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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第十四章全等三角形第十四章全等三角形全章复习讲义（完整知识点+习题）一、全章知识框架全等形→全等三角形定义与性质→三角形全等五大判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）→角平分线的性质与判定二、14.1全等三角形及其性质1.定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。平移、翻折、旋转前后的图形全等，形状、大小不变，仅位置改变。2.核心性质（必考）①全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等。拓展：周长相等、面积相等、对应高、对应中线、对应角平分线均相等。3.书写规范书写全等式子，对应顶点必须按顺序书写，例：△ABC≌△DEF（A对D、B对E、C对F）。4.找对应边角技巧公共边、公共角、对顶角为对应元素；最长对最长、最短对最短、最大角对最大角。三、14.2三角形全等的判定（五大方法汇总）1. SSS（边边边）三边对应相等的两个三角形全等。无需角度条件，体现三角形稳定性。适用：已知三条边相等、线段和差推边相等题型。2. SAS（边角边）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 易错：SSA（边边角）不能判定全等。3. ASA（角边角）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角—边—角）。4. AAS（角角边）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角—角—边）。5. HL（斜边、直角边）直角三角形专属仅用于Rt△：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 特殊：HL是特殊的SSA，可以判定直角三角形全等。6.绝对不能判定全等的两种情况①AAA（三角相等，只能相似，大小不一定相同）；②SSA（普通三角形无法判定）。四、14.3角的平分线的性质与判定1.角平分线的性质角平分线上的点，到角两边的垂直距离相等。用法：知平分线、有双垂直→直接得线段相等（无需证全等）。2.角平分线的判定角的内部，到角两边垂直距离相等的点，在这个角的平分线上。用法：知双垂直、距离相等→证角平分线。3.重要结论三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边距离相等。五、全章解题万能思路1.证线段相等、证角相等：优先证三角形全等；2.有角平分线+垂直：优先用角平分线性质，简化步骤；3.直角三角形优先尝试HL，也可用四种通用判定；4.缺条件时：找公共边、公共角、对顶角、平行线等角、线段和差。六、全章综合练习题（一）选择题1.下列说法正确的是（）A.面积相等的三角形全等B. SSA可判定全等C.全等三角形对应边相等D. AAA可判定全等2.直角三角形全等的专属判定是（）A. SSS B. SAS C. HL D. AAS3.角平分线上的点到角两边一定相等的是（）A.任意线段B.垂直距离C.斜线长D.周长（二）填空题4.全等三角形的________和________分别相等。5.判定全等三角形禁止使用________和________。6.三角形内心到三角形________距离相等。（三）证明题（综合必考题型）7.已知：AB=CD，AD=BC。求证：∠B=∠D。8.已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD。求证：BC=BD。9.已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。七、参考答案与解析（一）选择题1. C   2. C   3. B（二）填空题4.对应边、对应角5. SSA、AAA6.三边（三）证明题7.证明：在△ABC和△CDA中∵ AB=CD，BC=AD，AC=CA（公共边）∴△ABC≌△CDA（SSS），∴ ∠B=∠D（全等对应角相等）8.证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△ABD中，AB=AB（公共斜边），AC=AD（已知）∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），∴ BC=BD9.证明：∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC∴ DB=DC（角平分线上的点到角两边距离相等）八、全章高频易错汇总1.判定全等必须对应相等，不是任意边、角相等；2. SAS必须是夹角，AAS、ASA严格区分夹边与对边；3. HL只用于直角三角形，普通三角形绝对不能用；4.角平分线定理必须有垂直条件，无垂直只能证全等；5.全等书写顺序不能乱，否则对应边角全部出错。本章知识结构图
全等形
边角边，角边角，角角边，
边边边，斜边、直角边
全等三角形
对应边相等，对应角相等
角的平分线
应用
判定
性质
1. 全等形.
定义：能够_____________的两个图形.
2. 全等三角形
定义：能够_____________的两个三角形.
表示方法：符号_______.
性质：对应边_______，对应角________.
拓展：全等三角形的周长_____，面积_____，
对应角平分线、中线、高_____.
完全重合
完全重合
≌
相等
相等
相等
相等
相等
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的夹角分别相等
两角和它们的夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等
A
B
C
C'
A'
B'
尺规作图-已知三角形的三边作三角形：
a
b
c
A
B
C
尺规作图-作一个角等于已知角：
O
A
B
C
D
O'
A'
C'
D'
B'
尺规作图-过直线外一点作这条直线的平行线：
C
A
B
E
F
D
原理：___________________________________.
同位角相等，两直线平行
尺规作图-过直线外一点作这条直线的平行线：
原理：_________________________________.
内错角相等，两直线平行
C
A
B
E
F
D
尺规作图-(1)已知两边及其夹角作三角形：
a
b
α
A
D
E
B
C
尺规作图-(2)已知两角及其夹边作三角形：
a
α
β
A
B
C
尺规作图-角的平分线的作法
A
B
O
M
N
C
角的平分线的性质与判定
1.角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离_________.
