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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.16.3.2.1完全平方公式第十六章整式的乘法16.3.2.1完全平方公式练习题【核心知识点回顾】1.两大核心完全平方公式（必考）完全平方和公式：$$\boldsymbol{(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$$完全平方差公式：$$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$$2.万能记忆口诀首平方，尾平方，首尾两倍放中央，同号得正，异号得负。3.公式特征①左边：两个相同的二项式相乘（和或差的平方）；②右边：三项式，分别是首项平方、尾项平方、首尾乘积的2倍；③$$a、b$$可以是数字、字母、单项式。4.重点常用变形公式$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$$$$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$$$$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$$5.极易混淆区分平方差：展开两项$$a^2-b^2$$；完全平方：展开三项，一定有中间2ab项。###一、选择题（每题4分，共20分）1.计算$$(x+2)^2$$的结果是（）A. $$x^2+4$$ B. $$x^2+2x+4$$ C. $$x^2+4x+4$$ D. $$x^2-4$$2.计算$$(2x-1)^2$$正确的是（）A. $$4x^2-1$$ B. $$4x^2-4x+1$$ C. $$2x^2-2x+1$$ D. $$4x^2-2x+1$$3. $$a^2+b^2$$可变形为（）A. $$(a+b)^2-2ab$$ B. $$(a-b)^2-2ab$$ C. $$(a+b)^2+2ab$$ D. $$(a+b)^2-ab$$4.若$$(x+m)^2=x^2+6x+9$$，则$$m$$的值为（）A. 3 B. 6 C. 9 D. -35.完全平方公式展开后共有几项（）A. 1项B. 2项C. 3项D. 4项###二、填空题（每题4分，共20分）1. $$(a+b)^2=$$________。2. $$(a-b)^2=$$________。3. $$(x-5)^2=$$________。4. $$(3x+2)^2=$$________。5. $$x^2+8x+16=$$(________)$$^2$$。###三、解答题（共60分）1.（24分）运用完全平方公式计算：（1）$$(x+6)^2$$（2）$$(y-4)^2$$（3）$$(3a+2b)^2$$（4）$$(4x-5y)^2$$2.（18分）利用完全平方公式简便计算：（1）$$99^2$$（2）$$101^2$$3.（18分）先化简，再求值：$$(x+1)^2-(x-2)(x+2)$$，其中$$x=-1$$。###参考答案与解析选择题答案：1.C 2.B 3.A 4.A 5.C填空题答案：1.$$a^2+2ab+b^2$$ 2.$$a^2-2ab+b^2$$ 3.$$x^2-10x+25$$ 4.$$9x^2+12x+4$$ 5.$$x+4$$解答题解析1.解：（1）原式$$=x^2+12x+36$$；（2）原式$$=y^2-8y+16$$；（3）原式$$=(3a)^2+2\cdot3a\cdot2b+(2b)^2=9a^2+12ab+4b^2$$；（4）原式$$=(4x)^2-2\cdot4x\cdot5y+(5y)^2=16x^2-40xy+25y^2$$。2.解：（1）原式$$=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$$；（2）原式$$=(100+1)^2=100^2+2\times100\times1+1^2=10000+200+1=10201$$。3.解：原式$$=x^2+2x+1-(x^2-4)=x^2+2x+1-x^2+4=2x+5$$，代入$$x=-1$$，原式$$=2\times(-1)+5=3$$。易错知识总结1.最经典错误：$$(a\pm b)^2\neq a^2\pm b^2$$，必须保留中间$$2ab$$项；2.首项、尾项有系数时要整体平方，如$$(3x)^2=9x^2$$；3.中间项符号由原式括号内符号决定；4.完全平方和平方差公式混淆，看清题目是“平方”还是“和乘差”。理解完全平方公式，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想；
能利用公式进行简单的计算和推理，发展运算能力.
相等
新课导入
一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？
a
b
b
a
直接求：总面积 =
间接求：总面积 =
ab
b2
a2
ab
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）(p+1)2=(p+1)(p+1)= ;
（2）(m+2)2=( )( )= ;
（3）(p-1)2 =( )( )= ;
（4）(m-2)2=( )( )= .
p2+2p+1
m2+4m+4
p2-2p+1
m2-4m+4
m+2
m+2
p-1
p-1
m-2
m-2
问题1 比较式子等号的左右两边， 你发现了什么规律吗？
(1)两个公式等号左边：都是一个二项式的完全平方，一个是和的完全平方，一个是差的完全平方.
(2)两个公式等号右边：都是一个二次三项式，首项和尾项分别是二项式中两项的平方，中间一项是（加或减）二项式中两项乘积的2倍.
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
验证形如(a±b)2的多项式相乘：
(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2=(a-b)(a-b)
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2.
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
这两个公式叫作（乘法的）完全平方公式.
首平方，尾平方，首尾二倍放中央.
思考 你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗
(a+b)2=a2+2ab+b2.
ab
b2
a2
ab
(a-b)b
b2
(a-b)2
(a-b)b
(a-b)2=a2-2(a-b)b-b2
=a2-2ab+b2.
例1 运用完全平方公式计算：
（1）(4m+n)2； （2）(y-)2 .　
解：（1）(4m+n)2
=(4m)2+2 (4m) n+n2
=16m2+8mn+n2.
首平方，尾平方，首尾二倍放中央.
例1 运用完全平方公式计算：
（1）(4m+n)2； （2）(y-)2 .　
（2）(y-)2
=y2-2××y+()2
=y2-y+.
解：（1）(4m+n)2
=(4m)2+2 (4m) n+n2
=16m2+8mn+n2.
首平方，尾平方，首尾二倍放中央.
例2 运用完全平方公式计算：
（1）1022； （2）992 .　
解：（1）1022
=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10404.
（2）992
=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=9801.
思考 （1）(a+b)2与(-a-b)2相等吗？
（2）(a-b)2与(b-a)2相等吗？
（3）(a-b)2与a2-b2相等吗？
(-a-b)2=[-(a+b)]2=(-1)2(a+b)2=(a+b)2.
(a-b)2=[-(b-a)]2=(-1)2(b-a)2=(b-a)2.
(a-b)2-(a2-b2)=2b2-2ab.
当两式相等时，可得2b2-2ab=0，即b2=ab.
所以当a=b或b=0时，(a-b)2=a2-b2；当a≠b且b≠0时，(a-b)2≠a2-b2.
1. 给出下列算式： ；
； ；
.其中错误的
有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. 如果,则 的值是( )
A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8
【点拨】 ,
, ,
.
D
返回
3. 如图，可验证的乘法公式是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
4.若，则 的值为____.
5.若，则代数式 为______.
6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式
的值是___.
8
返回
7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆
成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整
千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真
分数的和或差.
. .
. .
. .
返回
8.（1）解方程： ;
【解】 ，
，
，
，
.
（2）计算： .
.
返回
9. 母题教材P117习题 一个正方形的边长少了 ，它的
面积就减少了 ，那么这个正方形的边长为( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. 母题母题 若，，则
( )
A. 52 B. 50 C. 45 D. 60
【点拨】, .
A
返回
11.设，， ，若
，则 的值是____.
16
【点拨】，，，.又， .
返回
完全平方公式
注意
内容
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
1.项数、符号、字母及其指数.
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行.
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面).
(a±b)2= a2±2ab+b2.

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