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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.1.1等腰三角形的性质第十五章轴对称15.3.1.1等腰三角形的性质同步精讲练习题一、核心知识点精讲1.等腰三角形定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。2.等腰三角形两大核心性质（必考）性质1：等边对等角定理内容：等腰三角形的两腰相等，则对应的两个底角相等。几何语言：∵在△ABC中，AB=AC∴ ∠B=∠C（等边对等角）作用：由边相等，推出角相等，是角度计算最常用定理。性质2：三线合一（超级重点、考试高频）定理内容：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。几何语言（三种写法通用）：已知：△ABC中，AB=AC①若AD平分∠BAC→AD⊥BC，BD=CD②若AD是BC中线→AD⊥BC，AD平分∠BAC③若AD是BC的高→AD平分∠BAC，BD=CD口诀：知一得二，出现一个条件，自动拥有另外两个条件。3.等腰三角形对称性等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线（底边上中线、底边上的高）所在直线，仅有1条对称轴。4.角度固定结论①内角和180°：顶角+2×底角=180°②底角一定是锐角，等腰三角形最多一个钝角（只能是顶角）5.高频易错点（扣分重灾区）①三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线、角平分线不重合；②“等边对等角”必须在同一个三角形中使用；③求角度无图需分类讨论：已知角是顶角还是底角；④等腰三角形两底角平分线相等、两腰中线相等、两腰高相等。二、基础练习题（一）选择题1.等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为（）A. 50°B. 80°C. 100°D. 130°2.等腰三角形三线合一不包括（）A.顶角平分线B.底边上的高C.底边上的中线D.腰上的高3.等腰三角形中，AB=AC，∠B=70°，则∠A为（）A. 40°B. 70°C. 110°D. 20°（二）填空题4.等腰三角形________、________、________三线合一。5.在△ABC中，AB=AC，∠B=35°，则∠C=________，∠A=________。6.等腰三角形是________图形，有________条对称轴。（三）基础解答题7.已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。8.已知等腰三角形顶角为80°，求两个底角的度数。三、能力提升题9.已知等腰三角形一个内角为100°，求其余两个角的度数。（分类讨论）10.如图，AB=AC，AD⊥BC，BD=4，求BC的长度。四、参考答案与详细解析（一）选择题1. B解析：顶角=180° 2×50°=80°。2. D解析：三线合一仅限底边相关线段，腰上的高不重合。3. A解析：∠A=180° 70°×2=40°。（二）填空题4.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高5. 35°、110°6.轴对称、1（三）基础解答题7.证明：∵AB=AC，AD⊥BC∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。8.解：∵三角形为等腰三角形，顶角=80°∴底角=(180° 80°)÷2=50°答：两个底角均为50°。（四）能力提升题解析9.解：∵100°为钝角，只能是顶角（底角不能为钝角）∴剩余两角为底角，度数=(180° 100°)÷2=40°答：其余两个角均为40°。10.解：∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=CD=4（三线合一）∴BC=BD+CD=8。五、本节满分总结（必背）1.边等→角等（等边对等角）；2.等腰底边三线合一，知一推二；3.底角必为锐角，钝角只能是顶角；4.无图等腰题型，优先分类讨论防漏解。通过剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形，培养学生的动手能力.
通过学生自主探究、探索、猜想、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力.
结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用
导入新课
看到下面三角形了吗，它有何特点呢？
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
导入新课
探究
如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.
A
B
C
D
重合的线段 重合的角
　
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B与∠C
∠BAD与∠CAD
∠ADB与∠ADC
探究
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗 说一说你的猜想.
A
B
C
D
我们可以发现等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合
(简写成“三线合一”).
如何证明？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
证明：如图，作底边BC的中线AD，
则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B= ∠C.
AB=AC ，
BD=CD ，
AD=AD ，
这样就证明了“等边对等角”.
D
通过上述证明，还能得到什么？
∵△ABD≌△ACD，
由全等三角形的性质易得∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，
从而AD⊥BC.
这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合还可以如何证明？
A
B
C
D
A
B
C
D
这就证明了等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.
证明：（方法二）如图，作∠A的平分线交BC于点D，
则∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD (SAS).
∴BD=CD，∠BDA=∠CDA.
∴AD⊥BC.
AB=AC ，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
证明：（方法三）如图，过点A作AD⊥BC于D，
则∠BDA=∠CDA=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD.
AB=AC ，
AD=AD，
这就证明了等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边.
即证明了等腰三角形“三线合一”
A
B
C
D
从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD.
求△ABC各角的度数.
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD（等边对等角）.
设∠A=x，则∠BDC= ∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
A
B
C
D
于是在△ABC中，
有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°.
所以，在△ABC中，∠A=36°∠ABC=∠C=72°.
1. ［2025广安期中］已知 是等腰三角形，若
，则 的顶角度数是( )
C
A. B.
C. 或 D. 以上都不正确
（第2题）
2. 如图，，在上截取 ，连
接，当 时， 的度数是( )
C
A. B. C. D.
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（第3题）
3. 如图①是
两名同学玩跷跷板的场景，如
图②是跷跷板示意图，支柱
与地面垂直，是 的中
B
A. B. C. D.
点，绕着点上下转动.当端落地时， ，则
跷跷板上下可转动的最大角度 是( )
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4. ［2025长沙天心区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，
是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线
的是( )
（第4题）
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
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5.母题教材P79例1 如图，已知等腰三角形， ，
，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰 于
点，连接，则____ .
30
（第5题）
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6. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的
2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是
“倍长三角形”，底边的长为3，则腰 的长为___.
6
【点拨】 等腰三角形是“倍长三角形”， 或
.若，则 的三边长分别是6，6，
3，符合题意， 腰的长为6；若 ，则
，则的三边长分别是， ，3，
， 此时不能构成三角形，这种情况不存在.
综上所述，腰 的长是6.
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7.母题教材P86习题 小琳想要证明命题：等
腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已
知与求证补充完整，并完成证明过程.
已知：如图，在 中，_________________
____，，分别为边与 边上的中线，
；
求证： _____________________________________________
____________________________________________________
【解】证明：， .
是边上的中线，是 边上的中线，
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________.
，.又 ,
.
又 ，
.
返回
8. ［2025天津和平区期中］如图，已知 是
四边形内一点， ,
,则 的大
小是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】, ,
, .
.
,
, .故选
D.
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9. 已知,,分别是等腰三角形 三边的长，且满足
,若,,均为整数，则这样的等腰三角形 有
( )
B
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
10. 如图，在中， ，
，为边 边上的中线，
于点，交于点，过点作
的垂线交于点 .有下列结论：
；； 为
C
A. ①②③ B. ①③④
C. ①②⑤ D. ③④⑤
的中点；为的中点； .其中正确的
结论为 ( )
等腰三角形的性质
三线合一
等腰三角形的两个底角相等.
等边对等角
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
等腰三角形是轴对称图形.
对称性

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