图和测量示 意图测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A 在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上测量数据 DE＝2.1 m，DF＝2.1 m，DM＝1 m，MN＝1.2 m备注 点F，M，D，C在同一水平线上试题评析：本题主要考查了矩形的判定和性质、相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.根据以上信息，解决下列问题：(1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由.解：∵太阳光线是平行光线，∴易得△ADC∽△EFD，∴＝.∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE＝DF，∴CD＝CA.(2)求纪念碑AB的高度.解：记BN与DE的交点为H，则四边形BCDH和四边形MNHD是矩形.∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2 m，NH＝DM＝1 m，∴EH＝DE－DH＝0.9 m.设AB＝x m，则AC＝AB＋BC＝(1.2＋x)m，由(1)知CD＝CA，∴BH＝CD＝AC＝(1.2＋x)m.∴NB＝BH＋NH＝(2.2＋x)m.由题意知EH∥AB，∴△NEH∽△NAB.∴＝，∴＝，∴x＝19.8.答：纪念碑AB的高度为19.8 m.(3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5 m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64 m. 请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较 大？并分析误差较大的可能原因(写出一条即可).解：纪念碑的实际高度为19.64 m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5 m，(2)中纪念碑AB的高度为19.8 m，∴小红的结果误差较大．理由：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法准确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果. (答案不唯一，合理即可)1. [中考·河南]如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若AB＝4，则EF的长为( )A. B. 1C. D. 2B2. [中考·深圳]如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为( )A. B.C. D.D3. [中考·遂宁]如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，线段AQ的长为 ( )A. 2 B. 2C. 6 D.A4. [中考·无锡]如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原 点，Rt△OBA的直角边OB在x轴上，AO，AB分别与反比例函数y＝(k>0，x>0)的图象相交于点C，D，且C为AO的中点，过点C作x轴的垂线，垂足为E，连结DE.若△BDE的面积为，则k的值为( )A. B. C. 5 D. 10C5. 在如图所示的正方形网格中有许多三角形. 在△BDE，△BCD，△FGH，△BFG中，与△ABC不相似的是______.△BCD6. [中考·乐山]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，若＝，则＝______.7. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.已知AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A′B′的距离为______cm.208. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为_______.99. 如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，直线CM∥AB，E是BC上的动点(端点除外)，射线AE交CM于点D.在射线AE上取一点P，使得AP＝2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q.设AQ＝x，PQ＝y.当x＝y时，CD＝_____；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为__________.2y＝10. [中考·扬州]如图，在ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO．∵对角线AC的垂直平分线是EF，∴AO＝OC, EA＝EC.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF．∴四边形AFCE是平行四边形．又∵EA＝EC，∴四边形AFCE是菱形．(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．解：∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．∵四边形AFCE是菱形，∴∠ACE＝∠ACF．∴∠DCE＝∠ACF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD＝3．∴△CBA∽△CDE．∴＝，即＝，∴DE＝．11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的 高，G是DC延长线上一点，过点B作BE⊥AG，垂足为 E，交CD于点F.