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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第十七章因式分解第十七章因式分解全章总复习（知识点+习题+答案）一、因式分解基础概念定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。核心区别：整式乘法：积→和差（展开）因式分解：和差→积（合并）分解原则：必须分解到不能再分解为止（分解彻底）。二、因式分解两大核心方法（本章必考）方法1：提取公因式法1.找公因式三步法①系数：取各项系数的最大公约数②字母：取各项公共字母③指数：取公共字母的最低次幂2.进阶：整体公因式多项式整体可作为公因式，如$$(x-y)、(a+b)$$3.符号变形口诀$$a-b=-(b-a)$$$$(a-b)^2=(b-a)^2$$（偶次幂不变号）$$(a-b)^3=-(b-a)^3$$（奇次幂变号）4.公式：$$ma+mb+mc=m(a+b+c)$$方法2：公式法（两个必考公式）（1）平方差公式$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$适用条件：两项、异号、都是平方数（2）完全平方公式$$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$$适用条件：三项式，首平方、尾平方，中间两倍首尾积三、因式分解万能解题顺序（必考流程）一提、二套、三检查1.一提：优先提取公因式（含负公因式、整体公因式）2.二套：剩余两项套平方差，剩余三项套完全平方3.三查：检查是否还能继续分解，必须分解彻底四、全章公式对比（杜绝混淆）1.平方差：两项、一正一负→分解成和×差2.完全平方：三项、首尾正→分解成完全平方3.易错警示：$$(a\pm b)^2\neq a^2\pm b^2$$五、全章高频易错点汇总1.提公因式漏项：全部提完剩余补1，不能空2.提负号不全变号：首项为负，括号内所有项变号3.分解不彻底：只提公因式不套公式，或只套公式不提公因式4.平方、完全平方公式乱用：看项数、看符号再判断5.整体公因式不会变形：不会利用奇偶次幂统一符号---六、第十七章全章综合练习题一、选择题（每题4分，共20分）1.下列属于因式分解的是（）A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+1=x(x+\dfrac{1}{x})$$2.多项式$$6x^2y-9xy^2$$的公因式是（）A. $$3xy$$ B. $$xy$$ C. $$3x^2y^2$$3.可以用平方差公式分解的是（）A. $$x^2+y^2$$ B. $$x^2-y^2$$ C. $$x^2-2xy+y^2$$4. $$x^2-8x+16$$分解结果正确的是（）A. $$(x-4)^2$$ B. $$(x+4)^2$$ C. $$(x-4)(x+4)$$5.分解$$2x^2-8$$最终结果是（）A. $$2(x^2-4)$$ B. $$2(x+2)(x-2)$$ C. $$2(x-2)^2$$二、填空题（每题4分，共20分）1. $$ma+mb+mc=$$________2. $$a^2-b^2=$$________3. $$a^2-2ab+b^2=$$________4. $$3x^2-6x=$$________5. $$4x^2-25=$$________三、解答题（共60分）1.提取公因式分解（16分）（1）$$5x^2-10xy$$（2）$$2(x-y)+4(y-x)$$2.平方差公式分解（16分）（1）$$81-x^2$$（2）$$3a^2-48$$3.完全平方公式分解（16分）（1）$$x^2+14x+49$$（2）$$4a^2-12ab+9b^2$$4.综合分解（先提公因式再套公式）（12分）$$-2x^2+8x-8$$---七、参考答案与解析一、选择题1.A 2.A 3.B 4.A 5.B二、填空题1. $$m(a+b+c)$$2. $$(a+b)(a-b)$$3. $$(a-b)^2$$4. $$3x(x-2)$$5. $$(2x+5)(2x-5)$$三、解答题1.解：（1）原式$$=5x(x-2y)$$（2）原式$$=2(x-y)-4(x-y)=-2(x-y)$$2.解：（1）原式$$=9^2-x^2=(9+x)(9-x)$$（2）原式$$=3(a^2-16)=3(a+4)(a-4)$$3.解：（1）原式$$=(x+7)^2$$（2）原式$$=(2a-3b)^2$$4.解：原式$$=-2(x^2-4x+4)=-2(x-2)^2$$本章知识结构图.
整式的乘法
因式分解
公式法
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2，
(a±b)2=a2±2ab+b2.
特殊形式
相反变形
提公因式法
相反变形
具体方法
因式分解
概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________.
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
乘积
分解因式
注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
pa+pb+pc p(a+b+c).
因式分解
整式乘法
公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式.
确定公因式的方法：
①定______，
②定______，
③定______.
系数
字母
指数
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
提公因式法步骤（分四步）：
第一步：确定公因式.
第二步：提取公因式，依据乘法分配律.
第三步：确定另一个因式 ，用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因式.
第四步：写成乘积的的形式，相同因式的乘积写成幂的形式.
