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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.11.5.2用公式法分解因式第11章　整式的乘除华东师大版八年级上册11.5.2用公式法分解因式同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕11.5.2用公式法分解因式核心知识点编写，承接提公因式法因式分解，是因式分解的核心重点方法。重点考查平方差公式、完全平方和与差公式的结构识别、直接套用分解、先提公因式再套公式的综合运算、化简求值。题型涵盖选择、填空、解答题，难度循序渐进，贴合八年级同步学习节奏，帮助学生精准区分两大公式结构，掌握因式分解“先提后套、分解彻底”的解题原则，攻克公式混淆、分解不彻底、符号出错等高频易错问题。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列多项式适合用平方差公式分解因式的是（）A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-4$$ C. $$x^2-4x$$ D. $$x^2+4x+4$$2.下列多项式属于完全平方式的是（）A. $$a^2-2a-1$$ B. $$a^2+4a+4$$ C. $$a^2+2a+2$$ D. $$a^2-4a-4$$3.分解因式$$4x^2-25y^2$$的结果是（）A. $$(4x-25y)(x-y)$$ B. $$(2x-5y)(2x+5y)$$ C. $$(2x-5y)^2$$ D. $$(2x+5y)^2$$4.分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（）A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$5.若$$x^2+kx+16$$是完全平方式，则$$k$$的值为（）A. 8 B. -8 C.±8 D.±4二、填空题（每题3分，共15分）1.分解因式：$$a^2-16=$$________。2.分解因式：$$x^2+10x+25=$$________。3.分解因式：$$9m^2-12mn+4n^2=$$________。4.分解因式：$$2a^2-8=$$________。5.分解因式：$$-x^2+4y^2=$$________。三、解答题（共20分）1.用公式法分解下列因式（8分）（1）$$36-x^2$$（2）$$4a^2+12a+9$$（3）$$x^2-8xy+16y^2$$（4）$$25(x+y)^2-16(x-y)^2$$2.综合因式分解（先提公因式再套公式）（6分）（1）$$ax^2-4a$$（2）$$-2x^2+12x-18$$3.先分解因式，再求值：$$x^2-4y^2$$，其中$$x=5，y=1.5$$（6分）四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：平方差公式结构为$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，要求两项、异号、均为平方形式，只有B符合条件。2. B解析：完全平方式为二次三项式，满足首平方、尾平方、首尾两倍在中央，$$a^2+4a+4=(a+2)^2$$，符合完全平方公式。3. B解析：原式符合平方差公式，原式$$=(2x)^2-(5y)^2=(2x+5y)(2x-5y)$$。4. A解析：原式符合完全平方差公式，原式$$=x^2-2\cdot x\cdot3+3^2=(x-3)^2$$。5. C解析：$$x^2+kx+16=x^2+kx+4^2$$，完全平方中间项系数$$k=\pm2\times1\times4=\pm8$$。二、填空题1. $$(a+4)(a-4)$$ 2. $$(x+5)^2$$ 3. $$(3m-2n)^2$$ 4. $$2(a+2)(a-2)$$ 5. $$(2y+x)(2y-x)$$三、解答题1.（1）原式=$$(6+x)(6-x)$$；（2）原式=$$(2a+3)^2$$；（3）原式=$$(x-4y)^2$$；（4）原式=$$[5(x+y)+4(x-y)][5(x+y)-4(x-y)]=(9x+y)(x+9y)$$。2.（1）原式=$$a(x^2-4)=a(x+2)(x-2)$$；（2）原式=$$-2(x^2-6x+9)=-2(x-3)^2$$，因式分解遵循先提公因式，再套公式的顺序。3.解：原式=$$(x+2y)(x-2y)$$，代入$$x=5，y=1.5$$，原式=$$(5+3)(5-3)=8\times2=16$$。核心易错总结：1.严格区分公式结构：两项异号平方用平方差，三项首尾平方、中间两倍乘积用完全平方；2.因式分解必须先提公因式，再套公式，杜绝直接套公式导致分解不彻底；3.整体平方形式需将多项式看作整体运算，切勿拆分出错；4.完全平方式有两种情况，注意正负双解；5.最终结果必须分解到不能再分解为止。认识平方差公式、完全平方公式的特点.（重点）
会运用这两种公式将多项式分解因式.（难点）
还记得前面学过的乘法公式吗？
平方差公式：
两数和（差）的平方公式：
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a ± b)2 = a2 ±2ab + b2
有一位张大爷租了一块“十字形”土地(如图).为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种.
