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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.11.3.1两数和乘以这两数的差第11章　整式的乘除华东师大版八年级上册11.3.1两数和乘以这两数的差同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕11.3.1两数和乘以这两数的差核心知识点编写，是多项式相乘的特殊简便运算，重点考查平方差公式的理解、直接套用、变形运用、简便计算及整式化简。题型涵盖选择、填空、解答题，难度循序渐进，贴合八年级同步学习节奏，帮助学生精准识别平方差公式结构特征，熟练运用公式简化运算，规避公式套用错误、结构识别不清等高频问题。一、选择题（每题3分，共15分）1.平方差公式$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$的结构特点是（）A.两项和乘两项和B.两项差乘两项差C.相同项与相反项的乘积D.任意两个多项式相乘2.计算$$(x+3)(x-3)$$的结果是（）A. $$x^2-9$$ B. $$x^2+9$$ C. $$x^2-6x+9$$ D. $$x^2+6x+9$$3.下列算式能使用平方差公式计算的是（）A. $$(x+2)(x+2)$$ B. $$(x-2)(2-x)$$ C. $$(x+2)(x-3)$$ D. $$(2x+1)(2x-1)$$4.计算$$(2a-5)(2a+5)$$的结果是（）A. $$4a^2-25$$ B. $$4a^2+25$$ C. $$2a^2-25$$ D. $$4a^2-10$$5.化简$$(m+4)(m-4)-m^2$$的结果是（）A. 16 B. -16 C. 8m D. -8m二、填空题（每题3分，共15分）1.计算：$$(x+5)(x-5)=$$________。2. $$(3a-2b)(3a+2b)=$$________。3. $$(xy+1)(xy-1)=$$________。4.利用公式简便计算：$$99\times101=$$________。5.若$$(x+ay)(x-ay)=x^2-16y^2$$，则$$a=$$________。三、解答题（共20分）1.运用平方差公式计算下列各式（8分）（1）$$(x+6)(x-6)$$（2）$$(4m-3n)(4m+3n)$$（3）$$(-2x+3)(-2x-3)$$（4）$$(2x^2+5)(2x^2-5)$$2.利用平方差公式简便计算（6分）（1）$$98\times102$$（2）$$50.5\times49.5$$3.先化简，再求值：$$(x+2)(x-2)-(x-1)^2$$，其中$$x=3$$（6分）四、参考答案与解析一、选择题1. C解析：平方差公式适用条件：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数，最终结果为相同项平方减相反项平方。2. A解析：直接套用公式，原式=$$x^2-3^2=x^2-9$$。3. D解析：只有D选项存在相同项$$2x$$和相反项$$1、-1$$，符合平方差公式结构。4. A解析：原式=$$(2a)^2-5^2=4a^2-25$$，注意整体平方，系数需同步平方。5. B解析：原式=$$m^2-16-m^2=-16$$，展开后合并同类项即可化简。二、填空题1. $$x^2-25$$ 2. $$9a^2-4b^2$$ 3. $$x^2y^2-1$$ 4. 9999 5.±4三、解答题1.（1）原式=$$x^2-36$$；（2）原式=$$16m^2-9n^2$$；（3）原式=$$4x^2-9$$；（4）原式=$$4x^4-25$$。2.（1）原式=$$(100-2)(100+2)=100^2-2^2=10000-4=9996$$；（2）原式=$$(50+0.5)(50-0.5)=50^2-0.5^2=2500-0.25=2499.75$$。3.解：原式=$$x^2-4-(x^2-2x+1)=x^2-4-x^2+2x-1=2x-5$$，代入$$x=3$$，原式=$$6-5=1$$。核心易错总结：1.牢记公式结构：同平方减反平方，必须区分相同项和相反项；2.整体因式平方时，系数、括号内整体都要平方，切勿漏平方系数；3.负数开头的式子先找准相同项，再套用公式；4.区分平方差与完全平方公式，避免公式混淆，化简题型需先套公式再合并同类项。理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点）
理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.（难点）
多项式与多项式是如何相乘的？
(x ＋ 3)( x ＋ 5)
= x2＋5x＋3x＋15
= x2＋8x＋15.
( a + b )( m + n )
= am
+ an
+ bm
+ bn
狡猾地主的“公平”交易
张老汉租了一块边长为 a (a＞2)米的正方形菜地，种出的萝卜又大又甜. 地主眼红了，第二年笑眯眯地说：“老张啊，我把地的一边缩短 2 米，另一边加长 2 米，形状变成长方形，但租金不变！你看，总长度没变，你可没吃亏！”
张老汉挠挠头：“一边减 2，一边加 2，
好像挺公平？”于是答应了.
回家后邻居王大婶惊呼：“你亏大啦！”
张老汉急得直拍大腿：“为啥？
利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.
