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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.14.3.2角的平分线的判定第十四章全等三角形14.3.2角的平分线的判定同步精讲练习题一、核心知识点精讲1.角平分线的判定定理（重点）定理内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。简单理解：等距 在平分线上（性质是：在平分线上 等距，二者互为逆定理）。2.标准几何语言（考试必背）已知：点P在∠AOB内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE∴ OP平分∠AOB（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）3.性质与判定完整对比（必考辨析）性质定理：点在角平分线上→垂线段距离相等（知线得等距）判定定理：垂线段距离相等→点在角平分线上（知等距得线）4.判定成立的三个必备条件①点在角的内部；②向角两边作垂直；③两条垂线段长度相等。缺一不可！没有垂直、点在角外，都不能判定角平分线。5.重要拓展结论三角形内部，到三边距离相等的点，是三角形三条角平分线的交点（内心）。6.解题作用无需证明三角形全等，直接通过垂线段相等，证明射线是角平分线，简化证明过程。二、基础练习题（一）选择题1.能判定一条射线是角平分线的条件是（）A.点在角内部B.点到角两边线段相等C.点在角内部，且到两边垂直距离相等D.以上都不对2.已知点P在∠AOB内，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，则（）A. OP平分∠AOB B. OP=OA C. ∠AOB=90°D. PM∥PN3.三角形内心是三角形（）的交点A.高线B.中线C.角平分线D.垂直平分线（二）填空题4.在角的内部，到角两边________的点，在这个角的平分线上。5.若点P在∠BAC内部，PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，则AP________∠BAC。6.判定角平分线，必须满足点在角内部、________、距离相等三个条件。（三）基础证明题7.已知：点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD。求证：OP平分∠AOB。8.已知：在△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF。求证：AD平分∠BAC。三、能力提升题9.如图，△ABC的∠B、∠C的平分线交于点P，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC。求证：点P在∠A的平分线上。10.已知：CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BD=CE，BE、CD交于点O。求证：AO平分∠BAC。四、参考答案与详细解析（一）选择题1. C解析：角平分线判定核心：角内+双垂直+距离相等。2. A解析：满足判定定理条件，可直接得出OP平分∠AOB。3. C解析：三角形内心为三条角平分线交点，到三边距离相等。（二）填空题4.距离相等5.平分6.两边垂直（三）基础证明题7.证明：∵点P在∠AOB内部，PC⊥OA，PD⊥OB，PC=PD∴ OP平分∠AOB（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，点D在∠BAC内部∴ AD平分∠BAC（角平分线判定定理）（四）能力提升题解析9.证明：∵BP平分∠ABC，PE⊥AB，PD⊥BC∴ PE=PD（角平分线性质）∵ CP平分∠ACB，PF⊥AC，PD⊥BC∴ PF=PD（角平分线性质）∴ PE=PF又∵PE⊥AB，PF⊥AC，点P在∠BAC内部∴点P在∠A的平分线上（角平分线判定定理）10.证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中，∠BDO=∠CEO，∠BOD=∠COE，BD=CE∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OD=OE∵OD⊥AB，OE⊥AC，点O在∠BAC内部∴ AO平分∠BAC（角平分线判定定理）五、本节易错总结1.判定定理必须要有垂直，普通线段相等不能判定角平分线；2.区分性质与判定：知平分线证线段相等用性质，知线段相等证平分线用判定；3.必须强调点在角的内部，否则结论不成立。通过探究角的平分线的判定定理，使学生能够利用角的平分线的判定进行证明，培养学生的推理能力.
在探究角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识，增强学生解决问题的信心.
能够运用角的平分线的判定定理解决相关问题.
O
D
P
P到OA的距离PD
P到OB的距离PE.
P是角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
叙述角平分线的性质定理.
不必再证全等
E
复习引入
知识点 角平分线的判定
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？
已知：
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
求证：
这个点在这个角的平分线上.
自己证明看看？
知识点 角平分线的判定
已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：如图，过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO= 90°.
在 Rt△OPD和Rt△OPE 中，
C
OP=OP，
PD=PE，
知识点 角平分线的判定
已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）.
∴∠AOC=∠BOC.
∴点P在∠AOB的平分线上.
C
知识点 角平分线的判定
角平分线的判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：
如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，
且 PD = PE，
∴点 P 在∠AOB 的平分线上，
即 OP 平分∠AOB.
知识点 角平分线的判定
角的平分线上的点到角两边的距离相等；
从上面两个结论可以看出：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
所以在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
证明： (1)如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
例1 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
E
D
F
知识点 角平分线的判定
(2)由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
例1 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
E
D
F
知识点 角平分线的判定
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD,
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
跟踪训练 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.
求证：AD平分∠BAC.
BD=CD，
BE=CF，
知识点 角平分线的判定
证明：∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),
∴DE=DF,
又DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
跟踪训练 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.
求证：AD平分∠BAC.
知识点 角平分线的判定
（第1题）
1. 在正方形网格中, 的位置如图所示,则
到 两边距离相等的点是( )
A
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
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2. ［2025常州期中］小王同学在学习了全等三角形的相关知
识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个
角的平分线，如图，一把直尺压住射线 ，另一把直尺压住
射线并且与第一把直尺交于点，小王说：“射线 就是
的平分线”.这样做的依据是( )
（第2题）
A. 平行线之间的距离处处相等
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距
离相等
D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的
平分线上
√
返回
（第3题）
3.［2025泰安期中］如图所示，点 在
一块直角三角板 上（其中
），于点 ，
于点.若 ，则
的度数是____.
【点拨】 ， ， .
，，，是 的平分
线. .
.
返回
（第4题）
4.如图，点在 的内部，且到三边
的距离相等，于点 ，
，的周长是36，则
的面积为____.
54
【点拨】
点在 的内部，且到三边的距离相
等， 点为 的三条角平分线的交点.
如图，过点作于点， 于
点，则的周长为36， .
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5.母题教材P50练习 如图，在直线上求作一点 ，使点
到射线和 的距离相等.（要求用尺规作图，保留作图
痕迹，不必写作法和证明过程）
【解】如图，点 即为所作.
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6.如图，在中，是的中点，， ，
垂足分别是，，.求证：是 的角平分线.
【证明】是的中点， .
，， .
在和中，
， .
平分，是 的角平分线.
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（第7题）
7. 如图，直线，， 表
示三条公路，现要建一个货物中转站，要
求它到三条公路的距离相等，则可供选择
的地址有( )
D
A. 一处 B. 两处
C. 三处 D. 四处
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（第8题）
8.如图，在中，， 的
平分线与的外角 的平分线相交
于点，作的延长线得到射线 ，作射
线 ，有下面四个结论：
； ；③射线
①③④
是的平分线； .所有正确结
论的序号是________.
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角的平分线
判定定理
三角形的角平分线交于一点.
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
内容
作用
结论
判断一个点是否在角的平分线上.

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