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北京市第六十六中学2025—2026学年第二学期期中质量检测八年级数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A. 1，1，1 B. 1，2， C. 3，4，6 D. 2，3，4
2.下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
3.下列计算中，正确的是（）
A. B. C. D.
4.如图，在中，，则的度数为（　　）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
6.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ）
A. 方程的解是
B. 方程的解是
C. 关于x，y的方程组的解是
D. 不等式的解集是
8.如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则的面积是（ ）
A. 10 B. 12 C. 20 D. 24
二、填空题：本题共9小题，共24分。
9.若使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
10.比较大小： ．
11.已知正比例函数的图象过点，则 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则的长为 ．
13.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为 ．
14.等腰三角形周长为20cm,则底边长y cm与腰长x cm之间的关系式是： .
15.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”问题的大意是：“有一根竹子，原高1丈（1丈 尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点 分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度 为 尺，则可列方程为 ．
16.小宇的家离学校1800米．小宇早晨从家出发沿笔直的马路匀速步行去学校上学，几分钟后，在家休假的爸爸发现小宇忘带跳绳，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小宇，爸爸追上小宇后以原速度沿原路回家．小宇拿到跳绳后以原速度的1.5倍快步赶往学校（小宇被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小宇与爸爸之间的距离与小宇从家出发到学校的步行时之间的函数关系如图所示．
(1) 小宇从家出发 分钟时，爸爸追上小宇；
(2) 小宇从家到学校用时 分钟．
17.“勾股容方”记载于《九章算术》，研究了直角三角形的直角边和与它具有公共直角的内接正方形的边长之间的数量关系．与直角三角形具有公共直角的内接正方形指的是如图1所示的正方形，它的一个顶点和直角顶点重合，另外三个顶点在三条边上，数学家刘徽根据图2、图3用出入相补原理证明了“勾股容方”公式：，其中是直角三角形的直角边，是内接正方形的边长．
补全证明过程（用含或的式子表示）：证明：
(1) 图2是由两个图1拼成的矩形（无缝隙、不重叠），则这个矩形的面积为 ；
(2) 图3是由图2中的直角三角形及正方形重新组合拼成的新矩形（无缝隙、不重叠），则新矩形的一边长为，另一边长为 ，面积为 ；
(3) 因为图2和图3中的矩形面积相等，即 ，从而得到“勾股容方”公式：．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
18.计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
四、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ；
(3) 若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标．
20.(本小题6分)
如图，在中，点、分别在边和上，且．
(1) 求证：．
(2) 求证：四边形是平行四边形．
21.(本小题5分)
如图，在中，点D是线段的中点．
求作：线段，使得点E在线段上，且．
作法：
①连接，
②以点A为圆心，长为半径作弧，再以C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M；
③连接，交于点E；
所以线段即为所求的线段．
(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明：
证明：连接
∵，，
∴四边形是平行四边形．（① ）（填推理的依据）
∵交于点E，
∴，即点E是的中点．（② ）（填推理的依据）
∵点D是AB的中点，
∴．（③ ）（填推理的依据）
22.(本小题8分)
甲、乙两家体育用品商店以同样的价格出售相同的乒乓球拍和乒乓球,乒乓球拍每副定价30元,乒乓球每盒定价5元.现两家商店开展促销活动,在甲店每购买一副球拍赠一盒乒乓球;在乙店每购买一副球拍或一盒乒乓球都按定价的九折优惠.某班需购买球拍4副,乒乓球若干盒(不少于4盒).
(1) 设这个班购买乒乓球x盒,在甲店的付款金额为元,在乙店的付款金额为元,分别写出在两家商店的付款金额,与乒乓球盒数x之间的函数解析式.
(2) 购买几盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样
(3) 如何根据购买乒乓球的数量选择在哪家商店购买
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．
(1) 求该函数的解析式及点的坐标；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
24.(本小题6分)
为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程：
第一步：的自变量的取值范围是全体实数；
第二步：与的几组对应值：
… 0 1 2 …
… 1 0 0 3 …
第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象；
第四步：借助函数图象研究该函数的性质．
(1) 补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
(2) 观察的函数图象，可得以下结论：
①当 时，函数有最小值为 ；
②当 时，随的增大而增大；
③若直线与的图象有且只有一个交点，则的取值范围是 ．
25.(本小题9分)
观察下列等式：回答问题：
①；
②；
③，…
(1) 根据上面三个等式的信息，猜想 ；
(2) 请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式；
(3) 验证你的结果．
26.(本小题8分)
对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，使得四边形是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．特别地，当平行四边形的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．在平面直角坐标中，点．
(1) 点C，D，E中，点O关于线段的衍生点是 ；
(2) 将点O关于线段的最佳衍生点记为T，
①直接写出点T的坐标；
②若直线上存在点O关于四边形的衍生点，求b的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】3
12.【答案】2
13.【答案】3
14.【答案】y=20-2x
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
9
【小题2】
18

17.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】

18.【答案】【小题1】

；
【小题2】



；
【小题3】
．

19.【答案】【小题1】
解：一次函数的图象经过点和，
∴，
解得，
所以一次函数关系式为；
【小题2】
解：如图所示，
当时，，解得；
当时，，解得，
∵一次函数，其中，
∴一次函数值y随着x的增大而增大．
当时，，
即当时，；
【小题3】
解：设点，则，且，
∴，
解得或，
∴点或．

20.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
∴.
【小题2】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
，
又∵，
四边形是平行四边形．

21.【答案】【小题1】
如图，
；
【小题2】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分
中位线的性质

22.【答案】【小题1】
解:=304+5(x-4)=5x+100(x4);
=304+5x=x+108(x4).
【小题2】
当=时,5x+100=x+108,
解得x=.购买16盒乒乓球时在两家商店的付款金额一样.
【小题3】
当>时,5x+100>x+108,解得x>.当购买乒乓球多于16盒时,去乙商店购买.
当<时,5x+100
23.【答案】【小题1】
解：∵函数的图象经过点，，
∴，
解得，
∴该函数的解析式，
当时，，
∴；
【小题2】
解：由题意得，，
∴，
∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，
∴，
解得．

24.【答案】【小题1】
解：当时，；
当时，；
当时，，
函数图象为：
故答案为：，1，2．
【小题2】


或

25.【答案】【小题1】

【小题2】
解：由已知等式可知，；
【小题3】
解：
．

26.【答案】【小题1】
E
【小题2】
解：①如图，点O关于线段的最佳衍生点记为点T，即四边形的面积最大，则点；
（2）将直线上存在点O关于四边形的衍生点记为点H，
∵点A，B，T，C的坐标为，
∴四边形是正方形，
∵正方形及其内部的任意点K（除顶点A，B，T，C外），总能够在正方形及其内部找到两点M，N，使点K作为点M，N的中点，
∵四边形是平行四边形，
∴由平行四边形的性质可知，点O，H的中点也为点K，
∴可能所有的点H组成正方形（顶点除外），
如图所示，将它记为图形G，
依题意，只需直线与图形G有公共点即可，
当直线过点时，；
当直线过点时，，
所以．

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