求证：CD2＝DF·DG.证明：∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°,∴∠CBD＋∠DCB＝90°.∵∠ACB＝90°,∴∠ACD＋∠DCB＝90°,∴∠ACD＝∠CBD.∴△ACD∽△CBD.∴＝.∴CD2＝AD·BD.∵BE⊥AG，∴∠FEG＝90°，∴∠G＋∠EFG＝90°.又∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∠EFG＝∠BFD,∴∠G＝∠DBF.又∵∠BDF＝∠GDA＝90°，∴△BDF∽△GDA.∴＝.∴AD·BD＝DF·DG.∴CD2＝DF·DG.12. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺(如图①)，它的两条边长分别是a，b，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度，如图②，从“矩”EFG的一端E处望向一根木杆(木杆的宽度忽略不计)的顶端B处，使视线通过“矩”的另一端G处(即B，G，E在一条直线上)，“ 矩”的一边EF的延长线与木杆AB垂直，垂足为C，测得DE＝1.6 m，AD＝4 m，已知“矩”的边EF＝1.4 m，FG＝0.7 m，BA⊥AD，DE⊥AD，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度AB.解：由题意易得四边形ADEC是矩形，∴EC＝AD＝4 m，CA＝ED＝1.6 m.∵GF⊥EC, BC⊥EC，∴GF∥BC．∴△EFG∽△ECB．∴＝，即＝，∴BC＝2 m．∴AB＝BC＋AC＝2＋1.6＝3.6(m)．答：木杆的高度AB为3.6 m．13. [江门广雅中学自主招生]如图，已知正方形ABCD经过旋转形成正方形EFGH，两正方形的交点形成八条线段 a，b，c，d，e，f，g，h.求证：a2＋c2＋e2＋g2＝b2＋ d2＋f2＋h2.证明：如图，记△GON的面积为S1，△CNM的面积为S2，△FML的面积为S3，….∵正方形ABCD经过旋转形成正方形EFGH，∴S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴S6＋S4＋S2＋S8＋S公共＝S5＋S3＋S1＋S7＋S公共，∴S6＋S4＋S2＋S8＝S5＋S3＋S1＋S7.∵四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，∴∠A＝∠E＝90°，又∵∠IJA＝∠KJE,∴△JIA∽△JKE,∴易得△JIA∽ △JKE∽△LKB∽△LMF∽△NMC∽△NOG∽△POD∽ △PIH,∴S6∶S5∶S4∶S3∶S2∶S1∶S8∶S7＝f2∶e2∶d2∶ c2∶b2∶a2∶h2∶g2,令S6＝f2k，则S5＝e2k, S4＝d2k, S3＝c2k, S2＝b2k, S1＝a2k,S8＝h2k, S7＝g2k,∴k(f2＋d2＋b2＋h2)＝k(e2＋c2＋a2＋g2),∴a2＋c2＋e2＋g2＝b2＋d2＋f2＋h2.14. [中考·武汉]如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE＝CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H.(1)求证：DH＝GH．(温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE≌△DCF)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC,∠ADC＝∠BCD＝90°,∠ADB＝∠CDB＝45°.∴∠DCF＝90°＝∠ADC．又∵DE＝CF，∴△ADE≌△DCF．∴∠DAE＝∠CDF．∴∠EAD＋∠ADB＝∠CDF＋∠CDB，∴∠HDG＝∠HGD．∴DH＝GH．(2)求证：AG·EH＝EG·GH.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝AD.∴△ABG∽△EDG. ∴＝＝．∵∠HDE＝∠HAD,∠DHE＝∠AHD，∴△HDE∽△HAD．∴＝，∴＝．又∵DH＝GH，∴＝．∴AG·EH＝EG·GH．(3)若＝n，直接写出的值(用含n的式子表示)．解：＝.(共60张PPT)22.4 位似图形第22章 图形的相似逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2位似图形的定义位似图形的性质位似图形的画法知识点位似图形的定义知1－讲1定义 两个图形的对应点的连线都相交于一点，对应边成比例，这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.说明1. 一般情况下，两个位似图形的位似中心只有一个；特殊情况下，可能不止 一个.知1－讲2. 位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部、边上或某一顶点处.常见位似图形的构成如图22.4-1.知1－讲特别提醒位似是相似的特殊情况，两个位似图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形.知1－练例 1判断如图22.4-2的各图中的两个图形是不是位似图形，如果是，请指出其位似中心 .知1－练解题秘方：紧扣“位似图形的定义”进行判断 .解：(1)是位似图形，位似中心为点 A；(2)不是位似图形；(3)是位似图形，位似中心为点O.知1－练1-1. [期中·周口]如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是( )A. △BDEB.△FDEC. △DGFD.