a
b
b
a
b2
b2
b2
b2
由题意可得：
十字形土地面积＝a2－4b2，
长方形土地：长×宽＝a2－4b2
长方形土地的长和宽可以是多少？
探究新知
思考：多项式a2 b2有什么特点？
你能将它分解因式吗？
平方差公式：是a、b两数的平方差的形式.
整式乘法
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
因式分解：
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
（1）x2+y2
（2）x2 y2
（3） x2 y2
（4） x2+y2
（5）x2 25y2
（6）m2 1
×
√
×
√
√
√
符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式分解因式，即能写成：( ) ( ) 的形式.
两数是平方，
减号放中央.
(x2+y2)
y2 x2
x2 (5y)2
m2 12
写一写：（1）写出两数和（差）的平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a b)2=a2 2ab+b2
（2）根据上面的等式填空：
a2+2ab+b2=___________
a2 2ab+b2=___________
(a+b)2
(a b)2
左边的多项式有什么特点？
把式子a2+2ab+b2和a2 2ab+b2叫做完全平方式.
完全平方式的特点：
①必须是三项式（或可以看成三项的）；
②有两个同号的数或式的平方；
③中间有两底数之积的±2倍.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 4a+4
（2）x2+4x+4y2
（3）a2 ab+b2
（4）m2+n2 2mn
√
a2 2×2×a+22
×
4xy
×
2ab
√
m2 2·m·n+n2
完全平方式：a ±2ab+b
简记口诀：首平方，尾平方，积的两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
因式分解之基本方法——公式法
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(差)的平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
a2 b2= (a+b)(a b)
a2+2ab+b2= (a+b)2
a2 2ab+b2= (a b)2
例1 把下列多项式分解因式：
（1）x2 4y2；
（2）25x2 16y2；
（3）m2+6mn+9n2；
（4）x2+4xy+4y2.
=x2 (2y)2
=(5x)2 (4y)2
=m2+2·m·3n+(3n)2
=x2+2·x·2y+(2y)2
=(x+2y)(x 2y)
=(5x+4y)(5x 4y)
=(m+3n)2
=(x+2y)2
（1）4x3y 4x2y2+xy3；
例2 把下列多项式分解因式：
（2）3x3 12xy2.
=xy(4x2 4xy+y2)
=xy(2x y)2.
=3x[x2 (4y)2]
=3x(x+2y)(x 2y).
先提公因式，再运用公式。
1.判断下列因式分解是否正确，并说明理由.如果不正确，请写出正确答案.
（1）4a2-4a+1=4a(a-1)+1；
（2）x2-4y2=(x+4y)(x-4y).
×
4a2-4a+1=(2a)2-2·2a·1+12=(2a-1)2
×
x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
2.把下列多项式分解因式：
（1）a2+a；
（2）4ab-2a2b；
（3）9m2-n2；
=a(a+1)
=2ab(2-a)
=(3m)2-n2
=(3m+n)(3m-n)
（4）2am2-8a；
（5）2a2+4ab+2b2.
=2a(m2-4)
=2a(m+2)(m-2)
=2(a2+2ab+b2)
=2(a+b)2
1.把下列多项式分解因式：
（1）3x+3y；
（2）-24m2x-16n2x；
（3）x2-1；
（4）(xy)2-1；
=3(x+y)
=-8x(3m2+2n2)
=(x+1)(x-1)
=(xy+1)(xy-1)
A组
（5）a4x2-a4y2；
（6）3x2+6xy+3y2；
（7）(x-y)2+4xy；
（8）4a2-3b(4a-3b).
