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北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.的值为
A. 5 B. 8 C. 10 D. 36
2.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
3.一物体的运动满足曲线方程s(t)＝4t2＋2t－3，且s′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（ ）
A. 物体5 s内共走过42 m
B. 物体每5 s运动42 m
C. 物体从开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s
D. 物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1 s，物体运动的路程为42 m
4.已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝()
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
5.、、、、，5人排队，要求A只能排第1和第2位，B不能排第2位，则不同的排队方法共有（ ）
A. 720种 B. 42种 C. 48种 D. 96种
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.等比数列中，，，则（ ）
A. B. 5 C. 10 D. 20
8.已知随机变量取所有值、、、是等可能的，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（ ）条件.
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
10.如果数列对任意的，，则称为“速增数列”．若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ）
A. 44 B. 45 C. 46 D. 47
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的展开式中按x的升幂排列的第二项是 .
12.若随机变量X服从两点分布，其中， .
13.现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另有2名男生被选中的概率为 .
14.一个盒子中有4个LABUBU玩偶，3个MOKOKO玩偶.甲每次从盒子中摸取一个玩偶，若甲摸到的玩偶是LABUBU，则不放回盒中；若甲摸到的玩偶是MOKOKO，则放回盒中.甲第二次摸到的玩偶是LABUBU的概率为 .
15.已知函数，则下列结论：①的极大值为；②存在无数个实数，使关于的方程有且只有两个实根；③的图象上有且仅有两点到直线的距离为1；④若关于的不等式的解集内存在正整数，则存在最大值，且最大值为，其中正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知.
(1)求展开式中的带有的项；
(2)求展开式中各项的系数和；
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
17.(本小题12分)
已知数列{}为公差不为零的等差数列,其前n项和为,=49,且,,成等比数列.
(1)求{}的通项公式;
(2)若数列{+}是公比为3的等比数列,且=22,求{}的前n项和.
18.(本小题12分)
某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，……，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B级”，发芽率低于0.636的种子定为“C级”.

(1)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；
(2)该花卉企业销售花种，且每份“A级”“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X元，以频率为概率，求X的分布列和数学期望；
(3)企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是变大了、变小了还是没有变化 （结论不需要证明）
19.(本小题12分)
已知椭圆右焦点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由.
20.(本小题14分)
已知函数．
(1)当时，求证：直线是曲线的切线
(2)当时，求证：函数存在极小值；
(3)直接写出函数的零点个数
21.(本小题15分)
已知各项均为正整数的有穷数列An：a1，a2， ，an（n＞3）满足 1≤i＜j≤n,有ai≠aj，若an等于ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数，则称数列An具有性质P.
（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质P，并说明理由；
①A4：3，1，7，5；
②A5：2，4，6，8，10.
（Ⅱ）已知数列A7：2，4，6，8，10，12，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
（Ⅲ）若一个数列A2026：a1，a2， ，a2026具有性质P，则a2026是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】①④
16.【答案】解：（1）解：由题意知，展开式的通项公式为，，
令，解得
所以，展开式中的带有的项为；
（2）解：根据题意，令，此时展开式的值即为各项系数和：.
（3）因为，所以展开式共有7项，
由二项式系数的性质可知，第4项的二项式系数最大，
所以.

17.【答案】解：(1)因为{}为等差数列,设公差为d，由=49,得=7=49，
可得=7或+3d=7，
由,,成等比数列,则=,
得=(7-2d)(7+10d)，
化简=(7-2d)(7+10d)得-2d=0,因为d0,所以d=2.
所以=+(n-4)d=2n-1(n).
综上=2n-1(n).
(2)由=2n-1知=1,=5,又{+}为公比是3的等比数列,
所以+=(+)9,即+=3,
所以+=3=,=-(2n-1),(n)
所以=++++=++++-(1+3+5++(2n-1))
=-=-.
综上=-.
18.【答案】解：（1）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“级”种子”，
由图表，得，解得，
由图表，知不是“级”种子的频率为，
故可估计.
（2）由题意，任取一颗种子，恰好是“级”康乃馨的概率为，
恰好是“级”康乃馨的概率为，
恰好是“级”的概率为，
而随机变量的可能取值有、、、、，
则，，
，，
.
所以的分布列为：
故的数学期望．
（3）设原来康乃馨种子有种，其发芽率分别为，
平均数为，
方差为，
发芽率提高到原来的1.1倍后，发芽率分别为，
此时平均数为，
则方差为
，
因此，技术改进后发芽率数据的方差是变大了.

19.【答案】解：（1）由得，而，
则，
因此椭圆的方程为：.
（2）设，，联立，
得，
则，
由韦达定理得，
由，得，即：，
代入，，整理得：，
即，
所以，
化简得：，
所以，
故直线恒过定点，且时满足，符合题意.

20.【答案】解：（1）的定义域为，，
因为，所以，
所以曲线在处的切线方程为，
所以直线是曲线的切线．
（2）令，，
因为且，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以在区间的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗
所以当时，取得极小值，问题得证．
（3）函数的定义域为，，
显然是函数的零点，当时，函数的零点即为方程的解，
令，，则，
令，则，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，，
即有，函数在，上都单调递减，
令，，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，
即，恒有，当且仅当时，等号成立，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，取值集合为，
在上单调递减，取值集合为，
于是得当且时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，
所以当或时，函数有一个零点；当且时，函数有两个零点．

21.【答案】①具有，②不具有，理由如下：
①A4：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12，共5个，而a4=5，所以具有性质P．
②A5：2，4，6，8，10，任意两项和的结果有6，8，10，12，14，16，18，共7个，
而a5=10，所以不具有性质P m=15 存在，最小值是4049，一个满足条件的数列A2026：1，3，5，…，4047，4051，4049
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