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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.18.5.2列分式方程解决实际问题第十八章分式18.5.2列分式方程解决实际问题同步知识点+练习题【核心知识点精讲】一、列分式方程解应用题标准六步满分流程步骤1：审（审题）：读懂题意，找出题目中的已知量、未知量，梳理数量关系。步骤2：设（设未知数）：一般求什么设什么，设未知数带单位；可直接设元，也可间接设元。步骤3：列（列方程）：找准等量关系，列出分式方程（核心步骤）。步骤4：解（解方程）：去分母化为整式方程，求解未知数。步骤5：验（双重检验，必考）：①验方程：检验未知数是否为分式方程的增根；②验实际：检验结果是否符合生活实际（人数、速度、时间、工作量均为正数）。步骤6：答（写答案）：规范作答，补齐单位，完整回应题目问题。二、四大必考题型核心等量关系1.工程问题（最常考）基本公式：$$\text{工作效率}=\dfrac{\text{工作总量}}{\text{工作时间}}$$常规设定：把总工程量看作单位1等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量2.行程问题基本公式：$$\text{速度}=\dfrac{\text{路程}}{\text{时间}}$$常见考法：提速/减速、早到/晚到、顺水/逆水航行3.销售单价问题基本公式：$$\text{单价}=\dfrac{\text{总费用}}{\text{数量}}$$等量关系：前后单价差、数量差建立等式4.增产增收、配比问题根据产量、增长率、数量变化的差值关系列方程。三、本节核心重难点1.双重检验：分式方程应用题必须检验，既要验增根，又要验实际意义；2.等量关系隐藏在“比……多、比……少、提前、延后、提速、降价”等条件中；3.结果出现负数、小数人数、零速度等，一律不符合实际，直接舍去。四、高频易错扣分点1.忘记双重检验，只解方程不检验，直接丢分；2.设未知数不带单位，答题不规范；3.混淆效率、速度、单价的倒数关系，列反方程；4.忽略实际意义，算出负数、不合理数值不舍去；5.审题不清，找错等量关系。---【经典同步例题（标准满分答题模板）】例题：工程问题甲单独完成一项工程需要10天，乙单独完成需要x天，两人合作4天完成工程的一半，求乙单独完成需要多少天？解：设乙单独完成需要$$x$$天。甲工作效率：$$\dfrac{1}{10}$$，乙工作效率：$$\dfrac{1}{x}$$列方程：$$4\left(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{2}$$解得：$$x=20$$检验：$$x=20$$时分母不为0，且天数为正数，符合实际意义。答：乙单独完成需要20天。---【同步专项练习题】一、填空题（每题4分，共20分）1.列分式方程解应用题，必须进行________检验和________检验。2.工程问题中，通常把工作总量看作________。3.路程一定时，速度越快，时间越________。4.公式：工作效率=________。5.应用题解出负数结果，应________。二、解答题（共80分，全部按六步标准解题）1.（20分）【工程问题】某工程，甲单独做比乙单独做快3天完成，已知甲单独完成需要12天，求乙单独完成需要多少天？若两人合作，几天可以完成？2.（20分）【行程问题】小明骑车去某地，路程为30千米，实际速度比原计划提速5km/h，结果提前1小时到达，求原计划骑行速度。3.（20分）【销售单价问题】用100元购买文具，打折后单价降低2元，多买了5件，求原来文具的单价。4.（20分）【经典综合题】一艘船顺水航行40千米与逆水航行30千米所用时间相同，已知水流速度为2km/h，求船在静水中的速度。---【参考答案与详细解析】一、填空题答案1.方程、实际意义2.单位1 3.少4. $$\dfrac{\text{工作总量}}{\text{工作时间}}$$ 5.舍去二、解答题标准解析1.解：设乙单独完成需要$$x$$天。根据题意列方程：$$\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x-3}$$解得：$$x=15$$检验：$$x=15$$是方程的解，且符合实际。合作时间：$$1\div(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{15})=\dfrac{20}{3}$$（天）答：乙单独完成需要15天，两人合作需要$$\dfrac{20}{3}$$天。2.解：设原计划速度为$$x$$ km/h。$$\dfrac{30}{x}-\dfrac{30}{x+5}=1$$解得：$$x=10$$（$$x=-15$$舍去）检验：符合方程与实际意义。答：原计划骑行速度为10km/h。3.解：设原来单价为$$x$$元。$$\dfrac{100}{x-2}-\dfrac{100}{x}=5$$解得：$$x=10$$（$$x=-8$$舍去）检验：符合题意。答：原来文具单价为10元。4.解：设船在静水中速度为$$x$$ km/h。顺水速度$$(x+2)$$，逆水速度$$(x-2)$$$$\dfrac{40}{x+2}=\dfrac{30}{x-2}$$解得：$$x=14$$检验：符合方程与实际。答：船在静水中速度为14km/h。【本节满分总结】1.解题六步：审、设、列、解、验、答，步骤齐全不丢分；2.分式方程应用题必须双重检验，是最大得分关键点；3.工程、行程、销售、航行四大题型，抓准“时间、数量、效率”等量差；4.所有不符合实际的解（负数、不合理数值）一律舍去。能根据具体问题中的数量关系列分式方程，检验方程的解的合理性.
