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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.1.2等腰三角形的判定第十五章轴对称15.3.1.2等腰三角形的判定同步精讲练习题一、核心知识点精讲1.判定定理（必考核心）定理内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简记：等角对等边适用前提：同一个三角形中（重中之重）2.标准几何语言（考试规范写法）∵在△ABC中，∠B=∠C∴ AB=AC（等角对等边）∴△ABC是等腰三角形3.性质与判定互逆对照（必须分清）性质：等边对等角 边相等→推出角相等（已知等腰，求角度）判定：等角对等边 角相等→推出边相等（证等腰三角形）4.等腰三角形两种判定方法①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形；②定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。5.常见隐含等腰模型（考试秒杀套路）①平行线+角平分线→等腰三角形（最常考模型）原理：平行得内错角相等，角分线得两角相等，等量代换得等角→等边。②对顶角相等、公共角、同角的余角/补角相等，可构造等角证等腰。6.高频易错点①“等角对等边”只能在同一个三角形中使用，跨三角形不能用；②必须是相等的角所对的边相等，不要找错对应边；③不要混淆性质和判定：求角用性质，证三角形是等腰用判定；④三个角都相等的三角形是等边三角形（特殊等腰）。二、基础练习题（一）选择题1.在三角形中，有两个角分别为70°、70°，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断2.下列能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=30°，∠B=60°B. ∠A=50°，∠B=80°C. ∠A=40°，∠B=90°D. ∠A=60°，∠B=60°3. “等角对等边”的前提是（）A.两个三角形B.同一个三角形C.直角三角形D.任意图形（二）填空题4.等腰三角形的判定定理：________。5.在△ABC中，∠A=∠B，则________=________，△ABC是等腰三角形。6.平行线+角平分线组合，可构造________三角形。（三）基础证明题7.已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。8.已知：AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形。三、能力提升题9.如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，求证：△ACE是等腰三角形。10.已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AB，求证：△CDE是等腰三角形。四、参考答案与详细解析（一）选择题1. B解析：两角相等，根据等角对等边，三角形为等腰三角形。2. B解析：A选项三角30°、60°、90°；B选项∠C=50°，∠A=∠C，等腰；D选项为等边三角形。3. B解析：等角对等边、等边对等角均仅限同一个三角形。（二）填空题4.在同一个三角形中，等角对等边5. BC、AC6.等腰（三）基础证明题7.证明：∵在△ABC中，∠B=∠C∴ AB=AC（等角对等边）8.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵AD∥BC，∴∠BAD=∠B，∠CAD=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。（四）能力提升题解析9.证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠DCE∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE∴∠A=∠ACE∴AE=CE（等角对等边），∴△ACE是等腰三角形。10.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B∴∠EDC=∠C∴DE=CE（等角对等边），∴△CDE是等腰三角形。五、本节满分总结1.判定核心：等角对等边（同三角形）；2.性质：边等→角等；判定：角等→边等，切勿混用；3.必考模型：平行+角分线=等腰三角形，考试高频秒杀模型；4.证等腰三角形优先找两角相等，步骤最简。探索并掌握等腰三角形的判定定理.
能够利用等腰三角形的判定进行计算和证明，发展推理能力.
能用尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形，发展空间观念.
1.等腰三角形的定义？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形的两个底角相等
(简写成“等边对等角”) .
2.等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
几何语言：∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C (等边对等角) .
复习引入
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
知识点 等腰三角形的判定
D
C
A
B
2
1
（
（
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴AB=AC.
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD，
证明：如图，过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD中，
已知：在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
知识点 等腰三角形的判定
由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
符号语言：
如图，在△ABC中，∵∠B=∠C，
∴△ABC为等腰三角形
知识点 等腰三角形的判定
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，
AD∥BC.求证：AB=AC．
分析：要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.
因为∠1=∠2，所以可以设法找出∠B,∠C与∠1，∠2的关系.
知识点 等腰三角形的判定
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C．
又AD平分∠CAE
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
知识点 等腰三角形的判定
跟踪训练 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.求证：△AED是等腰三角形.
证明：在△ABD和△DCA中，
AB=DC，
BD=CA，
AD=DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC，
∴AE=DE(等角对等边）.
∴ △AED是等腰三角形.
知识点 等腰三角形的判定
a
h
分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.
由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.
知识点 等腰三角形的判定
例2 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.
作法：如图 .
(1)作线段 AB=a；
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；
(3)在MN 上取一点C，使 DC=h；
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
a
h
A B
M
N
D
C
知识点 等腰三角形的判定
例3 如图，在△ABC中，∠BAD=∠C，BE平分∠ABC.
求证：△AEF是等腰三角形
证明：∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠BAD=∠C ，
∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠C.
∵∠AFE=∠ABE+∠BAD，∠AEB=∠CBE+∠C,
∴∠AFE=∠AEB ，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形.
知识点 等腰三角形的判定
1. 下列能判定 是等腰三角形的是( )
B
A. ，
B. ，
C. ，
D. ， ，周长为13
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（第2题）
2. 母题教材P81练习 如图，
，
，则图中的
等腰三角形有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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（第3题）
3. ［2025江门期中］如图，
中，平分，平分 ，
经过点，与，相交于点 ，
，且，已知 ，
，，则 的周长
为( )
B
A. 6 B. 7 C. 7.5 D. 8.5
（第3题）
【点拨】根据角平分线的定义和平行线
的性质可证和 是等腰三
角形，从而可得， ，
然后根据等量代换可得, 的周长
，从而进行计算即可解答.
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（第4题）
4. 如图，一艘海轮位于灯
塔的南偏东 方向的 处，它以每小时
的速度向正北方向航行，2小时后
到达位于灯塔的北偏东 方向的 处，
则处与灯塔 的距离为( )
D
A. B.
C. D.
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5.［2024重庆］如图，在中，， ，
平分交于点.若，则 的长度为___.
2
（第5题）
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6.如图，在中， ， .用无刻度的
直尺和圆规在边上找一点，使 为等腰三角形.下列
作法正确的有___个.
3
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7.母题教材P81练习 如图，将一
张长方形的纸条沿 折叠，
交于点 ,若折叠后
.
（1）求 的度数；
【解】 四边形 是长方形，
.由折叠的性质，得
， .
（2）求证： 是等腰三角形.
【证明】 四边形是长方形， .
.由（1）得 .
，即 是等腰三角形.
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（第8题）
8. 如图，在中，，是
上的点，交于点，交 于
点，那么四边形 的周长是( )
B
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
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（第9题）
9. 如图，在四边形中， ,
, .按下列步骤作图：①以
点 为圆心，适当长度为半径画弧，分
别交,于,两点；②分别以点,
为圆心，大于 的长为半径画弧，
A
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
两弧交于点;③连接并延长交于点.则 的长是 ( )
【点拨】由题意可得是 的平分线.
, .
（第9题）
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10. 下列三角形中，若 ，则不能被一条直
线分成两个小等腰三角形的是( )
B
A. B. C. D.
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等腰三角形
定义法
等角对等边
判定定理法
有两边相等的三角形是等腰三角形
尺规作图
判定
已知底边及底边上的高作等腰三角形

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