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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.1.2.2分式的约分和通分第十八章分式18.1.2.2分式的约分和通分同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、分式的约分1.约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。2.约分目的：将分式化为最简分式（分子、分母没有公因式）。3.约分步骤（必考流程）①先因式分解：分子、分母是多项式必须先分解因式（提公因式、公式法）；②找出公因式：找准分子分母全部相同的因式；③约去公因式：分子分母同时除以公因式；④检查结果：确保无剩余公因式，化为最简。4.核心原则：只能约整体公因式，不能单独约分子分母中的单项！二、分式的通分1.通分定义：根据分式的基本性质，把几个异分母分式化为与原来分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。2.最简公分母（通分关键）取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。3.找最简公分母三步法①系数：取各分母系数的最小公倍数；②字母：取所有分母中出现的全部字母或多项式因式；③指数：取各字母因式的最高次幂。4.通分步骤①分解各分母因式；②确定最简公分母；③分子分母同乘对应整式，统一分母。三、约分与通分对比（易混区分）1.约分：针对一个分式，化简分式，分母变小、式子变简单；2.通分：针对多个分式，统一分母，为分式加减做准备，分母变大。共同点：都依据分式的基本性质，分式值始终不变。四、高频易错点1.多项式分式不先因式分解，直接盲目约分，导致出错；2.约分漏项、漏系数，分解不彻底；3.通分找错最简公分母，系数不取最小公倍数、指数不取最高次；4.通分只改分母不改分子，违背分式基本性质；5.分不清约分、通分：一个化简、一个统一分母。---【同步基础练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列分式属于最简分式的是（）A. $$\dfrac{2x}{4x+2}$$ B. $$\dfrac{x+1}{x^2+1}$$ C. $$\dfrac{x-1}{x^2-1}$$ D. $$\dfrac{3x}{6x}$$2.约分$$\dfrac{xy+x^2}{x^2-y^2}$$的结果是（）A. $$\dfrac{x}{x-y}$$ B. $$\dfrac{x}{x+y}$$ C. $$\dfrac{y}{x-y}$$ D. $$x$$3.分式$$\dfrac{1}{2x^2}、\dfrac{1}{3xy}$$的最简公分母是（）A. $$6x^2y$$ B. $$6xy$$ C. $$x^2y$$ D. $$5x^2y$$4.对分式进行约分、通分的依据是（）A.分数的意义B.分式的基本性质C.乘法公式D.整式定义5.通分的作用是（）A.化简分式B.统一分母，方便分式加减C.改变分式值D.分解因式二、填空题（每题4分，共20分）1.约分的最终结果必须是________分式。2. $$\dfrac{3x^2y}{6xy^2}=$$________。3.通分是把________分母分式化为同分母分式。4.分式$$\dfrac{1}{x-2}、\dfrac{1}{x+2}$$的最简公分母是________。5.约分和通分后，分式的值________（填“改变”或“不变”）。三、解答题（共60分）1.（30分）约分下列各分式：（1）$$\dfrac{4x^2y}{10xy^2}$$（2）$$\dfrac{x^2-1}{x^2+2x+1}$$（3）$$\dfrac{x^2-2x}{4-x^2}$$2.（30分）通分下列各组分式：（1）$$\dfrac{1}{3x^2}$$和$$\dfrac{5}{6xy}$$（2）$$\dfrac{x}{x-2}$$和$$\dfrac{3}{x+2}$$（3）$$\dfrac{1}{x^2-4}$$和$$\dfrac{1}{2(x+2)}$$---【参考答案与详细解析】一、选择题答案1.B 2.A 3.A 4.B 5.B二、填空题答案1.最简2. $$\dfrac{x}{2y}$$ 3.异4. $$(x-2)(x+2)$$ 5.不变三、解答题解析1.约分：（1）原式$$=\dfrac{2x\cdot 2xy}{5y\cdot 2xy}=\dfrac{2x}{5y}$$（2）原式$$=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}=\dfrac{x-1}{x+1}$$（3）原式$$=\dfrac{x(x-2)}{-(x^2-4)}=\dfrac{x(x-2)}{-(x-2)(x+2)}=-\dfrac{x}{x+2}$$2.通分：（1）最简公分母：$$6x^2y$$$$\dfrac{1}{3x^2}=\dfrac{2y}{6x^2y}$$，$$\dfrac{5}{6xy}=\dfrac{5x}{6x^2y}$$（2）最简公分母：$$(x-2)(x+2)$$$$\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{x^2+2x}{x^2-4}$$$$\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{3x-6}{x^2-4}$$（3）最简公分母：$$2(x-2)(x+2)$$$$\dfrac{1}{x^2-4}=\dfrac{2}{2(x-2)(x+2)}$$$$\dfrac{1}{2(x+2)}=\dfrac{x-2}{2(x-2)(x+2)}$$【本节满分总结】1.约分核心：先分解、再找公因式、最后约干净，结果必为最简分式；2.通分核心：找对最简公分母，系数取最小公倍数，字母取最高次幂；3.多项式分母必须先因式分解，再判断公因式、找公分母；4.二者均不改变分式大小，是后续分式加减运算的基础。通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念.
