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北京市西城外国语学校2025—2026学年度第二学期八年级数学期中练习
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.使有意义的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各组数中，能构成直角三角形的三边长的是（）
A. 4，5，6 B. 12，15，25 C. 6，8，11 D. 3，4，5
3.下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
4.下列命题中错误的是（）
A. 矩形的对角线相等 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D. 平行四边形的对边相等
5.如图，在中，于点E，，则等于（ ）
A. B. C. D.
6.甲、乙两名运动员的8次射击成绩（单位：环）如下图所示：

甲、乙射击成绩的方差分别为，，则与的关系为 （ ）
A. B. C. D. 无法确定
7.计算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，E是菱形的边上一点，且，连接，，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为 .
10.数据1，2，3，4，5的方差为 ．
11.的小数部分是 ．
12.如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为 ．
13.一次数学练习，某小组5名组员的成绩统计如下，请填写数据补全下列统计表：
组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均数 众数
得分 77 80 81 82 80
其中 ，
14.在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是，，，，则 ．
15.已知分组：|，则其组内离差平方和是 ．
16.已知直线及线段，点在直线上，点在直线外．如图所示，
（1）在直线上取一点（不与点重合），连接；
（2）以点为圆心，长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点（与点位于直线异侧）；
（3）连接交于点，连接，．
根据以上作图过程及所作图形，在下列结论：①；②；③中，一定正确的是 （填写序号）．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.计算：
(1)
(2)
(3)
四、解答题：本题共9小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题4分)
利用勾股定理在数轴上画出的点P
19.(本小题4分)
如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD，BC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．
20.(本小题9分)
某班甲、乙两组的某次演讲比赛成绩（百分制）如下．
甲组91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙组92，93，70，88，82，75，y，80，x，95．（，且x，y为正整数）
某同学计算了两组演讲比赛成绩的四分位数，如表所示．
分组 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数
甲 a m b
乙 80 90 93
(1) 根据甲组数据，求a，m，b．
(2) 在图中根据四分位数绘制出甲组比赛成绩的箱线图，观察图中乙组比赛成绩的箱线图求x，y．
(3) 根据箱线图谈谈对甲、乙两组成绩的看法
21.(本小题6分)
如图，在 ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE BC交AB于点E，DF AB交BC于点F，连接EF．
(1) 求证：四边形BFDE是菱形；
(2) 若AB=8，AD=4，求BF的长．
22.(本小题4分)
已知：在中，点D、E分别是、上的点，，且．求证：是的中位线．
23.(本小题12分)
为了调查中学生对冰上运动知识的了解情况，某校对八年级学生进行了相关测试．从中随机抽取40名学生的测试成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．40名学生测试成绩的频数分布表和频数分布直方图如下：
40名学生测试成绩的频数分布表
测试成绩（分） 频数 频率
a 0.05
6 0.15
b c
14 0.35
8 0.20
合计 40 1
b．40名学生测试成绩的数据在这一组的是：
80，82，82，84，85，85，85，86，87，87，88，88，89，89
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 表中 ， ， ；
(2) 补全该校40名学生测试成绩的频数分布直方图；
(3) 抽取的40名学生测试成绩数据的中位数是 ；
(4) 已知该所学校八年级学生共计200人，如果测试成绩达到80分及80分以上为优秀，请推断该所学校八年级学生测试成绩达到优秀的约有 人．
24.(本小题6分)
四边形是正方形，点在射线上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接，过点作交射线于点．
(1) 如图1，点在线段上
①求证：；
②求的度数；
③证明．
(2) 若点在线段的延长线上，请补全图形（图），直接写出线段与的数量关系．
25.(本小题5分)
观察下列式子：
（1）=2，
（2）=3，
（3）=4
…，
你能发现其中的规律吗？请你用含n的式子表示这一规律表示，并给出证明．
26.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．
已知点A的坐标为．
(1) 如图2，点B的坐标为．
①若，则点A，B的“相关矩形”的面积是 ；
②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为 ．
(2) 如图3，点C在过点且平行x轴的直线l上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，直接写出点C的坐标；
(3) 如图4，等边的边在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为，点M的坐标为，若在的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】24
10.【答案】2
11.【答案】
/
12.【答案】3
13.【答案】80
80

