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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.15.3.2.1等边三角形的性质与判定第十五章轴对称15.3.1.2等腰三角形的判定同步精讲练习题一、核心知识点精讲1.判定定理（必考核心）定理内容：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。简记：等角对等边适用前提：同一个三角形中（重中之重）2.标准几何语言（考试规范写法）∵在△ABC中，∠B=∠C∴ AB=AC（等角对等边）∴△ABC是等腰三角形3.性质与判定互逆对照（必须分清）性质：等边对等角 边相等→推出角相等（已知等腰，求角度）判定：等角对等边 角相等→推出边相等（证等腰三角形）4.等腰三角形两种判定方法①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形；②定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。5.常见隐含等腰模型（考试秒杀套路）①平行线+角平分线→等腰三角形（最常考模型）原理：平行得内错角相等，角分线得两角相等，等量代换得等角→等边。②对顶角相等、公共角、同角的余角/补角相等，可构造等角证等腰。6.高频易错点①“等角对等边”只能在同一个三角形中使用，跨三角形不能用；②必须是相等的角所对的边相等，不要找错对应边；③不要混淆性质和判定：求角用性质，证三角形是等腰用判定；④三个角都相等的三角形是等边三角形（特殊等腰）。二、基础练习题（一）选择题1.在三角形中，有两个角分别为70°、70°，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断2.下列能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=30°，∠B=60°B. ∠A=50°，∠B=80°C. ∠A=40°，∠B=90°D. ∠A=60°，∠B=60°3. “等角对等边”的前提是（）A.两个三角形B.同一个三角形C.直角三角形D.任意图形（二）填空题4.等腰三角形的判定定理：________。5.在△ABC中，∠A=∠B，则________=________，△ABC是等腰三角形。6.平行线+角平分线组合，可构造________三角形。（三）基础证明题7.已知：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。8.已知：AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形。三、能力提升题9.如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，求证：△ACE是等腰三角形。10.已知：在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE∥AB，求证：△CDE是等腰三角形。四、参考答案与详细解析（一）选择题1. B解析：两角相等，根据等角对等边，三角形为等腰三角形。2. B解析：A选项三角30°、60°、90°；B选项∠C=50°，∠A=∠C，等腰；D选项为等边三角形。3. B解析：等角对等边、等边对等角均仅限同一个三角形。（二）填空题4.在同一个三角形中，等角对等边5. BC、AC6.等腰（三）基础证明题7.证明：∵在△ABC中，∠B=∠C∴ AB=AC（等角对等边）8.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵AD∥BC，∴∠BAD=∠B，∠CAD=∠C∴∠B=∠C∴AB=AC（等角对等边），即△ABC是等腰三角形。（四）能力提升题解析9.证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠DCE∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE∴∠A=∠ACE∴AE=CE（等角对等边），∴△ACE是等腰三角形。10.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B∴∠EDC=∠C∴DE=CE（等角对等边），∴△CDE是等腰三角形。五、本节满分总结1.判定核心：等角对等边（同三角形）；2.性质：边等→角等；判定：角等→边等，切勿混用；3.必考模型：平行+角分线=等腰三角形，考试高频秒杀模型；4.证等腰三角形优先找两角相等，步骤最简。类比等腰三角形的研究经验，探索等边三角形的性质和判定.
能够利用等边三角形的性质和判定进行计算和证明，提升推理能力.
名称 图形 性质 判定
等 腰 三 角 形
等边对等角
三线合一
等角对等边
两边相等
两腰相等
轴对称图形
A
B
C
　　1．等腰三角形的性质和判定
　　2．三角形按边的相等关系分类
　　三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
　　等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形．
你从中发现了哪个公共的几何图形？
它有什么特殊性？
探究
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
一个三角形满足什么条件才是等边三角形？
A
B
C
知识点1 等边三角形的性质
A
B
C
问题1 已知AB=AC=BC，你可以得到什么结论呢？
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.(等边对等角)
同理，∠A=∠C.
∴∠A=∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
由等腰三角形的性质，可以得到：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
A
B
C
符号语言：
如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
A
B
C
问题2 等边三角形也有“三线合一”的性质吗 等边三角形有几条对称轴？
A
B
C
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”)
1条对称轴
3条对称轴
由等腰三角形的性质，可以得到：
等边三角形每条边上的中线、高及所对角的平分线重合，即“三线合一”.
A
B
C
D
符号语言：如图，在△ABC中，
①∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC且BD=CD.
②∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC且BD=CD.
③∵△ABC为等边三角形，BD=CD，
∴AD平分∠BAC且AD⊥BC.
等腰三角形 等边三角形
边
角
“三线合一”
对称轴
每条边上的中线、高及这条边所对角的平分线重合
三个角都相等，且都是60
3条对称轴
1条对称轴
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线重合
两条边相等
三条边都相等
等腰三角形和等边三角形的性质归纳总结
例1 如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，CA延长线上的点，且CD=AE，连接AD，BE，求证：AD=BE.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB，
∴∠EAB=∠ACD=180°-60°=120°.
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD(SAS)，
∴AD =BE.
