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人教版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末小结第十五章轴对称第十五章轴对称全章完整复习讲义一、全章知识框架（总览）轴对称概念→轴对称性质→线段垂直平分线（性质+判定）→画轴对称图形→坐标平面轴对称→等腰三角形（性质+判定）→等边三角形→含30°直角三角形性质本章核心：对称思想、等线段转化、等角转化、三线合一、特殊三角形计算证明二、15.1轴对称与线段垂直平分线1.轴对称核心概念（1）轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能完全重合。（2）两个图形关于直线对称：两个图形沿一条直线折叠能够完全重合。区别：一个图形自身对称/两个图形位置对称共性性质：①对称图形一定全等，全等图形不一定对称；②对称轴是对应点连线的垂直平分线；③对应线段相等、对应角相等，对应线段交点在对称轴上。2.线段垂直平分线（本章超级重点）定义：垂直且平分一条线段的直线。（1）性质定理线上任意一点→到线段两端点距离相等几何语言：∵直线l垂直平分AB，P在l上∴PA=PB（2）判定定理到线段两端点距离相等的点→在这条线段的垂直平分线上几何语言：∵PA=PB ∴P在AB的垂直平分线上重要结论：两点确定一条中垂线，证中垂线必须找两个等距点。外心：三角形三边中垂线交点，到三顶点距离相等。3.尺规作图：作对称轴/中垂线步骤：找一对对应点→连线→分别以两端点为圆心、大于半线段长画弧→取两交点作直线。依据：①等距点在中垂线上；②两点确定一条直线。三、15.2画轴对称图形与坐标轴对称1.画轴对称图形通用步骤找点（图形顶点）→作对称点（作垂线、截等距）→顺次连线特殊：对称轴上的点，对称点是自身。2.坐标平面内对称规律（必背口诀）设点P(x，y)关于x轴对称：x不变，y变号→(x， y)关于y轴对称：y不变，x变号→( x，y)作图方法：求对称坐标→描点→顺次连线成型。四、15.3等腰三角形与特殊直角三角形（本章大题核心）1.等腰三角形性质①等边对等角：AB=AC ∠B=∠C②三线合一（必考）顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，知一得二。 仅限底边，腰上的三线不重合。轴对称：1条对称轴。2.等腰三角形判定等角对等边：∠B=∠C AB=AC常用模型：平行线+角平分线→等腰三角形（考试高频）3.等边三角形（特殊等腰）性质：三边相等，三角均为60°，3条对称轴，三边三线合一。判定三法：①三边相等；②三角相等；③有一个角60°的等腰三角形（最常用）。4.含30°角的直角三角形性质（计算神器）核心定理：Rt△中，30°角所对直角边=斜边的一半逆定理：Rt△中，直角边=斜边一半→对角=30°三边比例：1:√3:2（短直角边:长直角边:斜边） 必须在直角三角形中使用，普通三角形不成立。五、全章核心定理互逆对照表（易混必看）1.等腰：等边对等角（性质）/等角对等边（判定）2.中垂线：点在中垂线→等距（性质）/等距→点在中垂线（判定）3. 30°直角三角形：30°→边长减半（性质）/边长减半→30°（逆判定）六、全章高频易错汇总（扣分避雷）1.对称轴是直线，不是线段、射线；2.中垂线是到端点等距，角平分线是到边等距，绝对不能混；3.等腰三角形三线合一只针对底边；4. 60°三角形不一定等边，必须是等腰+60°；5. 30°边长性质仅限直角三角形，且是对边不是邻边；6.无图等腰题型必须分类讨论（顶角/底角、腰/底边）。七、全章综合必考题型1.尺规作图：作对称轴、作中垂线、作轴对称图形；2.坐标轴对称求值、描点作图；3.等腰三角形角度计算、三线合一证明；4.平行+角分线证等腰；5.等边三角形证明与性质应用；6. 30°直角三角形边长计算、折叠题型。八、全章满分答题规范1.用性质、判定必须写全前提条件（如Rt△、同一三角形、点在中垂线上）；2.作图题保留痕迹，对称轴画直线、两端出头；3.证明等腰优先用“等角对等边”，步骤最简；4. 30°直角三角形计算，大题必须文字说明定理依据。生活中的轴对称
作对称轴
轴对称
画轴对称的图形
关于坐标轴对称的点的坐标的关系
等腰三角形
等边三角形
本章知识结构图
1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的________. 折叠后重合的点是对应点，叫作________.
