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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.1.2用提公因式法分解稍复杂的因式第十七章因式分解17.1.2用提公因式法分解稍复杂的因式练习题【核心知识点回顾】一、本节重难点（进阶提公因式）上一节为单项式公因式，本节重点：多项式整体为公因式、多次提取公因式、含相反数变形提公因式、复杂正负号处理，是因式分解的高频考点。二、两大核心进阶考点1.整体公因式（多项式公因式）当多项式中出现重复的多项式整体（如$$x-y$$、$$a+b$$），可将其看作一个整体，直接提取为公因式。公式：$$m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n)$$2.相反数变形（必考变形）利用整式互为相反数的规律统一公因式，核心变形：$$a-b=-(b-a)$$，$$(a-b)^2=(b-a)^2$$，$$(a-b)^3=-(b-a)^3$$口诀：偶次幂不变号，奇次幂变号。三、复杂因式分解标准步骤1.观察式子，判断是否有多项式整体公因式；2.对互为相反数的整式进行变形，统一公因式；3.提取公因式，注意首项为负先提负号；4.二次检查：括号内若仍有公因式，需再次提取，保证分解彻底；5.化简括号内式子，合并同类项。四、关键易错规则1.整体提公因式后，剩余整式要带括号，不可漏写；2.多项式项全部提出后，剩余项为1，严禁空缺；3.幂的奇偶性决定符号，平方项永远不变号。---【同步练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.分解因式$$2(x-y)+3(x-y)$$的结果是（）A. $$5(x-y)$$ B. $$5x-5y$$ C. $$(x-y)(2+3)$$ D. $$6(x-y)$$2.对于$$a-b$$和$$b-a$$，下列说法正确的是（）A.永远相等B.互为相反数C.互为倒数D.无关系3.分解因式$$m(a-b)-n(b-a)$$的结果正确的是（）A. $$(a-b)(m-n)$$ B. $$(a-b)(m+n)$$ C. $$(b-a)(m+n)$$ D. $$(a+b)(m-n)$$4. $$(x-y)^2$$与下列哪个式子相等（）A. $$(y-x)^2$$ B. $$(y-x)^3$$ C. $$-(x-y)^2$$ D. $$-(y-x)^2$$5.分解因式$$3a(x-y)^2-6b(x-y)^2$$的公因式是（）A. $$3(x-y)^2$$ B. $$3(x-y)$$ C. $$a-b$$ D. $$3ab(x-y)^2$$二、填空题（每题4分，共20分）1. $$a-b=$$________$$(b-a)$$。2. $$4(x+y)-x(x+y)=$$________。3. $$m(a-b)+n(a-b)=$$________。4.分解因式$$2(x-3)+(3-x)=$$________。5. $$(a-b)^3=$$________$$(b-a)^3$$。三、解答题（共60分）1.（36分）分解下列因式（稍复杂题型）：（1）$$a(x-y)+b(x-y)$$（2）$$3m(a-b)-6n(b-a)$$（3）$$2(x-y)^2-(y-x)$$（4）$$x(a+b)-y(a+b)+z(a+b)$$（5）$$4a(m-n)^2-8b(n-m)^2$$（6）$$(x-2)^2+2(2-x)$$2.（24分）综合分解因式：（1）$$-2x(x-y)^2+4x^2(x-y)$$（2）$$3(a-b)^3-6(b-a)^2$$---【参考答案与解析】一、选择题答案：1.A 2.B 3.B 4.A 5.A二、填空题答案1. $$-$$ 2. $$(x+y)(4-x)$$ 3. $$(a-b)(m+n)$$4. $$x-3$$ 5. $$-$$三、解答题解析1.解：（1）原式$$=(x-y)(a+b)$$（2）原式$$=3m(a-b)+6n(a-b)=3(a-b)(m+2n)$$（3）原式$$=2(x-y)^2+(x-y)=(x-y)[2(x-y)+1]=(x-y)(2x-2y+1)$$（4）原式$$=(a+b)(x-y+z)$$（5）原式$$=4a(m-n)^2-8b(m-n)^2=4(m-n)^2(a-2b)$$（6）原式$$=(x-2)^2-2(x-2)=(x-2)(x-2-2)=(x-2)(x-4)$$2.解：（1）原式$$=2x(x-y)[-(x-y)+2x]=2x(x-y)(-x+y+2x)=2x(x-y)(x+y)$$（2）原式$$=3(a-b)^3-6(a-b)^2=3(a-b)^2[(a-b)-2]=3(a-b)^2(a-b-2)$$【高频易错总结】1.不会整体变形：看到$$a-b$$和$$b-a$$未主动变号统一公因式，导致无法分解；2.幂符号混淆：平方项不变号、立方项变号，做题极易搞反；3.整体提公因式后，括号内化简不彻底，遗留同类项；4.多次提公因式遗漏，只提一次，未分解到最简；5.符号错误：变形后正负号混乱，是本节最易丢分点。能熟练地将公因式是单项式或多项式的多项式因式分解.
