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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.5.1分式方程及其解法第十八章分式18.5.1分式方程及其解法同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、分式方程的定义定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。区分关键：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数。例：$$\dfrac{1}{x}+2=3$$是分式方程；$$\dfrac{x}{2}+1=0$$是整式方程。二、解分式方程的核心思想转化思想：将分式方程通过去分母，转化为整式方程求解，必须检验（分式方程独有步骤）。三、解分式方程标准五步解法（考试满分步骤）步骤1：因式分解：把所有分母多项式因式分解，找准最简公分母；步骤2：去分母：方程两边同时乘最简公分母，消去所有分母，化为整式方程；步骤3：解整式方程：按一元一次方程解法求出未知数的值；步骤4：检验（重中之重）：将解代入最简公分母；步骤5：下结论：公分母≠0，是原方程的解；公分母=0，是增根，原方程无解。四、增根知识点（本节重难点）增根定义：去分母过程中产生的、不适合原分式方程的根。产生原因：去分母时乘了含未知数的式子，默认分母不为0，扩大了未知数取值范围。判定方法：使原方程分母为0的根，一定是增根。五、高频易错点（必考扣分点）1.忘记检验：解分式方程不检验直接扣分；2.去分母时，常数项漏乘公分母；3.分子是多项式时，去分母后忘记加括号，符号出错；4.混淆增根与无解：有增根不一定无解，全部根都是增根才无解；5.找错最简公分母，分母未先因式分解。六、解题口诀分母有元分式方程，先分解再去分母；整式方程求根后，代入分母验真假，为0增根不为解---【同步基础练习题】一、选择题（每题4分，共20分）1.下列方程是分式方程的是（）A. $$\dfrac{x}{2}+3=5$$ B. $$\dfrac{1}{x-1}=2$$ C. $$2x+1=0$$ D. $$\dfrac{x+1}{3}=x$$2.解分式方程必须进行的步骤是（）A.去括号B.移项C.检验D.合并同类项3.方程$$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{x}$$的增根可能是（）A. $$x=0$$ B. $$x=2$$ C. $$x=3$$ D. $$x=1$$4.解分式方程的核心是（）A.化为整式方程B.直接约分C.直接移项D.通分即可5.若分式方程$$\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{m}{x-1}$$有增根，则增根为（）A. $$x=0$$ B. $$x=1$$ C. $$x=-1$$ D.任意数二、填空题（每题4分，共20分）1.分母中含有________的方程叫做分式方程。2.解分式方程最后必须________。3.使分式方程分母为0的根叫做________。4.解方程$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+1}$$，最简公分母是________。5.分式方程求解的思想是将分式方程转化为________方程。三、解答题（共60分，每题必须写检验步骤）1.（20分）基础分式方程：（1）$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$（2）$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{4}{x}$$2.（20分）含常数项分式方程：（1）$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$（2）$$\dfrac{2}{x}+1=\dfrac{3}{x}$$3.（20分）含增根、无解题型：（1）$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$（2）$$\dfrac{3}{x^2-9}+\dfrac{x}{x-3}=1$$---【参考答案与详细解析】一、选择题答案1.B 2.C 3.B 4.A 5.B二、填空题答案1.未知数2.检验3.增根4. $$x(x+1)$$ 5.整式三、解答题解析（标准满分步骤）1.（1）解：方程两边同乘$$x(x+1)$$$$2(x+1)=3x$$，$$2x+2=3x$$，解得$$x=2$$检验：当$$x=2$$时，$$x(x+1)\neq0$$，$$x=2$$∴原方程的解为（2）解：两边同乘$$x(x-1)$$$$x=4(x-1)$$，$$x=4x-4$$，解得$$x=\dfrac{4}{3}$$检验：当$$x=\dfrac{4}{3}$$时，$$x(x-1)\neq0$$，$$x=\dfrac{4}{3}$$∴原方程的解为2.（1）解：两边同乘$$x-2$$$$1+3(x-2)=x-1$$，$$1+3x-6=x-1$$$$3x-5=x-1$$，解得$$x=2$$检验：当$$x=2$$时，$$x-2=0$$，$$x=2$$∴是增根，原方程无解（2）解：两边同乘$$x$$$$2+x=3$$，解得$$x=1$$检验：当$$x=1$$时，$$x\neq0$$，$$x=1$$∴原方程的解为3.（1）解：两边同乘$$(x-1)(x+2)$$$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$$$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$$，$$x+2=3$$，$$x=1$$检验：$$x=1$$时分母为0，是增根，原方程无解（2）解：原式整理$$\dfrac{3}{(x+3)(x-3)}+\dfrac{x}{x-3}=1$$两边同乘$$(x+3)(x-3)$$$$3+x(x+3)=(x+3)(x-3)$$$$3+x^2+3x=x^2-9$$，$$3x=-12$$，$$x=-4$$检验：$$x=-4$$时分母不为0，$$x=-4$$∴原方程解为【本节满分总结】1.分式方程判定：分母含未知数；2.解法核心：去分母化整式方程，检验是必写步骤；3.去分母切记：每一项都要乘公分母，常数项不能漏；4.解后看分母，为0是增根，原方程无解，不为0是有效解。能从实际情境中抽象出分式方程，了解分式方程的概念，并会正确识别分式方程.
经历解分式方程基本思路的探究过程，了解需要对分式方程的解进行检验的原因
能解可化为一元一次方程的分式方程，体会转化和化归思想.