△BGFD知2－讲知识点位似图形的性质2性质1 位似图形上任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比性质2 位似图形上任意一组对应点的连线都经过位似中心性质3 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上性质4 位似图形是特殊的相似图形,具有相似图形的所有性质知2－讲示例 若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，则＝＝＝＝k；直线A′A，B′B，C′C，D′D相交于点O；AB∥A′B′，BC∥B′C′，CD∥C′D′，AD∥A′D′；四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k知2－讲特别解读1. 利用位似图形的性质可以确定位似中心.2. 利用位似图形的性质可以求两个位似图形的相似比.知2－练找出如图22.4-3的位似图形的位似中心 .例 2解题秘方：紧扣“位似图形每组对应点的连线所在直线必过位似中心”进行查找 .解：如图22.4-3，点P1，P2，P3即为所求的位似中心 .知2－练2-1. 如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点DD知2－练如图 22.4-4，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′﹐已知＝，若四边形ABCD的面积是 2，则四边形A′B′C′D′的面积是______.例 318解题秘方：紧扣“位似图形的性质”进行求解 .知2－练解：由题意可知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，且相似比为，∴＝()2＝.又∵四边形ABCD的面积是2，∴四边形A′B′C′D′的面积为18 .知2－练3-1. 如图，点A在反比例函数y＝的图象上，过点A作AB⊥ x轴于点B，AC⊥y轴于点C，以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′，过点A′的反比例函数的表达式为y＝，则四边形OBAC和四边形OB′A′C′的相似比为______.知3－讲知识点位似图形的画法31. 位似的作用 利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.知3－讲2. 画位似图形的步骤知3－讲特别提醒以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形 .知3－练如图22.4-5，已知四边形ABCD，以点A为位似中心将四边形ABCD放大，使放大后的图形与原图形对应线段的比为 2∶1.例 4知3－练解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位似图形的步骤作图 .知3－练解：(画法不唯一)根据位似中心的不同位置情况进行作图.画法一：位似中心在四边形的顶点上，如图22.4－6，以点 A为位似中心，四边形 AB1C1D1就是所求作的图形.知3－练画法二：位似中心在四边形的边上，如图22.4－7，以AD边上 一点为位似中心，四边形A1B1C1D1就是所求作的图形.知3－练4-1. 如图， 在由边长为 1 的小正方形组成的网格图中，已知点O及△ABC的顶点均为网格线的交点.以点O为位似中心，将△ABC放大为原图形的3倍，得到画出△A′B′C′.知3－练解：如图，△A′B′C′即为所求.位似图形位似图形画法定义性质题型网格中的位似作图1如图22.4－8，在边长为1的正方形网格纸中，△ABC为格点三角形(顶点都在格点上).例 5(1)求△ABC的面积；思路导引：解：根据勾股定理，得AC＝＝，AB＝，BC＝＝，∴ AB2＋AC2＝10，BC2＝10，∴AB2＋AC2＝BC2，∴ △ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°.∴△ ABC的面积为××＝.(2)在网格纸中，以点O为位似中心画出△ABC的位似图形，使△ABC与它的位似图形的相似比为 (不要求写画法).思路导引：隐含相似比的顺序，即将△ABC放大为原来的2倍.解：△ABC的位似图形如图22.4－9中的△A′B′C′和△A"B"C".技巧点拨画位似图形的技巧：1. 对应点可以在位似中心的同侧，也可以在位似中心的异侧，所以一个图形按照给定的相似比和位似中心可以画出它的两个位似图形.2. 在正方形网格中画位似图形时，可采用数格的方法确定对应点的位置.3. 在直角坐标系内画位似图形时，可计算对应点的坐标确定对应点的位置.题型位似图形在实际生活中的应用2工人师傅要在三角形铝板ABC上截下一个正方形DEFG，使D，E两点分别在三角形的边 AB，AC 上，F，G两点在边 BC上，请帮他画出裁剪线.例 6思路导引：解：如图22.4－10.(1)作正方形D′E′F′G′， 使点D′在边AB上，点 F′， G′在边BC上；(2)连结BE′并延长，交 AC于点E；(3)过点E作DE∥BC，交 AB于点D，作EF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，则四边形DEFG就是所求的正方形.另解以点A或点C为位似中心作图，如图22.4-11.题型与位似图形有关的规律探究题3如图22.4－12是由等边三角形A1B1C1、等边三角形A2B2C2、等边三角形A3B3C3、… 、等边三角形AnBnCn组成的位似图形，其中第一个三角形(△A1B1C1)的边长为1，O是B1C1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，An是OAn－1的中点，顶点B2，B3，…，Bn，C2，C3，… ，Cn 都在边B1C1上.例 7解题秘方：利用位似图形的定义及性质得出边长之间的数量关系是解决此题的关键.(1)试写出△A10B10C10和△A7B7C7 的相似比和位似中心；解：∵它们各对应点的连线所在的直线都过点O，∴点O是这些等边三角形的位似中心，∴△A10B10C10 和△A7B7C7 的位似中心是点O.