解决简单的实际问题，建立模型观念，增强应用意识.
探究新知
你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？
行程问题
路程 = 速度×时间
工作量=工作效率×工作时间，
合作效率=各自单独完成任务的效率和.
工程问题
利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率，
销售额 = 销售量×单价.
销售问题
分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量，由此列方程，进而求出x，就可以比较甲、乙两队的施工速度.
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
甲队
甲队+乙队
1个月 半个月
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
.
方程两边乘6x，得 2x+x+3=6x.
解得 x=1.
检验：当x1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
设未知数的方法
(1)设直接未知数，即题中问什么就设什么；
(2)设间接未知数，即设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数；
(3)设辅助未知数，即设一个未知数无法表示等量关系时，可增设一个参数——辅助未知数，从而列出方程，而辅助未知数一般可以在求解过程中消去.
跟踪训练 在学习“分式方程”时，张老师板书了如下的问题，小明和小亮两名同学都列出了对应的方程.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明同学所列方程中x表示_____________________________，
列方程所依据的等量关系是_______________________________ ;
小亮同学所列方程中y表示_______________________________，
列方程所依据的等量关系是______________________________.
乙队每天比甲队多修40m
甲队修路800 m与乙队修路1 200 m所用时间相等
甲队每天修路的长度
甲队修路800 m所用时间
(2)请你在两个方程中任选一个，解答老师的问题.
解：（答案不唯一）选小明，设甲队每天修路x m.
根据题意，得方程.
两边乘x(x+40)，得800(x+40)=1 200x.
解得 x=80.
经检验，x=80 是原分式方程的解，且符合题意.
答：甲队每天修路的长度为80 m.
例2 某次列车平均提速v km/h．在相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的字母v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，那么提速前列车行驶s km所用时间等于提速后列车运行(s+50)km所用时间．由此列方程，进而求出x.
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量).
例2 某次列车平均提速v km/h．在相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
解：设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶
s km所用时间为h；
提速后列车的平均速度为(x+v) km/h，提速后它行驶(s+50) km，所用时间为 h.
根据行驶时间的相等关系，得 . ①
方程两边乘x(x+v)，得 s(x+v)=x(s+50).
解得 .
检验：因为v，s都是正数，
所以当时，x(x+v)≠0.
所以，原分式方程的解为.
答:提速前列车的平均速度为km/h.
在例题中，出现了一些用字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现.方程①是以x为未知数的分式方程，其中v,s是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数.
1. 一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺
流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所
用时间相等，则江水的流速为( )
D
A. B.
C. D.
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2.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相
关信息制作了下表，表中两个区间段（线路的一部分）以最
高时速运行时相应所用的时间比约少 ，那么区间设
计最高时速 _____ .
区间段
48
88
320
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3.某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知
地到地的路程为，乘坐型车比乘坐 型车少用2小
时，型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求 型车
的平均速度.
【解】设型车的平均速度是，则 型车的平均速度
是 ，
根据题意,得，解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意.
答：型车的平均速度是 .
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4. “行人守法，安全过街”不仅体现了对生命的尊重，
也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度. 如图，某森林公
园路口的斑马线为横穿双向行驶车道，其中 ，
在绿灯亮时，小官共用通过路段，其中通过 路段时的速度是
通过路段时速度的1.6倍，则小官通过 路段时的速度是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】设小官通过路段时的速度是，则通过 路
段时的速度是，依题意，得 ，解得
，经检验，是原方程的解，且符合题意， 小官
通过路段时的速度是 .
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5.如图，在一条笔直的公路上有三个小镇,,,甲车从 出发
匀速开往,乙车从出发匀速开往 .若两车同时出发，当甲
车到达时，乙车离还有;当乙车到达 时，甲车正好
到达.已知,则,两镇相距_____ .
200
【点拨】设,两镇相距,甲车的速度是 ,乙车的速
度是,根据题意，得解得 .经检验，
是方程组的解,且符合题意,,两镇相距 .
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列分式方程
解决实际问题
分式方程
分式方程的解
列方程
解方程
检验

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