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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.1.1用提取公因式法分解简单的因式第十七章因式分解17.1.1用提取公因式法分解简单的因式练习题【核心知识点回顾】一、因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。关键区分：整式乘法是“积→和差”，因式分解是“和差→积”，二者互为逆运算。二、公因式的概念多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。找公因式三步法（必考）1.系数：取各项系数的最大公约数；2.字母：取各项公共的字母；3.指数：取公共字母的最低次幂。三、提取公因式法法则如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。公式通用形式：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$四、标准解题步骤1.找准多项式的最大公因式；2.用每一项分别除以公因式，得到新因式；3.把公因式写在最前，剩余部分括在括号内；4.检查括号内是否还有公因式，确保分解彻底。五、特殊规律1.当多项式首项为负时，提取负公因式，括号内各项全部变号；2.单独一项全部提出后，剩余项为1，不能漏写。---【同步练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列变形属于因式分解的是（）A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+2x=x^2(1+\dfrac{2}{x})$$ D. $$x^2+2x=x(x+2)+0$$2.多项式$$3x^2-6x$$的公因式是（）A. $$3x$$ B. $$3x^2$$ C. $$x$$ D. $$6x$$3.分解因式$$4a^2-8ab$$的结果正确的是（）A. $$4a(a-2b)$$ B. $$4(a^2-2ab)$$ C. $$2a(2a-4b)$$ D. $$4a^2(1-\dfrac{2b}{a})$$4.分解因式$$-2x^2+4x$$，提取负公因式后正确的是（）A. $$-2x(x+2)$$ B. $$-2x(x-2)$$ C. $$2x(-x+2)$$ D. $$-2(x^2-2x)$$5.多项式$$5x^2y-10xy^2$$的公因式是（）A. $$5xy$$ B. $$5x^2y^2$$ C. $$xy$$ D. $$5x^2y$$二、填空题（每题4分，共20分）1.因式分解是把多项式化成几个整式________的形式。2. $$3x+6=$$________。3. $$5a^2-10a=$$________。4. $$6x^2y-9xy^2=$$________。5.提取公因式后，括号内剩余项需保证________公因式。三、解答题（共60分）1.（36分）用提取公因式法分解下列因式：（1）$$2x+4$$（2）$$7x^2-21x$$（3）$$4a^2b-6ab^2$$（4）$$-3x^2+6x-9$$（5）$$5m-10mn+15m^2$$（6）$$x^2y-xy^2+xy$$2.（24分）简便计算：（1）$$3.14\times6+3.14\times4$$（2）$$99\times5+1\times5$$---【参考答案与解析】一、选择题答案：1.A 2.A 3.A 4.B 5.A二、填空题答案1.积2. $$3(x+2)$$ 3. $$5a(a-2)$$ 4. $$3xy(2x-3y)$$ 5.无三、解答题解析1.解：（1）原式$$=2(x+2)$$（2）原式$$=7x(x-3)$$（3）原式$$=2ab(2a-3b)$$（4）原式$$=-3(x^2-2x+3)$$（5）原式$$=5m(1-2n+3m)$$（6）原式$$=xy(x-y+1)$$2.解：（1）原式$$=3.14\times(6+4)=3.14\times10=31.4$$（2）原式$$=5\times(99+1)=5\times100=500$$【高频易错总结】1.分解不彻底：必须提取最大公因式，不能只提部分公因式；2.漏写常数1：当某项全部被提出后，剩余位置必须写1，不能空着；3.负号错误：首项为负，提取负公因式时，括号内所有项全部变号；4.混淆因式分解与整式乘法：结果必须是整式乘积形式，不能留有加减运算；5.公因式找错：系数取最大公约数，字母取公共最低次幂，缺一不可。理解因式分解的概念，能说出因式分解和整式乘法之间的区别与联系.
理解并掌握提公因式法，并能熟练地运用提公因式法分解因式.
情境导入
跳水比赛打分规则
某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？
pa + pb + pc
p(a + b + c)
=
一个多项式
两个整式的乘积
思考 你还记得分解质因数吗？
把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫作分解质因数.
分解质因数.
33 42
33
3
11
33=3×11.
42
2
21
3
7
42=2×3×7.
类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式.
在学习单项式与多项式相乘时，我们知道
p(a+b+c)=pa+pb+pc,所以pa+pb+pc=p(a+b+c).
这表明多项式pa+pb+pc可以写成两个整式的乘积的形式.
探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式.
（1）x2+x=___________；
（2）x2-1=___________；
（3）x2+2x+1=___________.
x(x+1)
(x+1)(x-1)
(x+1)2
复习 计算：
x(x+1)=______________.
(x+1)(x-1) =______________.
(x+1)2=______________.
x2+x
x2-1
x2+2x+1
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
pa+pb+pc p(a+b+c).
因式分解
整式乘法
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
例1 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有_______，不是的，请说明为什么？
① am+bm+c=m(a+b)+c.
② 24x2y=3x ·8xy.
③ x2-1=(x+1)(x-1).
④ (2x+1)2=4x2+4x+1.
⑤ x2+x=x2(1+).
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z).
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
③⑥
思考 这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.
公因式
=p(a+b+c).
其中一个因式p是各项的公因式，
另一个因式a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
注意
使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式.
解：(1)mx2+my2
=m(x2+y2).
将x提出后，括号内的第三项为1.
例1 分解因式：
(1)mx2+my2； (2)3x2-4xy2+x.
解：(2)3x2-4xy2+x
=x·3x-x·4y2+x·1
=x(3x-4y2+1).
总结 提公因式法步骤（分四步）
第一步：确定公因式.先确定系数，再确定字
母和字母的指数.
第二步：提取公因式.依据乘法分配律.
第三步：确定另一个因式 .用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式.
第四步：写成乘积的形式.相同因式的乘积写成幂的
形式.
1. 下列各式的变形中，表述正确的是( )
；
.
C
A. 都是因式分解
B. 都是乘法运算
C. ①是因式分解，②是乘法运算
D. ①是乘法运算，②是因式分解
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2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 多项式 因式分解时，应提取的公因式是
( )
A
A. B. C. D.
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4. 在处填入一个整式，使关于 的多项式
可以因式分解，则 可以为__________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
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5. ［2025菏泽模拟］若 可以分解为
，那么 的值为( )
B
A. B. 1 C. D. 2
【点拨】
，
，， .
，故选B.
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6.母题教材P125练习 分解因式.
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
7.利用简便方法计算：
（1） ；
【解】 .
（2） ．
返回
8. 计算 的值是( )
A
A. B. C. D. 0
9. 如果能被整除，则 的值可能是( )
B
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【点拨】
，
则 的值可能是30.故选B.
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10. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多
项式的因式分解：___________________________.
11.［2025淄博月考］在分解因式时，甲看错了
的值，分解的结果是，乙看错了 的值，分解
的结果是，则 _____.
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因式分解
定义
用提公因式法
分解因式
我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.

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