掌握分式的约分与通分的方法和步骤
体会用类比转化的思想研究数学问题．
探究新知
知识点1 分式的约分、最简分式
想一想：分数约分关键的是什么？
约去分子分母的最大公因数
约去分子分母的最大公因式
联想分数的约分，由前面的练习，你能想出如何对分式进行约分吗？
思 考
像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
÷x2
÷3x
分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．　
思考 联想分数的约分，由(1)(2)，你能想出如何对分式进行约分吗？
与分数的约分类似，我们利用分式的基本性质，约去了分子和分母的公因式，不改变分式的值.
(1); (2).
x
2x
÷3x
÷3x
　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分．
经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．
例1 下列分式是最简分式的是( )
D
3
4
(x+y)(x-y)
(x+y)(x-y)
跟踪训练 已知四张卡片上面分别写着6，x+1，x2-1，x-1，从中任意选两张卡片，其中两张卡片上的整式能组成的最简分式有_______个.
5
解析： ，，，，.
例2 约分：
(1); (2); (3).
解：(1)
(2)
(3)
=
.
.
=2x-2y.
归纳 约分的一般方法：
若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式.
若分子或分母是多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.
分子、分母系数的最大公因数和分子、分母中相同字母的最低次幂的乘积.
跟踪训练 约分：(1)；(2)；(3).
解：(1)
为避免约分时符号错误，不要写成(a-2)2
先分解因式
结果的“﹣”号一般写在分数线前面
(2)
(3)
﹣
﹣.
.
.
思考 联想分数的通分，由(3)(4)，你能想出如何对分式进行通分吗？
与分数的通分类似，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把两个分式化成分母相同的分式.
(3); (4).
a
2ab-b2
a
a
b
b
像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母.
例3 通分:
(1)与; (2) 与 .
解：(1)最简公分母是6a2b2c.
解：(2)最简公分母是2(x＋5)(x5).
,
.
,
.
归纳 确定最简公分母的方法
(1)分母为单项式：
①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②取单项式中每个出现的字母的最高次数作为最简公分母中该字母的次数；
③取单独出现的字母及其指数.
(2)分母为多项式：
①若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
②对每个分母因式分解；
③找出出现的每个因式的最高次幂，它们的积为最简公分母.
1. ［2025上海嘉定区月考］下列分式， ，
， 中，最简分式有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列分式与分式 相等的是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 化简 的结果是( )
D
A. B. 1 C. D.
4. 分式，， 的最简公分母是( )
D
A. B.
C. D.
找最简公分母的方法:
（1）找系数:如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最
小公倍数.
（2）找字母:凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式
子都要选取.
（3）找指数:取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子
中指数的最大值.
. .
. .
. .
返回
5. 小明化简分式时， 部分不小心滴上了墨水，请
推测*部分的式子应该是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】， 部分的式子
应该是 .故选B.
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6. 已知三张卡片上面分别写有6， ，
，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为_________
__________.（写出一个分式即可）
（答案不唯一）
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7.母题教材P144练习 约分：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
（1）约分前后分式的值要相等.
（2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
（3）约分是对分子、分母整体进行的，也就是分子的整体
和分母的整体都除以同一个因式.
. .
返回
8.母题教材P144练习 通分：
（1），， ；
【解】， ，
.
（2），， .
， ，
.
返回
9. 下列各式的变形不正确的有( )
; ;
; .
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】①原式 ，不符合题意；②原式
，符合题意；③原式 ，符合题意；
④原式为最简分式，不能再化简，符合题意.
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10. 已知， 两数在数轴上的位置如图所
示，则化简 的结果是( )
C
A. B.
C. D.
11. 若，则 ( )
A
A. B. C. D.
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约分
分式的约分和通分
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.

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