∵△A1B1C1 是等边三角形，O是B1C1的中点，∴OA1⊥B1C1 .∵△A1B1C1与△A2B2C2是位似图形，A2是OA1的中点，∴＝＝. ∵A1B1＝1＝，∴A2B2＝. 同理可得A3B3＝＝，…，AnBn＝. 即A10B10＝，A7B7＝，∴△A10B10C10和△A7B7C7的相似比为＝＝＝＝.(2)求△AnBnCn(n≥2，且 n为整数)的周长.解：由(1)可知，AnBn＝，∵△AnBnCn是等边三角形，∴AnBn＋BnCn＋CnAn＝，即△AnBnCn(n≥2，且n为整数)的周长为.思路点拨求解本题时，应先依据已知条件求出几组数据，然后观察、分析这些数据，挖掘出隐含在数据中的规律，再运用探索到的规律解决待求问题．易错警示求解本题的关键是将线段A1B1，A2B2等的长度变形成底数为的幂，继而找到规律，切勿把AnBn＝写成AnBn＝.易错点未分类讨论位似图形与位似中心的位置而出错如图22.4－13，以点O为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，画出放大后的图形.例 8错解：如图22.4－13，△A1B1C1即为所求.正解：有2种画法，如图22.4－13，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求.诊误区：当只知道相似比和位似中心而位似图形的位置不明确时，要考虑两种情 况：同侧和异侧.考法利用位似图形的性质求周长比[中考·眉山]如图22.4－14，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是( )A. 2∶1 B. 1∶2C. 4∶1 D. 1∶4例 9试题评析：本题考查了位似图形的性质，正确得到△OAB与△OCD的相似比是解题的关键.解：易知OB∶OD＝1∶2，∴△OAB与△OCD的相似比是1∶2.∴△OAB与△OCD的周长之比是1∶2.答案：B1. [中考·攀枝花]如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心.已知OA∶AD＝2∶1，则△ABC与△DEF的相似比为( )A. 2∶3B. 1∶3C. 2∶1D. 3∶2A2. 如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是 ( )A. 2DE＝3MNB. 3DE＝2MNC. 3∠A＝2∠FD. 2∠A＝3∠FB3.“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，图中的类似“E”的图形均是相似图形，下面不是位似图形的是( )A. ①与④B. ②与③C. ①与③D. ②与⑤B4. 如图，两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A. 点MB. 点NC. 点OD. 点PD5. [期中·郑州]如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD＝OA，△ABC与△DEF的面积之比为a∶b，则＝( )A. B.C. D.B6. 如图，这是物理学中的小孔△ABC的相似比为2，且位于点O的成像，AB是物体，遮挡板MN上的小孔抽象成点 O，AB透过小孔在光屏PQ上成的像是倒立放大的实像CD，△ ABO和△DCO是位似图形，位似中心为点O，遮挡板MN和光屏PQ的水平距离为8 cm，AB＝6 cm，此 时，像CD的长为12 cm，为了使像CD的长度变成AB的3 倍，在物体AB和光屏PQ位置不变的情况下，可以将遮挡板MN( )A.水平向右移动1 cmB.水平向左移动1 cmC.水平向右移动1.5 cmD.水平向左移动1.5 cmB7. 如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为位似中心的位似图形，已知AC＝3，若点A′的坐标为(1，2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是_______.1∶38. 如图，△ABC的顶点和定点O都在由边长为1的小正方形组成的网格图的格点上．(1)以点O为位似中心，在网格图中画出右侧；解：如图.(2)在(1)的条件下，线段B′C′经过格点D(不同于点B′，C′)，连结CD，BC′，写出四边形BC′DC的形状及其周长.解：如图，易知BC＝C′D＝＝，CD＝BC′＝＝2，∴四边形BC′DC是平行四边形，其周长为2BC＋2CD＝2＋4.9. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，EB的延长线与FC的延长线交于点O，点A和点D在线段OE上.(1)△ABC与△DEF的位似中心为点_____；O(2)若△ABC与△DEF的相似比为，AC＝3，求DF的长；(3)若∠O＝20°，∠ E＝40°，求∠BCF的度数．解：∵△ABC与△DEF是位似图形，且相似比为，∴＝，∴DF＝2AC＝2×3＝6．∵△ABC与△DEF是位似图形，∠E＝40°，∴∠ABC＝∠E＝40°．又∵∠O＝20°，∴∠BCF＝∠ABC＋∠O＝40°＋20°＝60°．(共50张PPT)22.2 相似图形第22章 图形的相似逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2相似多边形的定义和性质相似多边形的判定知识点相似多边形的定义和性质知1－讲11. 定义 两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似.2. 性质 相似多边形的对应边成比例，对应角相等.知1－讲说明相似多边形的性质有两层含义：一是对应边成比例，根据此性质可列出比例式，构造与边有关的方程，解方程可求出某条边的长度；二是对应角 相等，此性质与多边形的内角和定理结合起来应用，可求出某个角的度数.知1－讲3. 相似比 两个相似多边形对应边的比称为它们的相似比.知1－讲活学巧记两个相似多边形，形状相同大小异 .