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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.17.2.3综合运用提公因式法和公式法第十七章因式分解17.2.2用完全平方公式分解因式练习题【核心知识点回顾】一、完全平方公式（因式分解逆用）完全平方和：$$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}$$完全平方差：$$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}$$二、完全平方式三大判定条件（必考）1.多项式一共三项；2.首尾两项是平方形式且符号为正；3.中间项是首尾底数乘积的2倍（可正可负）。万能口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央三、公式中a、b的含义$$a、b$$可以是：数字、单个字母、单项式、整体多项式，和平方差公式中整体思想一致。例：$$x^2-4x+4=x^2-2\cdot x\cdot2+2^2=(x-2)^2$$例：$$4x^2+12xy+9y^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2=(2x+3y)^2$$四、标准解题步骤1.提：有公因式先提取公因式，化为最简三项式；2.判：判断是否满足完全平方式三大条件；3.定：确定首尾平方底数，找准中间项符号；4.套：套用完全平方公式写成平方形式；5.查：检查是否分解彻底。五、常见完全平方式熟记$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$$$x^2+6x+9=(x+3)^2$$$$x^2-8x+16=(x-4)^2$$---【同步练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列式子是完全平方式的是（）A. $$x^2+2x-1$$ B. $$x^2-4x+4$$ C. $$x^2+x+1$$ D. $$x^2-2x-1$$2.分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（）A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$3. $$4a^2+4a+1$$分解因式正确的是（）A. $$(2a+1)^2$$ B. $$(2a-1)^2$$ C. $$4(a+1)^2$$ D. $$(4a+1)^2$$4.若$$x^2+mx+16$$是完全平方式，则m的值为（）A. 8 B. -8 C.±8 D.±45.完全平方式的项数为（）A. 2项B. 3项C. 4项D.任意项二、填空题（每题4分，共20分）1. $$a^2+2ab+b^2=$$________。2. $$a^2-2ab+b^2=$$________。3. $$x^2+10x+25=$$________。4. $$9x^2-12x+4=$$________。5.完全平方式首尾两项必须是________形式且同号。三、解答题（共60分）1.（36分）用完全平方公式分解下列因式：（1）$$x^2+2x+1$$（2）$$x^2-12x+36$$（3）$$a^2+8ab+16b^2$$（4）$$25x^2-20xy+4y^2$$（5）$$-x^2+2xy-y^2$$（6）$$16a^2+8a+1$$2.（12分）先提公因式再用公式分解：（1）$$3x^2-6x+3$$（2）$$2a^3-8a^2+8a$$3.（12分）整体思想分解因式：$$(x-1)^2+4(x-1)+4$$---【参考答案与解析】一、选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.C 5.B二、填空题答案1. $$(a+b)^2$$ 2. $$(a-b)^2$$ 3. $$(x+5)^2$$ 4. $$(3x-2)^2$$ 5.平方三、解答题解析1.解：（1）原式$$=x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=(x+1)^2$$（2）原式$$=x^2-2\cdot x\cdot6+6^2=(x-6)^2$$（3）原式$$=a^2+2\cdot a\cdot4b+(4b)^2=(a+4b)^2$$（4）原式$$=(5x)^2-2\cdot5x\cdot2y+(2y)^2=(5x-2y)^2$$（5）原式$$=-(x^2-2xy+y^2)=-(x-y)^2$$（6）原式$$=(4a)^2+2\cdot4a\cdot1+1^2=(4a+1)^2$$2.解：（1）原式$$=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2$$（2）原式$$=2a(a^2-4a+4)=2a(a-2)^2$$3.解：设$$a=x-1$$原式$$=a^2+4a+4=(a+2)^2$$回代得：原式$$=(x-1+2)^2=(x+1)^2$$【高频易错总结】1.公式混淆：平方差是两项、异号；完全平方是三项、首尾同号，切勿混用；2.中间项易错：必须是首尾底数乘积的2倍，容易漏乘2；3.首项为负必须先提负号，再套用公式，避免符号混乱；4.有公因式不先提取，导致分解不彻底；5.整体换元不会用，无法识别复杂的完全平方式。能综合运用提公因式法和平方差公式、完全平方公式对多项式进行因式分解．
理解公式法分解因式与乘法公式的联系与区别.
例1 分解因式：
(1)x -y ; (2)a b-ab.
分析： 在(1)中，x -y 可以写成(x ) -(y ) 的形式，可用公式法分解因式.
对于(2)，a b-ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.
例1 分解因式：
(1)x -y ; (2)a b-ab.
解：(1)x -y
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)a b-ab.
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
例2 分解因式：
(1)3ax +6axy+3ay ; (2)-ax +2a x-a .
解：(1)3ax +6axy+3ay
=3a(x +2xy+y )
=3a(x+y)2.
解：(2)-ax +2a x-a
=-a(x -2ax+a2)
=-a(x-a)2.
分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式.
跟踪训练 把下列各式因式分解：
(1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1); (2)(x2-1)2-6(x2-1)+9.
解：(1)x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1)
=(y2-1)(x2+2x+1)
= (y+1)(y-1)(x+1)2.
解：(2)(x2-1)2-6(x2-1)+9
=(x2-1-3)2
=(x2-4)2
=(x+2)2(x-2)2.
1. 把多项式 分解因式，结果正确的是( )
C
A. B.
C. D.
2. 因式分解整式 ，结果正确的是( )
D
A. B.
C. D.
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3. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符
号代表的内容.
分解因式： .
解：
*
☆.
其中运用到的方法是 和 .
. .
. .
下列回答错误的是( )
D
A. *代表
B. ☆代表
C. 可能代表提公因式法
D. 可能代表完全平方公式法
返回
4. ［2025南阳期中］如果， ，那么
的值为( )
D
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
5. 有一个因式分解的等式 ，
则式子中的， 对应的一组数字是( )
B
A. 16，2 B. 16，
C. ， D. ，2
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6.把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】 .
（2） ；
.
（3） ；
.
（4） .
.
返回
7. ［2025淄博模拟］下列因式分解：
；
；
；
.
其中结果正确的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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8. ［2025重庆万州区期中］已知，，分别是 的三
边长，若,，则 的长是
( )
C
A. 20 B. 16 C. 8 D. 4
【点拨】 ，
①，
，得
，解得 .
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9. 利用因式分解计算 的结
果为( )
A
A. 58 B. 57 C. 56 D. 55
【点拨】原式 .
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10.［2025上海徐汇区期中］在括号内填入适当的单项式，使
多项式 （ ）能因式分解，共有___种填法.
5
【点拨】当填入 时，原式
；当填入 时，
原式 ；
当填入 时，原式
；当填入 时，原式
；当填入 时，原式
返回
因式分解
的方法
提公因式法
公式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
a2-b2=(a+b)(a-b) 乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.
a ±2ab+b =(a±b) 乘法公式：(a±b) =a ±2ab+b .

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