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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第十八章分式第十八章分式全章知识点汇总+练习题18.1分式的基本概念与性质一、分式的定义形如$$\dfrac{A}{B}$$（$$A、B$$是整式，且$$B$$中含有未知数，$$B\neq0$$）的式子叫做分式。关键区分：分母含未知数为分式，分母不含未知数为整式。分式有意义：$$B\neq0$$；分式无意义：$$B=0$$；分式值为0：$$A=0$$且$$B\neq0$$。二、分式的基本性质$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\times C}{B\times C}$$，$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\div C}{B\div C}$$（$$C\neq0$$，$$C$$为整式）核心应用：分式的约分与通分1.约分：约去分子、分母的公因式，结果为最简分式；2.通分：找准最简公分母，将异分母分式化为同分母分式。---18.2分式的乘除运算18.2.1分式的乘除1.乘法法则$$\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd} \ (b\neq0,d\neq0)$$，分子乘分子，分母乘分母。2.除法法则$$\dfrac{a}{b}\div \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot \dfrac{d}{c}=\dfrac{ad}{bc} \ (b\neq0,c\neq0,d\neq0)$$口诀：除法变乘法，除式上下翻。3.解题步骤因式分解→除法变乘法→上下约分→整理为最简分式。18.2.2分式的乘除混合运算及乘方1.分式乘方法则$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n} \ (b\neq0)$$，分子、分母分别乘方。符号规律：偶次幂为正，奇次幂为负。2.混合运算顺序先算乘方，再算乘除，无括号从左到右依次运算，统一化为乘法后约分计算。---18.3分式的加减运算18.3.1分式的加减（基础）1.同分母分式加减$$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{b}=\dfrac{a\pm c}{b}$$，分母不变，分子相加减。2.异分母分式加减先通分，再按同分母分式加减计算。18.3.2异分母分式相加减（重难点）1.核心步骤分母因式分解→找最简公分母→通分→分子整体加减→化简约分。2.特殊题型整式加减分式：整式看成分母为1的分式；分母互为相反数：统一分母后再计算。3.易错点分子为多项式减法必须加括号，杜绝分子分母分别加减的错误。---18.4整数指数幂与科学记数法18.4.1负整数指数幂1.核心公式$$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n} \ (a\neq0，n为正整数)$$，负指数=正指数的倒数。零指数幂：$$a^0=1 \ (a\neq0)$$，0的负指数幂无意义。2.通用幂运算公式对正负、零指数全部适用：同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方。计算结果必须化为正指数形式。18.4.2科学记数法1.通用形式$$a\times10^n$$（$$1\leqslant|a|\lt10$$，$$n$$为整数）2.分类规则大数（>10）：$$n$$为正整数，$$n=$$整数位数$$-1$$；小数（<1）：$$n$$为负整数，$$|n|=$$首位非0前0的个数。---18.5分式方程及应用18.5.1分式方程及其解法1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.标准解题步骤分母因式分解→去分母（乘最简公分母）→解整式方程→检验（必写）→下结论3.增根去分母产生的、使原分母为0的无效根，有增根则原方程无解。18.5.2列分式方程解决实际问题1.满分六步流程审题→设未知数（带单位）→列方程→解方程→双重检验（方程+实际）→作答2.四大必考题型工程问题（总量为1）、行程问题、销售单价问题、航行问题；所有不符合实际的解（负数、不合理数值）一律舍去。---【全章核心易错大汇总】1.分式运算：多项式不因式分解直接约分，分子加减漏括号、符号出错；2.负指数幂：误将负指数当成负数，结果保留负指数；3.科学记数法：$$a$$的范围不符合$$1\leqslant|a|\lt10$$；4.分式方程：解题忘记检验，应用题缺少实际意义检验；5.严禁低级错误：$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\neq\dfrac{1}{a+b}$$。【全章满分解题口诀】分式性质是根基，约分通分要牢记；乘除变乘先翻转，乘方上下分别算；同分母加减不动底，异分母先通分替；负指数倒数变正，科学记数a合规；分式方程必检验，应用题双重验真假。 分式方程的解
分式方程
实
际
问
题
实际
问题
的答案
目标
分式
目标
类比分
数性质
分式基本性质
类比分
数运算
分式的运算
列式
整式方程
去分母
解整式方程
整式方程的解
检验
列方程
本章知识结构图
分式的概念：
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式.
分式有意义的条件：___________________________.
分式值为0的条件：___________________________.