各边对应成比例，各角对应都相等 .知1－练例 1如图22.2-1，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥ BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.解题秘方：紧扣相似多边形的性质进行计算 .知1－练(1)求A′B′和BC的长；解：∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD//BC，A′D′//B′C′，∠A＝∠A′，∴ ＝＝＝＝.∵ AB＝6，B′C′＝12，∴ A′B′＝9，BC＝8.知1－练(2)求∠D′的大小 .解：由题意知∠D′＝∠D.∵AD∥BC，∠C＝60°，∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.知1－练1-1. 如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则(AE<BE)的值为______.知2－讲知识点相似多边形的判定2判定多边形相似的条件(1)边数相同；(2)所有的边对应成比例；(3)所有的角对应相等 .以上三个条件必须同时满足 .知2－讲特别提醒1. 相似多边形的定义既是相似多边形的性质也是相似多边形的判定；2. 如果两个多边形全等，那么这两个多边形一定是相似多边形，但相似多边形不一定是全等的 .知2－练如图22.2-2，有一块长 3 m，宽 1.5 m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽 7.5 cm. 边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什么？例 2解题秘方：紧扣相似多边形的判定进行说明 .知2－练解：不相似 . 理由如下：∵在矩形ABCD中，AB＝1.5 m，AD＝3 m，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm＝0.075 m，∴ EF＝1.5＋2×0.075＝1.65(m)，EH＝3＋2×0.075＝3.15(m).∴＝＝， ＝＝ .∵ ≠ ，∴边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似 .知2－练2-1. [期末·平顶山]下列各选项中，平行于原正多边形一边的直线将其分成两部分，其中阴影部分多边形与原多边形相似的是( )A相似图形相似图形对应边成比例对应角相等性质判定题型由相似多边形求边长之比1例 3如图22.2－3，点E，F分别在矩形ABCD的边AD，BC上，且AD＝3DE，BC＝3CF，连结EF，若矩形DEFC与矩形ABCD相似，则AB∶BC的值为( )A. B.C. D.解题秘方：根据相似多边形的性质得到＝，结合题意易得AB2＝BC2，即可求出结果．解：∵矩形DEFC与矩形ABCD相似，∴＝，即＝.∵AD＝3DE，AD＝BC，∴＝．∴AB2＝BC2.∴AB＝BC(负值已舍去)．∴AB∶BC＝.答案：D方法点拨若相似多边形的每组对应边的长均未知，但已知相关边之间的数量关系，则先利用相似多边形的性质得到相关线段之间的比例式，然后等量代换，得到一组边的比.题型相似多边形的判定2如图22.2－4，将一张长、宽之比为的矩形纸片ABCD依次不断对折，可以得到矩形BCFE，矩形AEML，矩形GMFH，矩形LGPN.例 4解题秘方：紧扣相似多边形的判定方法解答.(1)判断矩形ABCD，矩形BCFE，矩形AEML，矩形GMFH，矩形LGPN的长、宽之比是否相同，并说明理由.解：矩形ABCD，矩形BCFE，矩形AEML，矩形GMFH，矩形LGPN的长、宽之比相同. 理由如下：设矩形纸片ABCD的宽BC＝a，长AB＝a，则有BE＝a，AE＝a，ME＝，MF＝，HF＝a，LG＝a，LN＝，∴＝，＝＝，＝＝，＝＝. ∴五个矩形的长、宽之比相同.(2)你认为这些大小不同的矩形相似吗？解：(2)由(1)可知这些矩形的对应边成比例，对应角相等，所以这些大小不同的矩形都相似.解法提醒1. 此类题目只要按照题目的要求一步步思考，将操作过程转换为数量关系，计算出线段的比值即可.2. 用相似多边形的定义进行判断.题型相似多边形的探究题3例 5如图22.2－5，矩形纸片ABCD的边AB长2 cm，动直线l分别交AD，BC于E，F两点，且EF∥AB.解题秘方：利用正向思维，根据相似多边形的性质求线段；(1)若直线l是矩形ABCD的对称轴，且沿着直线l剪开后得到的矩形EFCD与原矩形ABCD相似，试求AD的长.解：∵矩形EFCD与矩形ABCD相似，∴＝.设CF＝x cm，则AD＝2x cm.∵CD＝AB＝2 cm，∴＝，解得x＝ (负值舍去)，∴AD＝2 cm.(2)若AD＝(＋1)cm，试探究：在AD边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形中存在与原矩形ABCD相似的情况？若存在，请求出AE的长；若不存在，请说明理由.解题秘方：利用逆向思维探究两个多边形相似成立的条件.解：存在.假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC必与AD对 应，ED必与DC对应，则有＝，∴DC2＝AD·ED.又∵DC＝2 cm，AD＝(＋1)cm，∴ED＝＝＝(－1)cm，∵2> －1，∴假设成立.此时AE＝AD－ED＝＋1－(－1)＝2(cm).依据对称性考虑，可知当AE＝(－1)cm时，矩形EFBA与矩形ABCD相似.综上所述，当AE＝(－1)cm或2 cm时，存在沿直线l剪开后所得到的小矩形中有与原矩形ABCD相似的情况.图解如图22.2－6，矩形EFCD与矩形ABCD相似；如图22.2－7，矩形EFBA与矩形ABCD相似.不能准确运用相似多边形的定义来判断两个多边形是否相似矩形甲、乙、丙的长和宽如图22.2－8所示(单位：cm)，则其中是相似图形的是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 甲和丙D. 