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北京市第二十中学2025-2026学年度第二学期5月月考高一（启承）
数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知为与的等比中项，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，，则
A. B. C. D.
3.关于以下这组数据：，，，，，，下列说法错误的是( )
A. 极差为 B. 平均数为 C. 众数为 D. 分位数为
4.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的各项均为正数，的前项和为，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.等差数列的前项和为，若当且仅当时最大，则下面结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
8.以下不等式不成立的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，设是的导函数，则关于的不等式的解集是 ( )
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为，定义集合，，在使得的所有中，下列成立的是( )
A. 存在，使得是偶函数
B. 存在，使得在上单调递减
C. 存在，使得在处取极大值
D. 存在，使得的最小值是
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出个红球的概率是，从两袋中各摸出个球，则至少有一个红球的概率为
12.在某次摸底考试中，随机抽取个人的成绩频率分布直方图如图，若参加考试的共有人，那么分数在分以上的人数约为 人，根据频率分布直方图估计此次考试成绩的中位数为 ．
13.关于的方程有三个不同的实数解，则的取值范围是 ．
14.已知函数，若的单调递减区间为，则实数的值为 ；若在区间内单调递减，则实数的取值范围为 ．
15.已知函数，给出下列四个结论：
当时，函数有最小值；
，使得函数在区间上单调递增；
，使得函数没有最小值；
，使得方程有两个根且两根之和小于．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知等差数列满足，．
求数列的通项公式；
从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得数列为等比数列，并求此时数列的前项和．
条件：；
条件：；
条件：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分．
17.已知函数．
求在处的切线方程；
求的极值．
18.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如下．
体育成绩大于或等于分的学生常被称为“体育良好”已知该校高一年级有名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；
为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在和的样本学生中随机抽取人，求在抽取的名学生中，恰有人体育成绩在的概率；
假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，，，且分别在，三组中，其中，，当数据，，的方差最小时，写出，，的值结论不要求证明
19.已知函数，，
若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值
当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．
20.函数．
求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数在上的最小值；
直接写出的一个值，使恒成立，并证明．
21.已知数列，如果对任意的且，都有，则称为凸数列．
直接判断数列和是否为凸数列；
若是一个凸数列，证明：当，且时，有；
已知项数为的数列是一个凸数列，，且的所有项的和等于，求的最大值．
参考答案
1.
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11.
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13.
14.
15.
16.解：设等差数列的公差为，首项为．
由等差数列性质得：，解得．
又，解得．
因此通项公式为：，即．
选条件：，所以不是常数，不是等比数列，不符合要求．
选条件：，代入得，则，
因此是首项，公比的等比数列．
由等比数列前项和公式：，符合要求．
选条件：，即，则不能判断数列是等比数列，故不符合要求．
综上所述，选条件：；选条件：数列不是等比数列；
选条件：不能判断数列是等比数列．

17.解：函数的定义域为，
，代入得，
即切点为，切线斜率，
由点斜式得切线方程为．
对求导得，
定义域，，，故恒成立，
因此在上单调递增又，因此
当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
因此只有极小值，无极大值，极小值为，
即的极小值为，无极大值．

18.解：由折线图，样本中体育成绩大于或等于分的学生有人，
所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为人；
成绩在有名学生，设为；有名学生，设为，
故抽取名学生的情况有：，共种情况，
其中恰有人体育成绩在的情况有：，共种情况，
故在抽取的名学生中，恰有人体育成绩在的概率为；
甲乙丙三人的体育成绩分别为，且分别在三组中，其中，
要想数据的方差最小，则三个数据的差的绝对值越小越好，故，
则甲乙丙三人的体育成绩平均值为，
故方差，
对称轴为，
故当或时，取得最小值，
的值为，，或，，．

19.解：由为公共切点，
，
则，，
，
则，，
又，，，
即，代入式可得：；
，
设，
则，
令，解得：，；
，，
时，的情况如下：
函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增；
当，即时，函数在区间上单调递增，
在区间上的最大值为；
当，即时，函数在区间内单调递增，在区间上单调递减，
在区间上的最大值为；
当，即时，函数在区间内单调递赠，在区间内单调递减，在区间，上单调递增．
又因为，
所以在区间上的最大值为．
综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为．
20.解：由，知，切点为，
求导，则切线斜率，
所以切线方程为：，即
求导，，
，，，所以函数在上单调递增，
，即函数在上的最小值为．
取，下面证明恒成立，即证恒成立，
令，即证恒成立，
求导，
当时，，，此时，
所以函数在上单调递减，，即成立
当时，令，，
因为，，所以，所以函数在上单调递增，
，所以函数在上单调递增，，
综上可知，恒成立，即恒成立．
21.【详解】，所以，．
，而，
因为，即，所以为凸数列．
，则，所以，
而，因为，即，所以不是凸数列．
因为是一个凸数列，所以对任意的且，都有，即，
当时，有，
所以，故．
又，故．
因为，所以．
因为数列是凸数列，所以，
，当且仅当时，等号成立，
即为凸数列，所以，所以，
所以；
因为的所有项的和等于，所以，
所以，当且仅当时取等号，此时数列为等差数列；而中等号成立要求为常数列．
设，则，由所有项的和为得，解得；故当时，取最大值．

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