B0.
A=0，B0.
分式的基本性质：
　　分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
上述性质可以用式子表示为
= ， =
其中A，B，C（C≠0）是整式.
分式的约分：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.
公因式的确定：
1.定系数
当各项系数都是整数时，取各项系数的最大公因数.
2.定字母
取各项中的相同字母，这些字母可以是单项式，也可以是多项式.
3.定指数
取相同字母的最低指数.
分式的通分：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.
最简公分母：
通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母.
分式的乘法： .
分式的除法： .
分式的加减：；
.
整数指数幂：a-n= (a≠0)；am·an=am+n；
(am)n=amn；(ab)n=anbn (m，n是整数).
分式的运算
分式方程 ：分母中含未知数的方程，叫作分式方程.
分式方程
整式方程
整式方程的解
去分母
解整式方程
检验
列分式方程
解决实际问题
分式方程
分式方程的解
列方程
解方程
检验
【核心考点整合】
考点1 分式的有关概念及基本性质
1. 在，，， 中，分式的个数为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 给出下列分式：,,,, ，其中不是最简分
式的个数是( )
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
返回
3. 下列各式从左到右的变形正确的是( )
A
A. B.
C. D.
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4. 根据分式的性质，可以将分式为整数 进
行如下变形： ，其
中 为整数.
结论Ⅰ：依据变形结果可知， 的值可以为0；
结论Ⅱ：若使的值为整数，则 的值有3个.
以下说法正确的是( )
C
A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对
C. Ⅰ不对，Ⅱ对 D. Ⅰ对，Ⅱ不对
【点拨】
，由
化简过程可知，，，，
.由题意可知，若使的值为整数且 为整
数，则,2,,，,1,, ，综上所述，
,,.有3个， Ⅰ不对,Ⅱ对.
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5. 若分式有意义，则实数 的取值
范围是______.
返回
考点2 分式的运算
6.［2024重庆］计算： .
【解】原式 .
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7.［2024连云港］下面是某同学计算 的解题过程：
解：
上述解题过程是从第几步开始出现错误的？请写出正确的解
题过程.
【解】是从第②步开始出现错误的，正确的解题过程如下：
原式
.
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考点3 负整数指数幂及科学记数法
8. 下列四个数中，最小的数是( )
D
A. B.
C. D.
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9. 生物的遗传信息大多储存在 分子上，
分子是由重复的核苷酸单元组成的长聚合物，每个核苷
酸的单体长度约为，数“ ”用
科学记数法可表示为( )
A
A. B.
C. D.
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10.母题教材P162习题 计算：
.
【解】原式 .
返回
考点4 解分式方程
11. 若关于的分式方程的解为非负数,则 的取
值范围是( )
B
A. B. 且
C. D. 且
【点拨】去分母,得 ,移项、合并同类项,得
分式方程的解为非负数， 且
，解得且 .
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12.如图，点,在数轴上，它们所表示的数分别是, ，
且点,到原点的距离相等，求 的值.
【解】由题意，得 .
去分母，得，解得 .
检验:当时， ，
是原方程的根， 的值是2.2.
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13.已知关于的方程的解与方程 的解相
同，求 的值.
【解】解方程,得 ,
经检验， 是原方程的解.
两方程的解相同, 将代入方程 中,得
，解得 ，
经检验,是方程的解， .
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考点5 分式方程的应用
14.《花卉装点校园，青春献礼祖国》项目学习方案：
项目情境 国庆将至，向阳中学购买花卉装点校园，向祖国
母亲生日献礼.同学们需完成了解花卉知识
（包括花语等知识），购买花卉，插花，摆放盆
栽等任务
素材一
任务一
续表
素母题材 二
任务二
续表
（1）任务一中横线①处应填_____________，横线②处应填
____________________；
种花卉的单价为元
（2）完成任务二.
【解】由题意，得，解得 ，
经检验,是原方程的解. 的值为5.
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【思想方法整合】
思想1 数形结合思想
15. 如图，若为正整数，则表示 的值的点落在
( )
B
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
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思想2 整体思想
16.已知，则 的值为____.
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思想3 分类讨论思想
17. 定义一种运算：当时， ；
当时，.若，则 的值是( )
B
A. B. C. 或 D. 或
【点拨】当时，，解得 .检验：把
代入，得， 分式方程的解为 .但
，不符合题意，故舍去；当时， ，
解得.检验：把代入，得， 分式方程的
解为.综上所述，的值是 .
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