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北京市第二十中学2025-2026学年第一学期期中考试高一启承数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.（ ）
A. B. C. D.
2.若，，则等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设=，=，则=( )
A. -+ B. - C. -+ D. -
5.已知向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术．声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来表示．在音乐中可以用形如的正弦型函数来表示单音，将三个或以上的单音相叠加为和弦．若某和弦由三个单音组成，其中一个单音可以用表示，另外两个单音的正弦型函数图象如图所示，则该和弦的一个周期可能为（ ）
A. B. C. D.
7.第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项目体育图标为水墨熊猫（如图所示），它是以真实的射箭运动为原型，拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为，弦长为，求弓形的面积约为（ ）（参考数据：，）
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（ ）
A. B. C. D.
9.若是方程的解，是方程的解，则 　　
A. 1 B. C. D.
10.令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应，且对任意向量和任意实数都有，则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ）
A. 中至少有两个元素 B. 中至少有无数个元素
C. 中至多有三个元素 D. 中至多有无数个元素
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，，若，则x= .
12.已知，．写出满足条件的一组角，的值 ， ．
13.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为 .（精确到0.01，）
14.在射线，中，两条射线所成的角都是，且线段．则集合所构成的几何图形的轨迹长是 ．
15.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,某摩天轮最高点距离地面高度128米,转盘直径为120米,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周需要30分钟.若游客甲坐上摩天轮的座舱,开始旋转t分钟后距离地面的高度为h米,则h关于t的函数解析式为 ;若游客甲在,时刻距离地面的高度相等,则+的最小值为 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
化简下列代数式
(1)
(2)
(3)
17.(本小题12分)
已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点.
(1)求函数的解析式；
(2)用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；

(3)将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值.
18.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与．
(1)若的面积为2，求的值；
(2)求的最小值．
19.(本小题12分)
已知函数（）的图像关于点对称．
(1)求的值和在区间上的值域；
(2)若，函数在区间上单调递增，求的值；
(3)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围．
20.(本小题14分)
已知函数的图象过点，其中m∈R.
（Ⅰ）求m及f（-1）的值；
（Ⅱ）求证： x∈（-∞，1），都有x+3＜f（x）≤x+4；
（Ⅲ）若函数g（x）=|f（x）-（x+n）|（n∈R）在（-∞，1）上存在最大值，直接写出n的取值范围.
21.(本小题15分)
定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k 分量和.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】1
12.【答案】 ； ； ；
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】 ； 30
16.【答案】解：（1）原式
.
（2）.
（3）.

17.【答案】解：（1）由已知有，解得，，
由题意可知，函数的最小正周期为，故，
因为点是函数图象上的最高点，则，
所以，
因为，所以，故.
（2）用“五点法”画函数在一个周期内的简图，
令，则，列表如下

（3）将函数的图象向右平移个单位长度所得函数为
，其图象关于轴对称，
则，所以，
又，所以，即的最小值为.

18.【答案】解：（1）由题意得为锐角，故P在第一象限，则，在x，y轴正半轴上，
由题意可知，故，故，
，故，则，
由的面积为2，得，即．
所以，
又，故，
即，解得；
（2）由题意是锐角，则，，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为16．

19.【答案】解：（1）由题意可知时，（），
即，又，所以，
即，
当时，，
易知在上单调递增，在上单调递减，
则此时，所以在区间上的值域为；
（2）由上知，所以，显然，即，
当时，，
若要符合题意需，（），
解不等式得，易知，则，此时．
（3）因为对任意的，，都有，所以．
因为，所以，所以，所以，
，
令，则，．对称轴为，
所以①，可得，
②，可得，
③，可得，
综上．

20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数的图象过点，
∴，
解得m=1，
∴，
故；
（Ⅱ）证明：由（1）知，
当x≤0时，∵0＜ex≤1，
∴x+3＜ex+x+3≤x+4；
当0＜x＜1时，∵0＜x2＜1，
∴-1＜-x2＜0，
∴x+3＜-x2+x+4＜x+4，
综上， x∈（-∞，1），都有x+3＜f（x）≤x+4，
（Ⅲ）由（1）知g（x）=|f（x）-（x+n）|=，
当x≤0时，∵0＜ex≤1，∴3＜ex+3≤4；
当0＜x＜1时，∵0＜x2＜1，∴3＜-x2+4＜4，
当n≥4时，，
由于函数y=-ex-3+n在（-∞，0]上单调递减，函数y=x2-4+n在（0，1）上单调递增，
故函数在（-∞，1）上无最大值；
当n≤3时，，
由于函数y=ex+3-n在（-∞，0]上单调递增，函数y=-x2+4-n在（0，1）上单调递减，
故当x=0时，函数取得最大值，最大值为g（0）=4-n,
当3＜n＜4时，不妨设方程g（x）=0的两根分别为x1（x1＜0）和x2（0＜x2＜1），
，
易知函数g（x）在（-∞，x1）和（0，x2]上单调递减，在（x1，0]和（x2，1）上单调递增，
要使函数g（x）=|f（x）-（x+n）|在（-∞，1）上存在最大值，需使，
即，解得，
综上，若函数g（x）=|f（x）-（x+n）|（n∈R）在（-∞，1）上存在最大值，n的取值范围为．
21.【答案】解:(1)依题意,得集合A中含有3个元素,且每个元素中含有三个分量,
===2,每个元素中的三个分量中有两个取1,一个取0,
=(1,1,0),=(1,0,1),=(0,1,1),
又===1,2的完美3维向量集为A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
(2)依题意,完美4维向量集B含有4个元素(i=1,2,3,4),且每个元素中含有四个分量,
T{0,1,2,3,4}.
(i) 当T=0时,{(0,0,0,0)},与集合中元素的互异性矛盾,舍去,
(ii)当T=1时,{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},不满足条件,舍去,
(ⅲ)当T=2时,{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}.
(1,1,0,0)(0,0,1,1)=0,故(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在B中;同理(1,0,1,0)和(0,1,0,1)及
(1,0,0,1)和(0,1,1,0)也至多一个在B中,故集合B中的元素个数小于4,不满足条件,舍去,
(iv)当T=3时,{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)},不满足条件,舍去,
(v) 当T=4时,{(1,1,1,1)},与集合中元素的互异性矛盾,舍去,
综上所述, 不存在完美4维向量集.
(3) 依题意, T的完美n维向量集C含有n个元素(i=1,2,,n),且每个元素中含有n个分量,
=T,每个元素中有T个分量为1,其余分量为0,+++=nT(*),
由(2)分析知T0,1,n,故2T< n,
假设存在k, 使得T+1n, 不妨设T+1n.
(i)当=n时, 如图1, 由条件知=0或=1(i1),
此时+++n+(n-1)=2n-1<2nnT,与(*) 矛盾, 不合题意.
(ii)当T+1< n时,如图2,
记=+++(k=1,2,,n),
不妨设====1,=0,===1.
下面研究,,,的前T+1个分量中所有含1的个数.
一方面,考虑,,,中任意两个向量的数量积为1,
故,,,(j=2,3,,T+1)中至多有1个1,
故,,,的前T+1个分量中,所有含1的个数至多有(T+1)+T=2T+1个1(**).
另一方面,考虑=1(i=1,2,,T+1),故,,,的前T+1个分量中,
含有(T+1)+(T+1)=2T+2个1, 与(**)矛盾, 不合题意,
故对任意kn且k,T,由(*)得=T.

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