=a4(x2-y2)
=a4(x+y)(x-y)
=3(x2+2xy+y2)
=3(x+y)2
=x2-2xy+y2+4xy
=x2+2xy+y2
=(x+y)2
=4a2-12ab+9b2
=(2a-3b)2
2.把下列多项式分解因式：
（1）(x-3)2-1；
（2）(a+b)2-2(a+b)c+c2；
（3）(ab+a)-(b+1).
=[(x-3)+1][(x-3)-1]
=(x-2)(x-4)
=[(a+b)-c]2
=(a+b-c)2
=a(b+1)-(b+1)
=(b+1)(a-1)
3.先因式分解，再求值：
2x(a-2)-y(2-a)，其中a=0.5，x=1.5，y=-2.
解： 2x(a-2)-y(2-a)
=2x(a-2)+y(a-2)
=(2x+y)(a-2)
当a=0.5，x=1.5，y=-2时
原式=(2×1.5-2)×(0.5-2)=-1.5
4.用简便方法计算：
（1）99×101；
（1）210-29；
（3）992；
（4）332-66×49+492.
=(100-1)(100+1)
=1002-12
=9999
=29(2-1)
=29
=(100-1)2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801
=332-2×33×49+492
=(33-49)2
=(-16)2
=256
5.在一块边长a=6.6m的正方形空地的四角均留出一块边长b=1.7m的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪.问草坪的面积有多大？
解：由题意可知，草坪的面积是边长为am的正方形的面积减去四个边长为bm的小正方形的面积，即
a2-4b2 =(a+2b)(a-2b)
=(6.6+3.4)(6.6-3.4)=32(m2).
答：草坪的面积是32m2.
B组
6.已知二次三项式x2+ax+4含有一个因式x-2，求a的值.
解：设另一个因式为(x+b)，则原式可表示为：
(x+b)(x-2)
=x2-2x+bx-2b
=x2+(b-2)x-2b
与原式对比系数得 -2b=4，所以b=-2.
a=b-2，所以a=-4.
7.无论x为何实数，二次三项式x2+4x+5的值均不小于1.为什么？
解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+1)2+1.
因为对于任意实数x，(x+1)2≥0，
所以(x+1)2+1≥1，即二次三项式x2+4x+5的值均不小于1.
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1．课堂上老师在黑板上布置了如框图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，则错误的题目是(　　)
A．(1) B．(2) C．(3) D．(4)
B
用平方差公式分解下列各式：
(1)－a2＋b2；　　　(2)－a2－b2；
(3)36a2－b2c2; (4)16m2n2－25.
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2．若a，b，c是△ABC的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　)
A．正数 B．负数
C．零 D．不能确定
B
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3．如果x＋y，x－y，x2－y2，4，m＋n，mn分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将4m(x2－y2)＋4n(x2－y2)分解因式，结果呈现的可能是哪句话(　　)
A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣
C．鹿鸣数学 D．我爱数学
A
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4．下列可以用完全平方公式分解因式的是(　　)
A．4a2－4a－1 B．4a2＋2a＋1
C．1－4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1
C
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5．一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn，9n2，25m2，15mn(m>0，n>0)，则大正方形的边长为(　　)
A．5m＋9n B．5m－3n
C．25m＋9n D．5m＋3n
D
【点拨】因为大正方形的面积＝9n2＋15mn＋25m2＋15mn＝25m2＋30mn＋9n2＝(5m＋3n)2，
所以大正方形的边长为5m＋3n.故选D.
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6．将4x2＋1加上一项，使它能写成(a＋b)2的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是(　　)
A．4x B．－4x C．4x4 D．2x
D
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7．若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是________．
±12
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8．利用因式分解计算：
(1)992－1＝________．
(2)1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________．
9 800
16
9.下面是嘉淇同学把多项式－16my2＋4mx2分解因式的具体步骤：
　－16my2＋4mx2
＝4mx2－16my2(利用加法交换律变形)①
＝m(4x2－16y2)(提取公因式m)②
＝m[(2x)2－(4y)2](逆用积的乘方公式)③
＝m(2x＋4y)(2x－4y)(运用平方差公式因式分解)．④
(1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是_____________________________________；
第②步公因式没有提取完全
课堂小结
公式法
分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
三查
多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止
步骤
一提
二套
提公因式
公式

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