资源简介

(共33张PPT)
华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.1.2定理与证明第12章全等三角形第12章全等三角形12.1.2定理与证明同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕12.1.2定理与证明核心知识点编写，承接上一节命题知识，是几何逻辑推理的核心内容。重点考查基本概念辨析（公理、定理、证明）、公理与定理的区别、几何证明的步骤规范、依据判断、简单几何推理证明。题型涵盖选择、填空、解答题，难度循序渐进，贴合八年级同步学习节奏，帮助学生理清几何推理体系，掌握证明题书写规范，突破概念混淆、证明依据乱套、步骤缺失等高频易错问题。一、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于公理的说法正确的是（）A.经过推理证实的真命题B.不需要证明，公认的真命题C.错误的命题D.可以举反例推翻的命题2.下列属于定理的是（）A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.同角的余角相等D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3.几何证明的最终目的是（）A.猜测命题真假B.通过推理证实命题为真命题C.随便书写步骤D.举反例否定命题4.下列说法错误的是（）A.公理一定是真命题B.定理一定是真命题C.真命题一定是定理D.假命题不能作为定理5.证明几何命题时，每一步推理的依据不能是（）A.公理B.定理C.已知条件D.个人猜测二、填空题（每题3分，共15分）1.不需要证明的真命题叫做________；经过推理证明为真的命题叫做________。2.证明是从________出发，一步步推理，最终得出结论正确的过程。3. “两点之间，线段最短”是几何________（填“公理”或“定理”）。4.定理都是________命题，但真命题不一定是定理。5.推理过程中，每一步都要有________，不能凭空得出结论。三、解答题（共20分）1.区分下列语句是公理、定理还是一般真命题（8分）（1）对顶角相等（2）两点确定一条直线（3）同角的补角相等（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.补全证明过程，填写推理依据（6分）已知：$$\angle1+\angle2=180^\circ$$，$$\angle1+\angle3=180^\circ$$，求证：$$\angle2=\angle3$$。证明：∵ $$\angle1+\angle2=180^\circ$$（已知），∴ $$\angle2$$是$$\angle1$$的补角。∵ $$\angle1+\angle3=180^\circ$$（已知），∴ $$\angle3$$是$$\angle1$$的补角。∴ $$\angle2=\angle3$$（________）。3.简单证明：求证“等角的余角相等”（6分）四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：公理是人们在长期实践中总结出来、无需证明、公认正确的真命题。2. C解析：A、B、D均为基本公理，C是经过推理证明得到的定理。3. B解析：证明是严谨的推理过程，用于证实一个命题为真命题。4. C解析：真命题范围更大，只有经过证明、常用且重要的真命题才称为定理。5. D解析：几何推理依据只能是已知、定义、公理、定理，不能主观猜测。二、填空题1.公理；定理2.已知条件（题设）3.公理4.真5.依据三、解答题1.解：（1）定理；（2）公理；（3）定理；（4）公理。2.解：同角的补角相等（定理）。3.证明：已知$$\angle A=\angle B$$，$$\angle1$$是$$\angle A$$的余角，$$\angle2$$是$$\angle B$$的余角。∴ $$\angle1=90^\circ-\angle A$$，$$\angle2=90^\circ-\angle B$$。又∵ $$\angle A=\angle B$$，∴ $$\angle1=\angle2$$。即等角的余角相等。核心易错总结：1.公理无需证明，定理必须经过推理证明；2.定理一定是真命题，真命题不一定是定理；3.几何证明必须步步有据，依据仅限已知、定义、公理、定理；4.区分常见公理与定理，避免概念混淆；5.证明过程书写要规范，逻辑清晰，不能跳步。理解基本事实、定理等概念.（重点）
理解证明的概念，并会对真命题进行证明.（难点
在中国古代数学的发展历程中，刘徽有着举足轻重的地位. 在《九章算术》的注释中，他对正负数给出了清晰的定义和解释.
刘徽是这样定义正负数的：“今两算得失相反，要令正负以名之.” 意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们.他还规定了用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数（或者用正放的算筹表示正数，斜放的算筹表示负数）. 在方程术的应用中，正负数的定义更是发挥了关键作用.
刘徽与 “正负数” 定义
复习回顾
问题1：什么是命题？命题的结构是什么？
定义：判断一件事情的语句.
构成：每个命题都是由条件、结论两部分组成.
命题常写成“如果……那么……”的形式.
问题2：命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？
真命题和假命题
举反例
探究新知
我们已经学过线段、角、平行线等许多名词. 我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.
例如，我们用“在同一平面内不相交的两条直线”来说明 “平行线”所包含的意义.
这样的语句叫做这些名词的定义.
想想看，你还学过哪些定义？
回忆一下，我们学过哪些真命题？
（1）两点确定一条直线；
（2）两点之间线段最短；
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
这些都是公认的真命题，我们把它们视为基本事实.
基本事实：
公认的真命题视为基本事实.
它们是用来判断其他命题真假的原始依据，即出发点．
定理：
数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
基本事实、定理、真命题之间的联系与区别：
命题
真命题
定理
从基本事实或其他真命题出发
可以作为进一步判断其他命题真假的依据
基本事实与定理的联系与区别：
联系：都是真命题，都是我们解决问题的依据.
区别：基本事实是公认的真命题，不需要推理论证；定理是由基本事实直接或间接推理论证得到的.