用平方差公式分解因式
a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
①多项式是二项式；
②每一项都能写成平方的形式，且符号相反.
用完全平方公式分解因式
a2+2ab+b2=(a+b)2 ，a2-2ab+b2=(a-b)2.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
多项式是三项式;
其中首尾两项分别是两个数(或两个式子)的平方，且这两项符号相同;
中间一项是这两个数(或这两个式子)的积的2倍，符号正负都可以.
十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
【核心考点整合】
考点1 因式分解的定义
1. ［2025上海黄浦区期中］下列等式中，从左向右的变形为
因式分解的是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
2. 已知多项式因式分解的结果为 ，
则 的值为( )
A
A. B. C. 2 D. 4
返回
考点2 用提公因式法和公式法分解因式
3. 多项式；； ；
.在分解因式后，结果含有相同因式的是
( )
A
A. ①④ B. ①②
C. ③④ D. ②③
返回
4. 下列因式分解正确的是( )
A.
B.
C.
D.
C
返回
5.因式分解：
（1） _____________;
（2） _____________________;
（3） ___________.
返回
6. 教材P136复习题 因式分解：
（1） ；
【解】 .
（2） .
.
返回
考点3 因式分解的应用
7. ［2025淄博期中］已知， ，则整式
的值为( )
C
A. B. C. D. 3
【点拨】，， .
返回
8.若二次三项式是一个关于 的完全平方
式，则 _________.
或13
【点拨】是一个关于 的完全平方式，
，解得或 .
返回
9.实数满足 ，则
的值是____.
【点拨】， .
返回
10. 生活中我们经常用到密码，有一种用“因
式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式
因式分解，如多项式可以因式分解为 ，
当时，， ，此时可以得到的数字
密码为282930，292830等.根据上述方法，当，
时，对于多项式 分解因式后可以形成的数字密码是
______________________（写出一个即可）.
152010（答案不唯一）
【点拨】，当， 时，
,, 形成的密码可以是152010，151020，
201510等.
返回
11.简便计算： .
【解】 .
返回
12.已知， ,求
的值.
【解】 .
当，时，原式 .
返回
13.对于任意自然数, 是否能被24整除？
【解】 .
为自然数， 能被24整除.
返回
14.若一个三角形的三边长分别为,, ，且满足
，试判断该三角形的形状，
并说明理由.
【解】该三角形是等边三角形.理由如下：
,
.
.
,,,即 .
该三角形是等边三角形.
返回
【思想方法整合】
思想1 整体思想
15.已知，则 的值为___.
4
【点拨】， 原式 .
返回
思想2 分类讨论思想
16.若，则 _______________.
或
返回
思想3 数形结合思想
17.数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结
合，数形结合大致分为两种情形：借助图形的直观来阐明数
之间的关系，或借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形
助数”或“以数解形”.
（1）用1张边长为的正方形卡片，2张边长为， 的长方形
卡片，1张边长为 的正方形卡片，拼成一个正方形
（如图①），观察拼图的过程，写出相应的等式：________
___________________；
（2）用1张边长为的正方形卡片，3张边长为， 的长方形
卡片，2张边长为 的正方形卡片，拼成一个长方形
（如图②），观察拼图的过程，写出相应的等式：________
__________________________；
（3）用1张边长为的正方形卡片，6张边长为， 的长方形
卡片，9张边长为 的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成
一个大正方形，则这个大正方形的边长为_______；
【点拨】 用1张边长为的正方形卡片，6张边长为， 的
长方形卡片，9张边长为 的正方形卡片拼成一个大正方形，
大正方形卡片的面积为， 大
正方形的边长为 .
（4）用4张边长为， 的长方形卡片，拼成一个大正方形
（如图③）.若大正方形的面积是64，中间围成的小正方形的
面积是16，则边长为， 的长方形卡片的面积是____；
12
【点拨】由题图可知大正方形的
边长为 ，中间围成的小正方
形的边长为 大正方形的
面积为，中间围成的小正方形的面积为
大正方形的面积是64，
（负值已舍去） 中间围成的小正方形的面积是16，
（负值已舍去） 解
得 边长为， 的长方
形卡片的面积是 .
（5）将2张边长为的正方形卡片放到1张边长为 的正方形
卡片内，拼成如图④所示的形状，再将3张边长为
的正方形卡片放到1张边长为 的正方形卡片内，拼成如图⑤
所示的形状.若图⑤中阴影部分的面积比图④中阴影部分的面
积大，则与 的关系为________.
【点拨】由题意得，题图④阴影部
分为正方形，且边长为，
该阴影部分的面积为 .由题意得，将题图⑤中阴影
部分拼成一个长方形，则该长方形相邻两边长均为，
该长方形是正方形， 面积为 题图⑤中阴影部分
的面积比题图④中阴影部分的面积大 ，
， ，
.
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