14.【答案】2
15.【答案】10
16.【答案】②
17.【答案】【小题1】
解：原式
【小题2】
解：原式
【小题3】
解：原式

18.【答案】
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E、F分别是AD，BC的中点，
∴DE=AD，BF=BC，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
20.【答案】【小题1】
解：将甲组成绩从小到大排列为：
60，70，70，80，89，91，92，96，98，100
则第一四分位数：，向上取整为第3个数据，则，
第二四分位数：
第三四分位数：，向上取整为第8个数据，则；
【小题2】
解：乙组共10个数据，由箱线图可得：乙组成绩最小值为70，最大值为96，
由表格知，乙组第一四分位数为80，第三四分位数为93，
则将乙组成绩从小到大排列后，第3个数据为80，第8个成绩为93，
第二四分位数（中位数）为90，即排序后第5、6个数的平均数为90，
将乙组成绩（除外）从小到大排列为：
70，75，80，82，88，92，93，95，96
若在第4个位置，则中位数为，不符合题意；
若在第5个位置，则中位数为，即，由于，则不可能位于第5个位置上，
若在第6个位置，则中位数为，即，
若在第7个位置，则中位数为，此时可以为93，
当时：
乙组成绩从小到大排列为：
70，75，80，82，88，92，92，93，95，96，
此时乙组中位数为，符合题意，
当时：
乙组成绩从小到大排列为：
70，75，80，82，88，92，93，93，95，96，
此时乙组中位数为，符合题意，
因此，或93、；
【小题3】
解：由于甲、乙两组成绩的中位数相同，均为90，整体中等水平相当；但甲组成绩范围更大（最低60，最高100），成绩分布更分散，两极分化更明显；乙组第一四分位数高于甲组，且成绩更集中，说明乙组中等及偏下水平的成绩更好，整体成绩更稳定，乙组整体成绩优于甲组．

21.【答案】【小题1】
证明：∵DE BC，DF AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE BC，
∴∠CBD＝∠EDB．
∴∠ABD＝∠EDB．
∴EB＝ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
【小题2】
解：∵ED BF，∠C＝90°，
∴∠ADE＝90°．
设BF＝x，
∴DE＝BE＝x．
∴AE＝8﹣x．
在Rt ADE中，AE2＝DE2+AD2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得：x＝3，
∴BF＝3．

22.【答案】证明：延长到点，使，连接，
∵
∴
又∵
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵
∴
又∵
∴是的中位线．

23.【答案】【小题1】
2
10
0.25
【小题2】
解：由（1）得，
【小题3】
82
【小题4】
110

24.【答案】【小题1】
①证明：∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∵点，关于直线对称，
∴．
∴．
∴；
②如图，连接．
点，关于直线对称，
垂直平分．
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∴，，．
设，则，．
∴．
∴
∴；
③证明：如图，过点作于点．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵
∴．
【小题2】
补图如图，
理由如下：
如图，连接．
∵点关于直线的对称点为，
∴．
∴，，．
设，则，．
∴．
∴
∵
过点作于点．
∴．
又，
．
∴．
，
∴．
∴．

25.【答案】解：由式子所呈现的规律可得，
第n个式子为：=（n+1）；
证明：∵左边==，
右边==，
∴=（n+1）．
26.【答案】【小题1】
6
或5
【小题2】
解：∵点在过点且平行轴的直线上，，
∴点A到直线l的距离为，
∴点A，的“相关矩形”是正方形时的边长为3．
分类讨论：当点C在点A左侧时，如图点C，
∴，，即；
当点C在点A右侧时，如图点，
∴，，即．
综上可知点的坐标为或；
【小题3】
解：∵点M的坐标为，
∴点M在直线上．
∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，，
∴，
∴，
∴．
分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，
若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，
则此时m的取值范围为；
若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，
若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，
则此时m的取值范围为，
∴此时m的取值范围为或；
②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，
若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时，
则此时m的取值范围为；
若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，
若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时，
则此时m的取值范围为，
∴此时m的取值范围为或；
③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2，
若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时，
若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时，
则此时m的取值范围为；
若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时，
若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时，
则此时m的取值范围为，
∴此时m的取值范围为或．
综上可知的取值范围是或．

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