甲、乙和丙例 6易错点错解：D正解：∵矩形甲的长、宽比为3∶2，矩形乙的长、宽比为5∶3，矩形丙的长、宽比为3∶2，矩形的四个角都是直角，∴矩形甲和丙为相似图形．答案：C诊误区：本题在判断两个多边形是否相似时，易主观判断为相似，或只判 断对应角相等，漏掉判断对应边是否成比例而出错.考法利用相似多边形的性质计算例 7[中考·威海]如图22.2－9，四边形ABCD 是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠，使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF. 若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为( )A. －1 B. －1C. ＋1 D. ＋1试题评析：本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应边成比例.解：设 HG＝x.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ A＝∠ADH＝90°，BC＝AD＝1.由折叠得∠DHE＝∠A＝90°，DH＝AD＝1，CG＝BC＝1，∴四边形ADHE是正方形.∴HE＝AD＝1.∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得x＝－1或x＝－－1.经检验，x＝－1和x＝－－1都是原方程的根.∵GH>0，∴ GH＝－1. ∴DC＝2＋x＝＋1.答案：C1. [期中·郑州]将等边三角形、菱形、矩形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有( )A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组C2. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是 ( )A. a＝2B. x＝2C. ∠α＝60°D. m＝2nD3. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，相似比为k，点A，E，B，F在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是( )A. ∠C＝∠GB. AD∥EHC. CD∶HG＝kD. BC⊥HGD4. 矩形相邻的两边长分别为25和x(x< 25)，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为( )A. 5 B. 5C. 10 D. 5B5. 如图，一个矩形广场的长为100 m，宽为80 m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？解：当(100＋2×1.5)∶100＝(80＋2x)∶80时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似,解得x＝1.2.答：当x为1.2时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.6. 如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，点 A，B，C，D，E，F 的对应点分别是A1，B1，C1，D1，E1， F1，∠A＝∠D1＝135°，∠ B＝∠E1＝120°， ∠C1＝95°.(1)求∠F的度数；解：∵多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，且∠C和∠C1,∠D和∠D1,∠E和∠E1是对应角，∴∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°,∵多边形ABCDEF为六边形，∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.(2)如果AB∶A1B1＝1∶1.5，且CD＝15 cm，求C1D1的长度.解：∵多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，AB∶A1B1＝1∶1.5，且CD＝15 cm，∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm).7. 为了铺满一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，使每一部分都铺成如图所示的形状，该形状由8块地砖组成.(1)每块地砖的长与宽分别为多少？解：设每块地砖的长为a cm，宽为b cm，由题图可知4b＝60, a＋b＝60，∴b＝15.∴a＝60－b＝45.∴每块地砖的长为45 cm，宽为15 cm.(2)这样的地砖与所铺成的每一部分矩形地面是否相似？试说明你的理由.解：不相似.理由：∵所铺成的每一部分矩形地面的长为2×45＝90(cm)，宽为60 cm，∴＝＝. 而＝＝, ≠，∴所铺成的每一部分矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例，∴它们不相似. 展开更多...... 收起↑ 资源列表 22.1 成比例线段 课件 2026秋华师大版数学九年级上册.pptx 22.2 相似图形 课件 2026秋华师大版数学九年级上册.pptx 22.3 相似三角形 课件 2026秋华师大版数学九年级上册.pptx 22.4 位似图形 课件 2026秋华师大版数学九年级上册.pptx 22.5 图形与坐标 课件 2026秋华师大版数学九年级上册.pptx 第23章 图形的相似 章末核心要点分类整合 课件 2026秋华师大版数学九年级上册.pptx
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