2. 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形______，那么就说这两个图形关于这条直线成__________，也称这两个图形关于这条直线对称.
互相重合
对称轴
对称点
重合
轴对称
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
轴对称图形 两个图形成轴对称
图示
区别 对象
意义
对称轴的数量
对称轴的位置
一个图形.
两个图形.
一个形状特殊的图形.
两个图形之间的
位置关系.
一条或多条.
只有一条.
一定经过这个图形上的一些点.
可能不经过这两个图形上的任一点.
轴对称图形 两个图形成轴对称
图示
联系 (1)都能沿某条直线折叠后互相重合；
(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形_______；
（2）无论是轴对称图形，还是成轴对称的两个图形，连接对称点的线段被对称轴_________.
全等
垂直平分
1. 定义：经过线段______并且______于这条线段的______，叫作这条线段的垂直平分线.
2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
3. 判定：与线段两个端点__________的点在这条线段的垂直平分线上.
中点
垂直
直线
相等
距离相等
线段的垂直平分线
互逆命题与互逆定理
1. 互逆命题：两个命题的题设、结论正好______.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的________.
2. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是________，那么它也是一个定理，这两个定理叫作_____________，其中一个定理叫作另一个定理的____________.
相反
逆命题
真命题
注意：原命题成立时，它的逆命题__________________________.
可能成立，也可能不成立
互逆定理
逆定理
线段的垂直平分线——尺规作图
A
B
作法：
(1) 分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点；
(2) 作直线 CD.
CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
C
D
中点
也可以用这种方法确定线段的中点
线段的垂直平分线——尺规作图
也可以用这种方法确定线段的中点.
作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：
找出图形中的任意一对________后连接，作出所连线段的____________，该直线即为轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴.
对称点
垂直平分线
A
B
C
经过已知直线外一点作这条直线的垂线：
作法：
(1)以点 C 为圆心，适当长为半径作弧，交直线 AB 于点 D 和点 E；
(2)分别以点 D 和点 E 为圆心，大于DE 的长为半径作弧，两弧相交于点 F；
(3)作直线 CF.直线 CF即为所求作的垂线.
E
D
F
画轴对称的图形：画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的_______，按顺序连接这些_______，就可以得到与原图形成轴对称的图形.
对称点
对称点
用坐标表示轴对称：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(___，___)；
x –y
–x y
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(___，___).
1. 性质：
等腰三角形的两个_____相等（简写成“__________”）.
等腰三角形底边上的______、 ____及______________重合（简写成 “__________”）.
2. 判定方法：
有____________的三角形是等腰三角形（定义法）.
有____________的三角形是等腰三角形（简写“____________”）.
等腰三角形的性质和判定方法
底角
等边对等角
中线
三线合一
高
顶角平分线
两个角相等
等角对等边
两边相等
等边三角形的性质和判定方法
1. 性质：
等边三角形的三个内角都_____，并且每一个角都等于______.
等边三角形每条边上的______、 ____及所对角的_________重合.
相等
60°
2. 判定方法：______________的三角形是等边三角形（定义法）.
______________的三角形是等边三角形.
有______________的等腰三角形是等边三角形.
三个角都相等
一个角是60°
三边都相等
中线
高
平分线
在直角三角形中，如果一个锐角等于______ ，那么它所对的直角边等于斜边的_______.
含30°角的直角三角形的性质：
30°
一半
【核心考点整合】
考点1 轴对称图形
1. 2024年10月30日凌晨4点27分，神舟
十九号发射圆满成功.“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、
“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦
想的乐章.下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形
的是( )
A. B.
C. D.
√
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2.如图，和都是 的轴对称图形，对称轴
分别是直线，，若，则____ .
45
【点拨】如图.
和都是 的轴对称图
形， ，
，
.在 中，
，
，
.
.由对称的
性质可得
，
.
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考点2 坐标系中的轴对称
3. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，点
与点关于轴对称.已知，则点 的坐标是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】 点与点关于轴对称，点的坐标为,
点的坐标为 点与点关于轴对称， 点 的
坐标为 .
