资源简介

(共29张PPT)
人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.2.2用完全平方公式分解因式第十七章因式分解17.2.2用完全平方公式分解因式练习题【核心知识点回顾】一、完全平方公式（因式分解逆用）完全平方和：$$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$$完全平方差：$$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$$二、完全平方式三大判定条件（必考）1.多项式一共三项；2.首尾两项是平方形式且符号为正；3.中间项是首尾底数乘积的2倍（可正可负）。万能口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央三、公式中a、b的含义$$a、b$$可以是：数字、单个字母、单项式、整体多项式，和平方差公式中整体思想一致。例：$$x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2=(x-2)^2$$例：$$4x^2+12xy+9y^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=(2x+3y)^2$$四、标准解题步骤1.提：有公因式先提取公因式，化为最简三项式；2.判：判断是否满足完全平方式三大条件；3.定：确定首尾平方底数，找准中间项符号；4.套：套用完全平方公式写成平方形式；5.查：检查是否分解彻底。五、常见完全平方式熟记$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$$$x^2-8x+16=(x-4)^2$$---【同步练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列式子是完全平方式的是（）A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+x+1$$ D. $$x^2-2x-1$$2.分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（）A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$3. $$4a^2+4a+1$$分解因式正确的是（）A. $$(2a+1)^2$$ B. $$(2a-1)^2$$ C. $$4(a+1)^2$$ D. $$(4a+1)^2$$4.若$$x^2+mx+16$$是完全平方式，则m的值为（）A. 8 B. -8 C.±8 D.±45.完全平方式的项数为（）A. 2项B. 3项C. 4项D.任意项二、填空题（每题4分，共20分）1. $$a^2+2ab+b^2=$$________。2. $$a^2-2ab+b^2=$$________。3. $$x^2+10x+25=$$________。4. $$9x^2-12x+4=$$________。5.完全平方式首尾两项必须是________形式且同号。三、解答题（共60分）1.（36分）用完全平方公式分解下列因式：（1）$$x^2+2x+1$$（2）$$x^2-12x+36$$（3）$$a^2+8ab+16b^2$$（4）$$25x^2-20xy+4y^2$$（5）$$-x^2+2xy-y^2$$（6）$$16a^2+8a+1$$2.（12分）先提公因式再用公式分解：（1）$$3x^2-6x+3$$（2）$$2a^3-8a^2+8a$$3.（12分）整体思想分解因式：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$---【参考答案与解析】一、选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.C 5.B二、填空题答案1. $$(a+b)^2$$ 2. $$(a-b)^2$$ 3. $$(x+5)^2$$ 4. $$(3x-2)^2$$ 5.平方三、解答题解析1.解：（1）原式$$=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2$$（2）原式$$=x^2-2\cdot x\cdot6+6^2=(x-6)^2$$（3）原式$$=a^2+2\cdot a\cdot4b+(4b)^2=(a+4b)^2$$（4）原式$$=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=(5x-2y)^2$$（5）原式$$=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$$（6）原式$$=(4a)^2+2\cdot4a\cdot1+1^2=(4a+1)^2$$2.解：（1）原式$$=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$$（2）原式$$=2a(a^2-4a+4)=2a(a-2)^2$$3.解：设$$a=x-1$$原式$$=a^2+4a+4=(a+2)^2$$回代得：原式$$=(x-1+2)^2=(x+1)^2$$【高频易错总结】1.公式混淆：平方差是两项、异号；完全平方是三项、首尾同号，切勿混用；2.中间项易错：必须是首尾底数乘积的2倍，容易漏乘2；3.首项为负必须先提负号，再套用公式，避免符号混乱；4.有公因式不先提取，导致分解不彻底；5.整体换元不会用，无法识别复杂的完全平方式。经历通过乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的相反变形得出利用完全平方公式分解因式的过程.
理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别.
复习导入
在括号里填上适当的式子，使等式成立：
(1) (a + b)2 = ________________；
(2) (a – b)2 = ________________；
(3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2；
(4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 .
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
2a
2a
整式乘法
因式分解
思考 多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.
(a+b)2 =a2+2ab+b2，
(a-b)2 =a2-2ab+b2
把整式乘法的完全平方公式
的等号两边互换，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2=(a-b)2 .