试一试
观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算:
a
a
b
b
b
(a+b)(a b)
a2
b2
=
-
=
-
几何角度证明.
(a+b)(a b) a b 结果
( x+y)(x+y) y x y2 x2
(x y)(y+x) x y x2 y2
( x y)( x+y) x y x2 y2
(x y)( x y) y x y2 x2
试一试，你能用平方差公式直接计算吗？
使用平方差公式(a+b)(a b)=a2 b2时，关键在于找准a与b，公式左边积的两个因式中相同的项看作a，互为相反数的项中带正号的项看作b.
例1 计算：
（1）(a+3)(a 3)；
（2）(2a+3b)·(2a 3b)；
（3）(1+2c)·(1 2c)；
（4）( 2x y)·(2x y).
=a2 32
=a2 9
=(2a)2 (3b)2
=4a2 9b2
=12 (2c)2
=1 4c2
=( y+2x)( y 2x)
=( y)2 (2x)2
=y2 4x2
你还有其他解法吗？
= (2x+y)(2x y)
= (4x2 y2)
= 4x2+y2
1.计算：
（1）(2x+ )(2x- )；
（2）(-x+2)(-x-2)；
= 4x2-
=(-x)2-22
=x2-4
（3）(-2x+y)(2x+y)；
（4）(y-x)(-x-y).
=(y)2-(2x)2
=y2-4x2
=(-x)2-(y)2
=x2-y2
找清哪个是相同的，即公式中的a；哪个是互为相反数，即公式中的b.
例2 计算：1998×2002.
解 1998×2002
写成两数和乘以这两数差的形式，可使计算简便.
=(2000 2)×(2000+2)
=20002 22
=4000000 4
=3999996.
2.计算：
（1）498×502；
（2）999×1001；
=(500-2)×(500+2)
=250000-4
=249996
=(1000-1)×(1000+1)
=1000000-1
=999999
例3 如图，街心花园有一块边长为a m的正方形草坪(a>2)，经统一规划后，南北向增加2m，东西向减少2m.改造后得到一块长方形草坪．求这块长方形草坪的面积.
a
2
a
2
解 (a+2)(a 2)=a2 4.
答：这块长方形草坪的面积为(a2 4)m2.
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1. 下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是(　　)
A．(2m－n)(n＋2m) B．(－m＋n)(m＋n)
C．(2n－m)(2m－n) D．(－m－n)(－m＋n)
C
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2．下列多项式中，与－x＋y相乘的结果为x2－y2的是(　　)
A．x＋y　　　　 B．x－y
C．－x＋y　　　　 D．－x－y
D
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3．若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
B
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4．三个连续偶数，若中间一个是n，则它们的积为__________．
n3－4n
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5. 已知x2－x－1＝0，则式子(x＋3)·(x－3)＋x(x－2)的值为________．
－7
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6．计算：
(1)(2x－3)(2x＋3)(4x2＋9)；

(2)(x＋y－3)(x－y＋3)．
【解】原式＝(4x2－9)(4x2＋9)＝16x4－81.
【解】原式＝[x＋(y－3)][x－(y－3)]＝x2－(y－3)2＝x2－(y2－3y－3y＋9)＝x2－y2＋6y－9.
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7．已知4x2－y2＝3，则(2x＋y)3(y－2x)3的值是(　　)
A．－27 B．－9 C．9 D．27
A
【点拨】(2x＋y)3(y－2x)3＝－(2x＋y)3(2x－y)3＝－[(2x＋y)(2x－y)]3＝－(4x2－y2)3＝－33＝－27.
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8．已知M＝2 0262，N＝2 025×2 027，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N B．MC．M＝N D．不能确定
A
【点拨】∵M＝2 0262，N＝2 025×2 027＝(2 026－1)(2 026＋1)＝2 0262－1，∴M－N＝2 0262－(2 0262－1)＝1＞0.∴M＞N.
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9．若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，则a2＋b2＝________．
6
【点拨】∵(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝35，∴[(a2＋b2)＋1][(a2＋b2)－1]＝35，∴(a2＋b2)2－1＝35，∴(a2＋b2)2＝36.∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝6.
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10. 霍州鼓楼位于山西省霍州市市中心，明万历十一年(1583年)建，又称文昌阁．建筑融合了木构阁楼与琉璃工艺，采用了我国古建筑中的一种凹凸结合的连接方式——榫卯(sǔn mǎo)结构，其精湛的工艺传扬至今．如图①是一个榫卯结构的零部件，图②是其截面图，截面的整体是一个长为(2a＋b)cm，宽为(2a－b)cm的长方形，中间凿掉一个边长为a cm的正方形，且该零部件的高为a cm.则这个零部件的体积为__________cm3.
(3a3－ab2)
课堂小结
整式的乘法
平方差公式
特殊情形
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式.

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