掌握提公因式法的步骤.
复习导入
分解因式：
（1）6x3 – 18x2 = __________；
（2）–7a2 + 21a = __________.
6x2(x – 3)
– 7a(a – 3)
你是怎样做的？
①定系数；
②定字母；
③定指数；
6
x
2
1. 确定公因式：
2. 确定各项的余项；
3. 提取公因式.
–7
a
x
–3
a
–3
例1 把8a3b2 +12ab3c分解因式.
8a3b2 +12ab3c
先找出8a3b2与12ab3c的公因式，再提出公因式.
我们看这两项的系数8与12，它们的最大公因数是4；
两项的字母部分a3b2与ab3c都含有字母a和b,其中a的最低次数是1，b的最低次数是2，因此我们选定4ab2为要提出的公因式.
a·a·a·b·b
a·b·b·b·c
例1 把8a3b2 +12ab3c分解因式.
解：8a3b2 +12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
分析：提出公因式4ab2后，另一个因式就不再有公因式了.
=8a3b2 ÷(4ab2)+12ab3c÷(4ab2)
=2a2+3bc.
最大公因式的确定：
取各项系数的最大公因数
确定公因式
提取公因式
确定另一个因式
写成乘积的形式
归纳 提公因式法的一般步骤：
先确定系数，再确定字母和字母的指数
乘法分配律
用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式
相同因式的乘积写成幂的形式
依据
其项数与待分解多项式的项数相同
跟踪训练 4x2y3+8x3y2+12x4y.
解：原式=4
x2
y
=4x2y(y2+2xy+3x2).
(4x2y3÷4x2y+8x3y2÷4x2y+12x4y÷4x2y)
例2 分解因式：（1）2a(b+c)-3(b+c)；
解：（1）2a(b+c)-3(b+c)
=(2a-3)(b+c).
分析：在(1)中，b+c是2a(b+c)和-3(b+c)的公因式，可以用提公
因式法分解因式.
例2 分解因式：（2）4(a-b)3+8(b-a)2.
分析：在(2)中，因为(b-a)2=(a-b)2,
所以各项含有公因式4(a-b)2,也可以用提公因式法分解因式.
解：（2）4(a-b)3+8(b-a)2
=4(a-b)3+8(a-b)2
=4(a-b)2·(a-b)+4(a-b)2·2
=4(a-b)2(a-b+2).
跟踪训练 将下列各式分解因式：
(1)3a(a-2b)+6b(2b-a); (2)5m(y-x)2-10(x-y)3.
解：(1)3a(a-2b)+6b(2b-a)
=3a(a-2b)-6b(a-2b)
=3(a-2b)(a-2b)
=3(a-2b)2.
解：(2) 5m(y-x)2-10(x-y)3
=5m(x-y)2-10(x-y)3
=5(x-y)2[m-2(x-y)]
=5(x-y)2(m-2x+2y).
1. ［2025青岛期中］把多项式 分解因式，应
提的公因式是( )
B
A. B.
C. D.
2. 把 分解因式时，提出公因式后，另一个
因式是( )
A
A. B.
C. D.
返回
3. 把 因式分解，正
确的结果是( )
B
A. B.
C. D.
4. 把多项式因式分解时，提取的公因式是 ,
则 的值可能为( )
A
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
返回
5. 多项式 可以因
式分解成，则 的值是( )
C
A. 2 B. 4 C. 4或 D.
【点拨】，故，或， ，
则或 .故选C.
返回
6.［2024徐州］已知，，则 ___.
2
7. 一个多项式，把它因式分解后有一个因式
为 ，请你写出一个符合条件的多项式：____________
__________.
（答案不唯一）
返回
8.母题教材P125练习 分解因式：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
9.母题教材P126练习 先分解因式，再计算求值：
（1），其中， ；
【解】
.
将，代入,得原式 .
（2），其中 .
.
将代入,得原式 .
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10. 的三边长分别为,, ，且
，则 是( )
B
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
返回
11. 某养鸡场老板准备用 长的篱笆围
成一个相邻两边长分别为， 的长方形场地，已知
，则这个长方形场地的面积为( )
A. B.
C. D.
B
返回
用提公因式法
分解因式
定义
步骤
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
一确定公因式；
二提取公因式；
三确定另一个因式；
四写成乘积的形式.

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