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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定第十五章轴对称15.1.2.1线段的垂直平分线的性质与判定同步精讲练习题一、核心知识点精讲1.线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。几何特征：①垂直于线段；②平分线段（两个条件缺一不可）。2.线段垂直平分线的性质定理（重点）定理内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。几何语言：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）作用：快速证明两条线段相等，无需证明三角形全等，简化步骤。3.线段垂直平分线的判定定理（重点）定理内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。几何语言：∵ PA=PB∴点P在AB的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）作用：证明点在垂直平分线上、证明直线是垂直平分线。4.性质与判定互逆关系性质：点在中垂线上 距离相等（由线得边等）判定：距离相等 点在中垂线上（由边等得线）5.重要推论（1）线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的所有点的集合；（2）三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三个顶点距离相等（外心）。6.高频易错点①判定垂直平分线，一个点相等不够，需要两个不同点才能确定一条直线；②距离是到线段两端点的距离，不是到线段的垂直距离；③不要混淆：角平分线是到两边距离相等，中垂线是到两端点距离相等。二、基础练习题（一）选择题1.若点P在线段AB的垂直平分线上，则一定成立的是（）A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB2.已知PA=PB，则点P在（）A. AB的上方B. AB的垂直平分线上C. AB的左侧D. AB的中点3.三角形三边垂直平分线的交点到三角形（）距离相等A.三边B.三个顶点C.三条高D.三条中线（二）填空题4.线段垂直平分线上的点到线段________的距离相等。5.到线段两端点距离相等的点，在这条线段的________上。6.若直线l垂直平分AB，AB=6，点P在l上，则PA________PB。（三）基础证明题7.已知：直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上。求证：PA=PB。8.已知：PA=PB，QA=QB。求证：直线PQ垂直平分线段AB。三、能力提升题9.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D。若AD=5，求BD的长。10.已知：△ABC中，AB、AC的垂直平分线交于点P。求证：PB=PC。四、参考答案与详细解析（一）选择题1. A解析：中垂线性质：线上任意一点到线段两端点距离相等。2. B解析：中垂线判定定理，两边相等可直接判定点在中垂线上。3. B解析：垂直平分线交点为外心，到三顶点距离相等。（二）填空题4.两个端点5.垂直平分线6. =（三）基础证明题7.证明：∵点P在AB的垂直平分线上∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）8.证明：∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上∵QA=QB，∴点Q在AB的垂直平分线上∵两点确定一条直线，∴直线PQ垂直平分AB。（四）能力提升题解析9.解：∵DE垂直平分AB∴ BD=AD=5（中垂线性质）∴ BD=5。10.证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA=PB∵点P在AC的垂直平分线上，∴PA=PC∴ PB=PC。五、本节重难点总结1.性质：线上点 两端距离相等（证线段相等神器）；2.判定：两端距离相等 点在中垂线上；3.证直线是中垂线：必须找两个点都满足距离相等；4.区分：角平分线→到边等距，中垂线→到端点等距。通过学生自主探究，理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定，会用线段的垂直平分线的性质和判定解决简单的数学问题
学生经历动手实践、合作交流、演绎推理的过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力.
了解互逆命题，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质.
我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，···在l上，分别比较点P1，P2，P3 ，···与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？
A
B
l
P3
P2
P1
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
可以发现，P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B，…，如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B······都是重合的，因此它们也分别相等.
由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：
A
B
l
P3
P2
P1
如何证明？
通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质.
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =BC，点P在l上．
求证PA=PB．
A
B
P
C
l
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．
又AC=CB，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS）．
∴PA=PB．
当点P与点C重合时，显然成立.
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
A
B
P
C
l
符号语言：
如图，∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.
例1 如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.
若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______.