2.角的平分线的判定
角的内部到角两边距离______的点在角的平分线上.
相等
1. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离 _______.
2. 角的平分线的判定
相等
C
A
B
O
D
E
P
【核心考点整合】
考点1 全等三角形的性质
（第1题）
1. ［2025无锡期中］如图，
，过点作 ，
垂足为，若 ，则
的度数是( )
A
A. B. C. D.
（第1题）
【点拨】 ，
，
， .
， ， .
返回
2.如图，点的坐标为，点的坐标为，若在 轴
右侧有一点使得与全等，则点 的坐标为
_____________.
或
（第2题）
【点拨】 点 的坐标为
，点的坐标为 ，
， .由题易知，
存在两种情况：如图①，若
，则， 点的坐标为 ；
如图②，若，则 ，
， 点的坐标为.综上所述，点 的坐标
是或 .
返回
考点2 全等三角形的判定
3. 如图，已知，小慧同学利用尺规作出 与
全等，根据作图痕迹请判断小慧同学的全等判定依据
是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4.如图， ， ，
，，垂足分别为， .求
证： .
【证明】， ，
.
.
， .
.
又， .
返回
考点3 全等三角形的判定与性质的综合应用
（第5题）
5. 如图，点，，， 在同一条直线上，
，， .若
， ，则 的度数
为( )
A
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】， .在
和 中，
，
，
.
返回
（第6题）
6. 如图，， ，
，图中全等的三角形的对数是
( )
C
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
（第6题）
【点拨】， ，
，
，
；
， ，
， ,
； ，
，
， .又
， ；
， ，
， ；
，， ，
； ，
（第6题）
， ，
， 图中共有6
对全等三角形.
（第6题）
返回
考点4 角平分线的性质
（第7题）
7. ［2025大连期中］如图，在中，以点
为圆心，适当长为半径作弧，交于点 ，交
于点；再分别以点，为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于点；连接 并延长
交于点.点是上的一点，过点分别作 ，
，分别交于点，，过点作于点 ，
于点，交于点，于点 .下列线
段的数量关系正确的是 ( )
A. B.
C. D.
D
（第7题）
（第7题）
【点拨】根据作图可知平分 ，
， ，
， ，
， ，
， ，
.同理， ，
，即，故选项D正确;当 为
中点时， ，故选项C错误;无法证明
， ，故选项A,B错误，故选D.
返回
8. 如图，在中，，，为中点，
为的角平分线，的面积记为， 的面积
记为，则 为( )
B
（第8题）
A. 13 B. C. D.
【点拨】如图,过点作于点 ，
于点，为 的角平分
线，， ，
，
是 中点，
，
， .
返回
考点5 角平分线的判定
9.如图，有一块三角形空地，若想在该空地中找到一个点，
使这个点到三边的距离相等，试找出该点.（保留画图痕迹，
不写作法）
【解】如图，点 即为所求点.
返回
10.［2025芜湖期中］在中， ，，
是的角平分线，它们相交于点 .
（1）如图①，连接，求证：点在 的平分线上；
①
【证明】如图①，过点作，， 的
垂线段，垂足分别为,, ，
，是 的角平分线，
， ，
， 点在 的角平分线上.
（2）如图②，延长交于点，过点作 于点
，于点.求证： .
②
如图②，过点作交 的延长线
于点 ，
是的角平分线， ，
.
，
.
是 的平分线，
，
，是 的平分线，
， .
②
返回
【思想方法整合】
思想1 建模思想
11. 如图，课外拓展活动上，老师带领社团
成员在不涉水的情况下测量校内一条小河的宽度（该段河流
两岸互相平行），具体操作过程如表：
序号 操作过程
① 在河流一岸点，选对岸正对的一棵树 为参照点，
使 河岸
② 沿河岸向左走有一棵树，继续向左走 到达
处
③ 从处沿与河岸垂直的方向行走，当到达 树正好被
树遮挡住的处时停止行走，，三点共线
④ 测得的长为
请根据上述过程，解答下列问题：
（1）河流的宽度为____ ；
7.5
（2）请你根据所学知识，解释该做
法的合理性.
【解】由操作过程知 ，
， ，
.
在和中，
，
.
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思想2 分类讨论思想
12.如图，中， ， ，
.点从点出发沿路径向终点
运动；点从点出发沿路径向终点运动.点和
分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的运动速度同时
开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时
刻，分别过和作于点，于点.问：点 运动
多少时间时，与 全等？
【解】设运动时间为.由题意易得当
与全等时，斜边 .
有三种情况：①点在上，点在 上，
此时，， ；
②点，都在上，易知此时点，重合， ,
, ;
③点在上，点在上. 点 运动到点
需要，点运动到点 需要
.
, 点在上时，点与点 重合.
故此时 ，
.
综上，点运动或或时，
与 全等.
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