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4. ［2025长沙开福区期中］圆周率 是精确计算圆周长、圆
面积、球体积的关键值.如图，在平面直角坐标系中，对 进
行循环往复的轴对称变换.若 第一笔画上有一点 ，其坐标
为，则经过第2 025次变换后所得的点 的坐标是
( )
C
A. B. C. D.
【点拨】 点第1次变换后在第四象限，点 第2次变换后在
第三象限，点第3次变换后在第二象限，点 第4次变换后在
第一象限，即点回到原始位置， 每4次变换为一个循环组，
依次循环.， 经过第2 025次变换
后所得的点 与第1次变换后的位置相同，在第四象限，坐标
为 ，
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考点3 线段垂直平分线
（第5题）
5. 母题教材P70习题 如图，在 中，
的垂直平分线与交于点，与 交于点
，，，则 的长度为( )
B
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
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（第6题）
6.如图，在中， ，尺规作图：
（1）分别以，为圆心， 长为半径作弧，
两弧交于点；（2）作射线，连接 ，
.则下列结论中正确的有________.（填序号）
①②③
；
是等边三角形；
垂直平分 ；
.
（第6题）
【点拨】根据题中的作图方法可得
， 点在 的垂直平分线
上， 是等边三角形，故结论②正确；
， 点在 的垂直平分线上.
垂直平分，故结论③正确；设 与
交于点，为的中点.是
的中线.又， ，故
结论①正确；由题意得,四边形 的面积
，故结论④错误.
（第6题）
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考点4 等腰三角形的性质与判定
7.如图，在中，.过点作交 的
平分线于点，连接 .
（1）求证： 为等腰三角形；
【证明】， .
平分， .
.
又， .
是等腰三角形.
（2）若 ，求 的度数.
【解】设 ，
由（1）可得 ，
.
， .
， .
， .
，
.
，解得 .
.
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考点5 等边三角形的性质与判定
8. ［2025荆州期中］如图，已知点 是线
段上的动点（不与,重合），在 的
同侧作等边三角形和等边三角形 ，
B
A. ①②③ B. ①②③④ C. ③④ D. ①②④
连接交于，连接交于，交于，连接 ,
，下列结论：； 是等边三角形；
平分；④当为的中点时， .其中正确
的是( )
【点拨】根据等边三角形的性质可证明
，再证明
，即可判断①；根
据等边三角形的判定可判断②；过作于 ，
于，则 ，证明
，可证 ，再根据角平分线的
判定，即可判断③，根据三线合一可判断④.
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9.已知， 为等边三角形.
（1）如图①，，是 边上两点，
， ，求 的
度数；
【解】为等边三角形, .
.
又, .
（2）点，是边上的两个动点（不与，重合），点
在点的左侧，且，点关于直线的对称点为 ，
连接， .
①依题意将图②补全；
【解】补全图形如图所示.
②求证： .
【证明】过点作于点 ，如图.
为等边三角形，
.
， .
，即 .
点，关于直线对称， ，
， .
.
又，为等边三角形. .
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考点6 含 角的直角三角形的性质
（第10题）
10. 如图是某商场
一楼与二楼之间的手扶电梯示意
图.其中， 分别表示一楼、
二楼地面的水平线，
，的长是 ，
则乘电梯从点到点 上升的高度
是_____.
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【思想方法整合】
思想1 分类讨论思想
（第11题）
11. ［2025厦门湖里区期中］如图，在
中，， ，
，点从点出发以 的速
度向点运动，点从点 同时出发以
的速度向点 运动，其中一个动点
到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 ，
当为直角三角形时， 的值为( )
A. 5 B. 3
C. 2.5或3 D. 3或
D
（第11题）
（第11题）
【点拨】根据题意，先表示出，
的长度，当 为直角三角形时，则
， 或
， ，再根据
角所对的直角边是斜边的一半，建
立关于 的方程求解即可.
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思想2 方程思想
（第12题）
12. 母题教材P84习题 如图，在
中，，垂直平分 ，分别交
，于点，，连接.若 ，
则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
（第12题）
【点拨】设垂直平分 ，
. .
，
.又， ， .
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思想3 转化思想
（第13题）
13.［2025东莞期中］如图，等腰三角形
的底边的长为4，面积是12，腰 的垂直平
分线分别交,于点,.若点为底边
的中点，点为线段上一动点，则
的周长的最小值为___.
8
【点拨】如图，连接,,交 于点
是等腰三角形，点为底边 的中
点， ，
腰的垂直平分线分别交, 于点 ，
， 当点与点 重
，
合时， 有最小值，最小值为6，
的周长的最小值为
.
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