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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.16.3.1平方差公式第十六章整式的乘法16.3.1平方差公式练习题【核心知识点回顾】1.平方差公式（必考核心）文字表述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式：$$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$$2.公式特征（判断能否使用公式）①括号中必须是一项完全相同，一项互为相反数；②结果：相同项的平方－相反项的平方；③$$a$$、$$b$$可以是数字、字母、单项式、多项式。3.常见变形$$(b+a)(-b+a)=a^2-b^2$$$$(-a+b)(-a-b)=a^2-b^2$$4.公式逆用（因式分解）$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$5.简便运算用途用于凑整计算，如：$$99\times101=(100-1)(100+1)$$。###一、选择题（每题4分，共20分）1.下列式子能用平方差公式计算的是（）A. $$(a+b)(a+b)$$ B. $$(a-b)(b-a)$$ C. $$(a+b)(a-b)$$ D. $$(a+2)(a+3)$$2.计算$$(x+3)(x-3)$$的结果是（）A. $$x^2-9$$ B. $$x^2+9$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$x^2+6x+9$$3.计算$$(2a-1)(2a+1)$$的结果正确的是（）A. $$4a^2-1$$ B. $$2a^2-1$$ C. $$4a^2+1$$ D. $$4a^2-2a+1$$4. $$(-x+y)(-x-y)$$化简结果为（）A. $$x^2-y^2$$ B. $$y^2-x^2$$ C. $$-x^2-y^2$$ D. $$x^2+y^2$$5. $$99\times101$$可变形为（）A. $$(100+1)^2$$ B. $$(100-1)^2$$ C. $$(100+1)(100-1)$$ D. $$100^2+1$$###二、填空题（每题4分，共20分）1. $$(a+b)(a-b)=$$________。2. $$(x+5)(x-5)=$$________。3. $$(3a+2)(3a-2)=$$________。4. $$a^2-16=$$________$$)$$。5.平方差公式结果为：___项平方减___项平方。###三、解答题（共60分）1.（24分）运用平方差公式计算：（1）$$(m+4)(m-4)$$（2）$$(2x+3)(2x-3)$$（3）$$(-a+6)(-a-6)$$（4）$$(5x-y)(5x+y)$$2.（18分）利用平方差公式简便计算：（1）$$98\times102$$（2）$$59.8\times60.2$$3.（18分）化简求值：$$(x+2)(x-2)-x(x-1)$$，其中$$x=3$$。###参考答案与解析选择题答案：1.C 2.A 3.A 4.A 5.C填空题答案：1.$$a^2-b^2$$ 2.$$x^2-25$$ 3.$$9a^2-4$$ 4.$$(a+4)(a-4)$$ 5.相同、相反解答题解析1.解：（1）原式$$=m^2-4^2=m^2-16$$；（2）原式$$=(2x)^2-3^2=4x^2-9$$；（3）原式$$=(-a)^2-6^2=a^2-36$$；（4）原式$$=(5x)^2-y^2=25x^2-y^2$$。2.解：（1）原式$$=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996$$；（2）原式$$=(60-0.2)(60+0.2)=60^2-0.2^2=3600-0.04=3599.96$$。3.解：原式$$=x^2-4-x^2+x=x-4$$，代入$$x=3$$，原式$$=3-4=-1$$。易错知识总结1.乱用公式：必须满足“一同一反”，两项都相同、两项都相反均不能用；2.漏平方：系数、整体也要平方，如$$(2x)^2=4x^2$$，不是$$2x^2$$；3.写反顺序：只能是相同项平方减相反项平方；4.混淆平方差与完全平方公式，切勿多加一次项。理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想.
能利用公式进行简单的计算和推理，发展运算能力和推理能力.
情境导入
从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。
你认为老张吃亏了吗？
学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长是 15 米，宽是 10 米. 后来因为场地调整，长增加了 2 米，宽减少了 2 米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了，还是没变呢？
15m
10m
2m
2m
原来的面积是 15×10=150（米2），
调整后的长是 17 米，宽是 8 米，
面积是 17×8=136 （米2）.
显然，面积变小了.
我们再换一组数据试试？如果原来的长是 20 米，宽是 15 米，长增加 3 米，宽减少 3 米，面积又会怎么变呢？
20m
15m
3m
3m
原来的面积是 20×15=300 （米2），
调整后的面积是 23×12=276 （米2），
面积还是变小了.
这里面是不是存在着某种规律呢？
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）(x+1)(x-1)=_____________；
（2）(m+2)(m-2)=_____________；
（3）(2m+1)(2m-1)=_____________；
x2-12
m2-22
(2m)2-12
问题1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？
是两个二项式相乘，
这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项)，
另一项互为相反数(通常变形后放在第二项).
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）(x+1)(x-1)=_____________；
（2）(m+2)(m-2)=_____________；
（3）(2m+1)(2m-1)=_____________.
x2-12
m2-22
(2m)2-12
问题2 等式的右边有什么特点？
乘式中两项的平方差，
即相同项的平方减去相反项的平方.
探究 上述规律如何用字母来表示呢？
(a+b)(a-b)
=a -ab+ab-b2
=a -b2.
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
(a+b) (a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
这个公式叫作（乘法的）平方差公式.
平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中
p=a，q=-b的特殊情形.
思考
你能根据图中图形的面积，说明平方差公式吗？
a
a
a2-b2
=(a+b)(a-b)
b
b
a-b
a
b
(a-b) (a+b)=a2-b2.
例1 计算：
（1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y).　
解：（1）(3x+2)(3x-2)
=(3x)2-22
=9x2-4.
（2）(-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2-(2y)2
=x2-4y2.
例2 计算：
（1）(x-1)(x+1)(x2+1)； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；
解：（1）(x-1)(x+1)(x2+1)
=(x-1)(x+1)(x2+1)
=(x2-1)(x2+1)
=x4-1.
（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=y2-22-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1.
例2 计算：（3）102×98.
解：（3）102×98
=(100+2)(100-2)
=1002-22
=10000-4
=9996.
1. 下列各式能用平方差公式计算的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 下列多项式中，与相乘的结果为 的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 已知，则 的值为
( )
A
A. 13 B. 3 C. D. 5
4. 若，则 的值为( )
D
A. 4 B. 2 C. D.
返回
5. 已知，，则与 的大小关
系是( )
A
A. B. C. D. 不能确定
【点拨】 ，
，
.
6.若，则， 的值分别为
_________.
，
返回
7. 教材P117习题 计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8.［2025厦门校级期中］先化简，再求值：
，其中， .
【解】
，
当， 时，原式
.
9. 三个连续偶数，中间一个数为 ，则这三个数的积为
( )
A
A. B.
C. D.
10. 已知,则 的值是( )
A
A. B. C. 9 D. 27
【点拨】 .
返回
11. 如果，那么 的值
为( )
D
A. B. C. 2 D.
12.［2025福州校级期中］若，满足 则式子
的值为____.
返回
13. 在一个艺术工作室中，
设计师正在进行一幅拼图作品的创作.他使用
了大小不同的正方形纸片来构建图案.如图，
12
其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起
时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是24，那么
阴影部分的面积是____.
平方差公式
注意
内容
两个数的和与这两个数的差的积，
等于这两个数的平方差.
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；
对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用.
(a+b) (a-b)=a2-b2

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