跟踪训练 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( )
A.105° B.100°
C.95° D.85°
C
探究
反过来，三个角都相等的三角形是等边三角形吗？
A
B
C
已知：∠A=∠B=∠C，
求证：△ABC是等边三角形.
∵∠A=∠B，∴AC=BC.
又∠B=∠C，∴AB=AC.
∴AB=AC=BC，
即△ABC是等边三角形.
知识点2 等边三角形的判定
由等腰三角形的判定，可以得到：
三个角都相等的三角形是等边三角形.
A
B
C
符号语言：
如图，∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC为等边三角形.
探究
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
顶角60°；
底角60°.
A
B
C
60°
A
B
C
60°
A
B
C
60°
已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=60°，
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠A=60°，
∴∠B=∠C= (180°-60°)=60°.
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC为等边三角形.
A
B
C
60°
已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=60°，
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠B=∠C=60°.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°-60°-60°=60°.
∴∠A=∠B=∠C，
∴△ABC为等边三角形.
可以得到：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言：
如图，∵AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°
或∠C=60°)，
∴△ABC为等边三角形.
A
B
C
例2 如图，△ABC 是等边三角形，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
A
B
C
D
E
跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形.
证明：方法一 ∵ AB∥DC，∠A=60°，
∴∠ADC=120°.
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠ADC=60°.
∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=60°.
∴∠ABD=∠ADB=∠A. ∴△ABD是等边三角形.
跟踪训练 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A=60°，求证：△ABD是等边三角形.
证明：方法二
∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB.
∵AB//DC，∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ABD=∠ADB.
∴AB=AD.
又∠A=60°.
∴△ABD 是等边三角形
方法 等腰三角形 等边三角形
定义法
判定定理法1
判定定理法2
归纳总结
有两边相等的三角形
是等腰三角形.
有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）.
三边都相等的三角形
是等边三角形.
三个角都相等的三角形
是等边三角形.
有一个角是60°的等腰
三角形是等边三角形.
（第1题）
1. 如图，直线， 是等边三角
形， ，则 的大小为( )
C
A. B. C. D.
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（第2题）
2. 由于木质的衣架没有
柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操
作.小红设计了一种衣架，在使用时能轻
易收拢，然后套进衣服后松开即可，如
B
A. B.
C. D. 以上都不对
图①，衣架杆 .若衣架收拢时，
，如图②，则此时， 两点间的距离是( )
返回
3.母题教材P93复习题 如图，是等边三角形， ，
，分别是，，边上一点，且 ,则
的形状是____________.
等边三角形
（第3题）
（第3题）
【点拨】 为等边三角形，且
，， .在
与 中，
.同理证
得 是一个等边三角形.
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（第4题）
4.将含 角的直角三角尺和直尺按如图所示
的方式放置，已知 ，点， 表示的
刻度分别为1，3，则线段的长为___ .
2
【点拨】 直尺的两对边相互平行，
是等边三角形.
.
.易知 ，.
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5.如图，六边形的六个角都是 ，边长
，,, ，则这个六边
形的周长是____ .
15
（第5题）
【点拨】如图，分别作，， 的延长线
和反向延长线，使它们交于点，， 六边
形的六个角都是 ， 它的每一个
外角是 . 易得，， ，
都是等边三角形. ，
. 六边形 的周长为
.
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6.［2025常州期中］如图， 是等边三角形，
点在的外部，且，连接 交
于点 .
（1）求证：垂直平分 ；
【证明】是等边三角形， .
又， 点,在线段 的垂直平分线上.
垂直平分 .
（2）在上取点，连接，交于点，若 ，
试判断 的形状，并说明理由.
【解】 为等边三角形.理由如下：
是等边三角形， .
， .
， .
.
.
为等边三角形.
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（第7题）
7. 如图是由若干个相同的
小等边三角形组成的图形，小明在该图形中
建立了平面直角坐标系,并测得点 的坐标是
,点的坐标是 ，由此可知点
的坐标是( )
A
A. B.
C. D.
（第7题）
【点拨】由点的坐标是 可知，每个
小等边三角形的高是3,由点 的坐标是
可知,每个小等边三角形的边长为
.易知点是由点 向右平移
个单位长度,向上平移3个单
位长度得到的. 点的坐标是 .
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（第8题）
8. 如图，是等边三角形，点 在
内，，将绕点 逆时
针旋转得到，则 的长等于
( )
A
A. 4 B. C. 2 D.
（第8题）
【点拨】 是等边三角形，
， . 将 绕
点逆时针旋转得到 ，
， ，
即 . 是等
边三角形. .
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（第9题）
9. ［2025德州期中］如图，已知
，点，，， 在射线
上，点，，， 在射线 上，
，，， 均为
D
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
等边三角形，若，则 的边长为( )
（第9题）
【点拨】 是等边三角形，
, .又
, 易得 .
是等边
三角形， ， .又
, 易得 .
.同理可证
.以此类推,的边长为 ,
的边长为 .
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10. 如图, ,平分,且.若点,
分别在,上,且 为等边三角形,则满足上述条件的
有( )
D
（第10题）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
等边三角形
等腰三角形
腰和底相等
三边相等
性质
三个角都相等，并且每一个角都等于60°
“三线合一”
有一个角是60°的等腰三角形
判定
三边相等
三个角都相等

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