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
多项式是三项式，其中首尾两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项符号相同；
中间一项是这两个数（或这两个式子）的积的2倍，符号正负都可以.
a2+2ab+b2=(a+b)2 ，
a2-2ab+b2=(a-b)2 .
例1 分解因式：
(1) x2+4x+4；
x2+4x+4=x2+2·x·2+22
a2+2·a·b+b2
解：x2+4x+4
=x2+2·x·2+22
=(x+2)2.
例1 分解因式：
(2) 16x2-24x+9.　
解：(2)16x2-24x+9
=(4x)2-2·4x·3+32
=(4x-3)2.
运用完全平方公式分解因式的步骤：
分析：在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，
则原式可化为完全平方式m -12m+36；
对于(2)，可通过添括号将原式写成-(x -4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式.
例2 分解因式：
(1) (a+b) -12(a+b)+36; (2)-x +4xy-4y .
例2 分解因式：
(1) (a+b) -12(a+b)+36; (2)-x +4xy-4y .
解： (1)(a+b)-12(a+b)+36
=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
解：(2) -x2+4xy-4y2
= -(x2-4xy+4y2)
= -[x2-2·x·2y+(2y)2]
= -(x-2y)2.
把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
思考 x2+(p+q)x+pq 型式子是数学学习中常见的一类多项式，
如何将这种类型的式子进行因式分解呢？
回顾题目 计算：
（1）(x+2)(x+3)； （2）(x-4)(x+1)；
（3）(x+4)(x-2)； （4）(x-5)(x-3).
= x2+5x+6.
= x2-3x-4.
= x2+2x-8.
= x2-8x+15.
x
x
p
q
x2
qx
px
pq
由上面计算的结果找规律，
观察右图，填空：
(x+p)(x+q)=( )2 + ( )x + ( ).
x
p+q
pq
我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.
这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出:
(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq
=x2+(p+q)x+pq.
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
探究 将式子x2+3x+2分解因式.
因此这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子.
p=1，q=2.
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
1
1
1
2
1×2+1×1=3
x2+3x+2=(x+1)(x+2).
十字相乘法
探究 将式子x2+3x+2分解因式.
x
x
1
2
1x+2x =3x
(x+1)(x+2).
跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？
(1)x2+7x+10; (2)x2-2x-8;
x
x
2
5
x5+x2=7x
∴x2+7x+10=(x+2)(x+5).
x
x
-4
2
x2+ x(-4)=-2x
∴x2-2x-8=(x-4)(x+2).
跟踪训练 利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？
(3)y2-7y+12; (4)x2+7x-18.
y
y
-3
-4
y(-3)+y (-4)=-7y
∴y2-7y+12=(y-3)(y-4).
x
x
-2
9
x9+ x(-2)=7x
∴x2+7x-18=(x-2)(x+9).
1. 下列各式：； ；
； ，其中不能用完全平方公式因
式分解的式子有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知，为任意有理数，记，，则
与 的大小关系为( )
B
A. B.
C. D. 不能确定
返回
3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分
别为,,, ，则大正方形的边长为( )
D
A. B.
C. D.
4. 若有理数，满足，则 的
值为( )
A
A. 2 B. C. 1 D.
返回
5. 整式 可以写成( )
A. B.
C. D.
B
返回
6. 若多项式 能用完全平
方公式因式分解，则 的值是_____.
【点拨】 多项式 能用完全平方公式因式
分解，， .
7.利用因式分解计算： ____.
16
返回
8.母题教材P130例3 把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
9. 给出三个多项式： ;
; .
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
【解】选择 （答案不唯一）.
.
（2）当, 时，求第（1）问所得的代数式的值.
当，时，原式 .
返回
10. 将多项式加上一项，使它能化成 的形式，
以下是四名学生所加的项，其中错误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
11. ［2025泰安期中］无论， 为何值，
的值都是( )
A
A. 正数 B. 负数
C. 零 D. 非负数
【点拨】， ，
， ，即
无论, 为何值，
的值都是正数.
返回
12. 已知实数，，，其中且满足 ，
，下列结论：， ，
，其中正确的是( )
B
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
用完全平方公式分解因式
a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2 .
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
多项式是三项式;
其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同;
中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以.
十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

展开更多......

收起↑