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江苏南通市区、通州区、启东市区2025-2026学年高二下学期期中学业质量监测数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.对于x, y两个变量的四组样本数据, 分别算得线性相关系数=-,=,=-,=, 则线性相关性最强的是（）
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.2
3.已知函数，则（ ）
A. 3 B. 1 C. 0 D. -1
4.在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则（ ）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
5.投掷一枚质地均匀的硬币, 直到连续两次正面向上时结束投掷, 记X为结束时投掷的次数,则P(X=4)=（）
A. B. C. D.
6.记，，，，…，，，则（ ）
A. 0 B. 2 C. 16 D. 32
7.某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：
2 3 4 5 6
1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
则（ ）
A. 0.596 B. C. -6.92 D.
8.定义“特性数列”{}如下:{}共有m项, 每一项{0,1}(其中i=1,2,,m, m), 且对任意的km,,,,中0的个数不少于1的个数.若m=5,则不同的“特性数列”的个数为（）
A. 3 B. 9 C. 10 D. 16
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列求导运算正确的是（）
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是（）
A. 用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
B. 由独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有95%的可能患有肺病
C. 使最小的实数为，，…，的平均数
D. 若，且，则事件，相互独立
11.从正整数数列{n}的前m(m3)项中任取3项, 记3项和为偶数的概率为, 则（）
A. = B. 存在m(m3),使<
C. 存在无数多个m(m3),使= D. 对任意正整数m(m3),+>1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现安排甲、乙、丙三名同学到A, B两家企业实习, 每名同学只能选择一家企业, 每家企业不限制实习生名额,则不同的安排方法有 种.
13.若，则 ．
14.已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表：
单位：只
药物 疾病Y 合计
未患病 患病
未服用 80 40 120
服用 150 30 180
合计 230 70 300
(1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由；
(2)能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16.(本小题15分)
已知的展开式中各项的二项式系数之和为64.
(1)求展开式中的第5项;
(2)求展开式中系数最大的项.
17.(本小题15分)
甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球, 甲袋装有2个红球, 3个白球; 乙袋装有3个红球,2个白球.
(1) 若从甲袋中连续抽取3次, 每次取1个球, 抽取后放回, 设取到红球的次数为X,求X的分布列及均值;
(2) 若从甲袋中随机取1个球放入乙袋, 再从乙袋中任取2个球, 设从乙袋中取出的红球个数为Y,求Y的分布列.
18.(本小题17分)
设函数f(x)=(x-t),曲线y=f(x)在x=3处的切线与y轴垂直.
(1)求实数t的值;
(2) 我们知道, 函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.证明:函数y=f(x)的图象是中心对称图形;
(3)证明:曲线y=f(x)在点(,f())(2)处的切线与该曲线恒有两个公共点.
19.(本小题17分)
箱中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为1，2，…，．从箱中取出个球，记录其编号分别为，，…，，记，即取出的个球中的最大号码．现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数，甲同学准备采用样本均值来估计总体均值，即，故认为的估计．但乙同学认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时．
(1)若，，求事件发生的概率；
(2)甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用来作为的估计值，即．由于样本均值会稳定于期望，丙同学凭直觉判断，认为乙同学的方法也不科学．请研究丙同学的判断是否正确，并证明；
(3)丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数，用来作为的估计值，即．试求实数，的值，使得．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】8
13.【答案】84
14.【答案】或
15.【答案】解：（1）在（未服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得，
在（服用药物）条件下，患疾病的频率为，用频率估计概率，得
，
未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为，两者有较大差异．
因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效．
（2）零假设：药物对预防疾病无效，
由列联表得到，
所以有的把握认为药物对预防疾病有效．

16.【答案】解:由二项式系数的性质得=64,
故n=6,
展开式的第r+1项为==,
所以展开式中的第5项为==；
(2)设第r+1项的系数最大,
则，
所以，解得r,
因为r,
所以r=2,
故展开式中系数最大项为==240.
17.【答案】解:(1)由题意,X的可能取值为0,1,2,3,
所以P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)=(=,
所以X的分布列为:
E(X)=0+1+2+3==.
(2)设“从甲袋中取到红球”为事件A,则P(A)=,P()=,
则由题意Y的可能取值为0,1,2,
P(Y=0)=P(A)P(Y=0|A)+P()P(Y=0|)=+=+=,
P(Y=1)=P(A)P(Y=1|A)+P()P(Y=1|)=+=+=,
P(Y=2)=P(A)P(Y=2|A)+P()P(Y=2|)=+=+==.
所以Y的分布列为:

18.【答案】解：(1)f'(x)=2(x-1)(x-t)+,
所以f'(3)=4(3-t)+4=0,故t=4.
(2)由(1)得f(x)=(x-4),
令g(x)=f(x+2)+2=(x-2)+2=-3x,
所以g(-x)=-+3x=-g(x),所以g(x)=f(x+2)+2为奇函数,
故y=f(x)关于(2,-2)对称,所以函数y=f(x)的图象是中心对称图形.
(3)因为f(x)=(x-4)=-+9x-4,
切点(,(-4)),切线斜率f'()=3(-1)(-3),
故f(x)在点(,f())处的切线方程为y-(-4)=3(-1)(-3)(x-),
联立得，
即(x-4)-(-4)=3(-1)(-3)(x-),
所以(x-4)-(-4)=-+9x-4-+-+4
=(x-)(+x+-6x-+9)=3(-1)(-3)(x-),
所以(x-)[+x+-6x-+9-3(-1)(-3)]=0,
所以(x-)(+x--6x+)=0,即(x+-6)=0,
所以x=,或x=6-.
因为6--=6-0,即6-,
所以曲线y=f(x)在点(,f())(2)处的切线与该曲线恒有两个公共点.
19.【答案】解：（1）设取到的3个球编号为，，，不妨设，
则，
即，
法一：
当，时，，共2种情况；
当，时，，不符合题意；
当时，，不符合题意．
所以事件发生的概率为．
法二：
当时，，共1种情况；
当时，，共1种情况；
当时，，不符合题意．
所以事件发生的概率为．
（2）丙同学论断正确
证明：由题意，，，…，，
所以的分布列为：
n …
P
…
法一：
故
．
因此，故丙同学论断正确；
法二：
故
（因为）
．
因此，故丙同学论断正确；
（3）若，表示个数中，最大的为，则其余个数均比要小，
故，所以，
因为，
而，
所以
，
故恒成立，
所以，故时，.

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