情境导入
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？
等量关系
v顺流 = v静水 + v水流
v逆流 = v静水 – v水流
如果设江水的流速为 v km / h：
速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式
顺流
逆流 30 + v
30 – v
90
60
仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？
分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
分式方程必须满足的条件：
（1）是方程；
（2）含有分母；
（3）分母中含有未知数.
三者缺一不可.
例1 下列式子：
；；；；
； .
其中是关于x的分式方程的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
混淆未知数与字母的区别致错
分母中含有字母的方程不一定是分式方程.如关于x的方程=x(a≠0）,分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程.
思考 如何解分式方程呢？
解分式方程的基本思路：
去分母
分式方程
整式方程
转化
.①
分式方程①中各分母的最简公分母是 (30+v)(30-v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得
(30+v)(30-v)(30+v)(30-v).
90(30-v)=60(30+v)
解得 v=6.
检验：把v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是方程①的解.
由此可得，江水的流速为6 km/h.
探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程.
②
你发现了什么问题？
类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，去分母得整式方程
(x-5)(x+5) · ·(x-5)(x+5)
x+5=10
解得 x=5.
探究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程.
②
你发现了什么问题？
将x=5代入②，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，
但不是分式方程的解.
实际上，这个分式方程无解.
思考 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
. ①
②
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）.方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，最简公分母(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.
. ①
②
方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5.当x=5时，最简公分母(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解.
. ①
②
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
解：方程两边乘x(x–3)，得
2x=3x–9.
解得 x=9.
检验：当x=9时，x(x–3)≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例1 解方程 .
例2 .
解：方程两边同乘(x-1)(x+2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
x2+2x-(x2+x-2)=3
x2+2x-x2-x+2=3
x+2=3.
解得 x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
归纳 解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.得到整式方程的解后，要对其进行检验.
解分式方程的一般过程如下：
分式方程
整式方程
x=m
x=m是分式方程的解
最简公分母不为0
x=m不是分式方程的解
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验
目标
教材延伸
分式方程的增根
将分式方程转化成整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根.
产生增根的原因
在将分式方程化为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是一个含未知数的式子，这个式子有可能为0.如果为0，那么对于转化后的整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解.
跟踪训练 解下列方程：（1）
1方程两边同乘x(x+2)，得
.
解得
=8
跟踪训练 解下列方程：（1）
2对原方程两边同时取倒数，得
关于x的形如的方程，通过取倒数，可直接将分式方程转化为整式方程进行求解，但要注意最后仍需检验.
跟踪训练 解下列方程：.
解：方程两边乘(x+1)(x-1)，得
.
.
检验：当x=-1时， (x+1)(x-1)=0，
所以x=-1不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解.
含字母的分式方程的解法
1.含字母的分式方程：若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有表示已知数的字母，则该方程是含字母的分式方程.
2.含字母的分式方程的解法：含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同. 需要注意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已知数，同时还要注意题目中所给的限制条件，
例3 解关于x的分式方程（ a≠0 ）.
解：方程两边乘(x-1)，得
a=x-1.
解得
x=a+1.
检验：当x=a+1时，x-1=a+1-1=a≠0.
所以原分式方程的解为x=a+1.
1. 为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后
比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造
前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为
( )
B
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
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2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的
投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有
三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；
②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③ ，
剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工.某同学设规定的
工期为天，根据题意列出了方程： ，则方案③
中被墨水污染的部分应该是( )
A. 甲、乙两队合作了4天
B. 甲队先做了4天
C. 甲队先做了工程的
D. 甲、乙两队合作了工程的
√
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3. 教材P169习题 某物流仓储公司用， 两种型号
的机器人搬运物品，已知型机器人比 型机器人每小时多搬
运，型机器人搬运所用时间与 型机器人搬运
所用时间相等，则型机器人每小时搬运物品____ .
80
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4.［2024自贡］为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某
校组织了包粽子活动.已知七（3）班甲组同学平均每小时比
乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包
120个粽子所用的时间相同.求甲、乙两组同学平均每小时各
包多少个粽子.
【解】设乙组同学平均每小时包 个粽子，则甲组同学平均
每小时包个粽子，根据题意,得 ，解得
.经检验，是原方程的解， .; 答：
甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包
80个粽子.
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5. 已知完成某项工程甲组需要12天，乙组需要若干天，甲组
单独工作半天后，乙组加人，两组合作2天后，甲组又单独
工作了3天半，工程完工，则乙组单独完成此项工程需要的
天数比甲组( )
B
A. 少6天 B. 少8天
C. 多3天 D. 多6天
6.［2025沧州月考］为落实“美丽乡村”的工作部署，市政府
计划对乡村道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已
知甲队修路与乙队修路 所用时间相等，乙队每
天比甲队多修 .求甲队每天修路的长度.
（1）填表（在表格中横线处填写相应的代数式）：
方法一：设甲队每天修路的长度为 ，完成表格：
工作时间（天）
甲队 400 _____________________
乙队 _______ 600 _ ____
方法二：设甲队修路需要用 天，完成表格：
工作时间（天）
甲队 _ ___ 400
乙队 _ ___ 600 ______________________
（2）请选择一种方法，写出完整的解答过程.
【解】方法一：，解得 .
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
故甲队每天修路的长度为 .
方法二：，解得 .
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意.
.
故甲队每天修路的长度为 .
（两种方法任选一种即可）
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分式方程
定义
分母中含未知数的方程
解法
去分母，转化为整式方程
解整式方程
检验
代入原方程
代入最简公分母

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