13
思考
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
P
A
B
C
证明：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C，
则∠PCA=∠PCB=90°．
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴AC=BC．
又PC⊥AB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
符号语言：
如图，已知线段AB，∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
同样地，通过证明两个三角形全等，可以得到：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
A
B
P
C
l
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
从上面两个结论可以看出:
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
例2 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
(1)求证：PA=PB=PC.
(1)证明：∵边AB，BC的垂直平分线相交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PB=PC.
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
例2 如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P.
(2)点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
(2)解：∵PA=PC，
∴点P在边AC的垂直平分线上.
由此可得出结论：
①三角形三边的垂直平分线相交于一点；
②这个点与这个三角形三个顶点的距离相等.
*三角形外接圆的圆心
知识点2 点在线段垂直平分线上的判定
思考 分析下面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反.
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；
而命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
在几何中，有许多互逆的定理.
例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，
“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆定理.
例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)同位角相等，两直线平行.
(2)如果x=3，那么x2=9.
(3)如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数的平方也相等.
解：(1)逆命题：两直线平行，同位角相等. 成立.
(2)逆命题：如果x2=9，那么x=3.
不成立，如：(-3)2=9，-3≠3.
(3)逆命题：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等. 成立.
1. 如图，在四边形中，垂直平分 ，
垂足为 ，下列结论不一定成立的是( )
C
A. B. 平分
C. D.
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2. 下列说法中错误的个数是( )
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
B
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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3. ［2025无锡期中］有三名同学在玩抢凳子游戏，要求在他
们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，如果将三人视为
三角形的三个顶点，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的
位置是在三角形的( )
B
A. 三边中线的交点处
B. 三边垂直平分线的交点处
C. 三条角平分线的交点处
D. 三边上高的交点处
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（第4题）
4. 如图，在中， ，
为内一点，过点的直线 分别交
，于点，，若在 的垂直平
分线上，在 的垂直平分线上，则
的度数为( )
B
A. B.
C. D.
（第4题）
【点拨】 ，
， ，
，
.
在的垂直平分线上，在 的垂直
平分线上，，，
， ，
.
（第4题）
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（第5题）
5.母题教材P70习题 如图，在 中，
的垂直平分线交于点，若 的周
长为5，，则边 的长的取值范围为
____________.
（第5题）
【点拨】的周长为5， ，
，
的垂直平分线交 于点
， ，
.由三角形的三边关系得
，，即边
的长的取值范围为 .
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6.如图，在中， ，
平分，交于点，
于点，连接 .
（1）求证： ；
【证明】平分， ， ，
， .
又， .
（2）求证：垂直平分 ；
【证明】， .
又，垂直平分 .
（3）若的周长为24，，求 的周长.
【解】由（2）得 .
，
的周长
.
的周长为24，
，即
，
， 的周长为8.
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7. 如图， 是线段
的垂直平分线，点在外，且与
点在的同一侧，连接交于点 ，
连接 ，则( )
B
A. B.
C. D.
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（第8题）
8. 如图，线段， 的垂直平分线
，相交于点.若 ，则
( )
B
A. B. C. D.
【点拨】连接，并延长到 ，如图.
，， .
,分别为， 的垂直平分线，
，易证得 ，
， ，
，
， .故选B.
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（第9题）
9. 如图，在中，点在边 上，连
接，且，，直线 是边
的垂直平分线.若点在直线 上运动，
连接，，则 周长的最小值为
( )
C
A. 8 B. 16 C. 18 D. 20
【点拨】如图，连接 ，
是的垂直平分线，在 上运动，
要想的周长最小，即的值最小， 当 ,
,三点共线时， 的值最小，此时
， 周长的最小值为
.
，的周长 ，
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（第10题）
10.［2024泰州期中］如图，在平面直
角坐标系中，点 ，点
，点，若点到点 ，
，的距离相等，则点 的坐标为
______.
【点拨】
点到点,,的距离相等， 点是线段, 垂直平分
线的交点，如图，故点的坐标为 .
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线段的垂直平分线
性质定理的逆定理
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
性质定理
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理

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