（1）一位同学在钻研数学题时发现：
2 + 1 =3，
2×3 + 1 = 7，
2×3×5 + 1 = 31，
2×3×5×7 + 1 = 211.
于是，他根据上面的结果并利用质数表得出结论：从质数2开始，排在前面的任意多个质数的积加1一定也是质数. 他的结论正确吗？
不正确
计算一下2×3×5×7×11+1和2×3×5×7×11×13+1，你发现了什么？
（2）如图，一位同学在画图时发现: 三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.于是他得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗？
不正确
（3）我们曾经通过计算四边形、五边形、六边形、七边形等的内角和，得到一个结论: n 边形的内角和等于 (n 2)×180°. 这个结论正确吗？是否有一个多边形的内角和不满足这一结论？
实际上，这是一个正确的结论.
上面几个例子说明：通过特殊的事例得到的结论可能正确，也可能不正确. 因此，通过这种方式得到的结论，还需进一步加以证实.
根据条件、定义以及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明．
证明：
证明必须做到“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理，以及等式的性质、等量代换等．
证明的依据：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
已知: 如图，直线a∥b，∠1与∠2是同旁内角.
求证: ∠1 +∠2 =180°.
a
b
3
2
1
证明：我们将∠1的同位角记为∠3.
∵a∥b(已知)，
∴∠1=∠3(两直线平行，同位角相等).
又∵∠3+∠2=180°(邻补角的定义)，
∴∠1+∠2=180°(等量代换).
证明的一般步骤是：
①审清题意，找出命题中的条件和结论;
②根据题意画出图形，图形要正确且具有一般性，不能画特殊图形;
③用数学语言写出“已知”“求证”;
④找出证明思路;
⑤写出证明过程，每一步都要有理有据;
⑥检查表达过程是否正确、完整．
由一个定理直接推出的正确结论叫做这个定理的推论.
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
推论
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
推论和定理一样，可以作为进一步证明的依据.
A 组
1.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举一个反例加以说明：
（1）两个钝角的和大于平角；
（2）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
真命题.
假命题. 反例：如图，直线AC、AB被直线BC所截，∠1与∠2是同位角，但∠1≠∠2.
2.判断命题“当a是整数时，a2≥a一定成立”是真命题还是假命题，并说明理由.
解：真命题. 理由：对于整数a，
当a>0时，a2>a；当a=0时，a2=a；当a<0时，a2>a.
综上所述，当a是整数时，a2≥a一定成立.
3.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：
（1）全等三角形的对应角相等；
（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等.
如果等腰三角形有一个角等于60°，那么这个等腰三角形是等边三角形.
4.如图，已知AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为点E、F， 直线PQ分别交AB、CD于点S、T. 求证: ∠AST=∠STD.
对于上述问题，请将下列证明过程补充完整.
证明 ∵AB⊥MN(已知)，CD⊥MN(已知)，
∴AB∥CD(同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
______________________________________
______________________________________
______________________________________
∴ ∠AST=∠STD(两直线平行，内错角相等).
5.如图，已知直线a、b、m、n，∠1=∠3. 求证：∠2=∠4.请补充完整下列证明的理由.
证明：∵∠1=∠3( )，
∴a∥b( ).
∴∠2=∠4( ).
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
B 组
6.如图，已知∠BAD+∠DCE=180°，AD//BC. 求证：AB//CD.
A
D
B
C
E
证明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠BAD+∠ABC=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠BAD+∠DCE=180°(已知)，
∴∠ABC=∠DCE(同角的补角相等).
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行).
7.如图，已知∠B=∠C，AD//BC，点E在BA的延长线上. 求证：∠EAD=∠CAD.
证明：∵AD∥BC(已知)，∴∠EAD=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠CAD=∠C(两直线平行，内错角相等).
∵∠B=∠C(已知)，
∴∠EAD=∠CAD(等量代换).
B
C
D
E
A
8.如图，已知∠B=∠E，AB//DE. 求证：BC∥AE.
A
B
E
D
C
证明：∵AB∥DE(已知)，
∴∠A+∠E=180°(两直线平行，同旁内角互补).
∵∠B=∠E(已知)，
∴∠A+∠B=180°(等量代换).
∴BC∥AE(同旁内角互补，两直线平行).
返回
1．下列属于定义的是(　　)
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．等角的补角相等
D．线段是直线上的两点和它们之间的部分
D
返回
2．“两点之间线段最短”是(　　)
A．定义 B．假命题 C．基本事实 　D．定理
C
返回
3．有下列描述：①过点A作直线AF∥BC；②两直线平行，同位角相等；③垂直于同一直线的两条直线互相垂直．其中是定理的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
返回
4．试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为∠A＝∠C(已知)；
②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)；
③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)；
④所以∠B＝∠D(等量代换)；
⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换)．
正确的顺序是________________．
②③①⑤④
5. 完成下面的推理填空：
已知：如图，E，F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G.
求证：AB∥CD.
证明：∵AF⊥CE(已知)，
∴∠CGF＝90°(垂直的定义)．
∵∠1＝∠D(已知)，
∴________∥________(_____________________________)，
AF
DE
同位角相等，两直线平行
返回
∴∠4＝∠CGF(____________________________)，
∴∠4＝90°.
又∵∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴∠2＋∠3＝______°.
又∵∠2与∠C互余(已知)，
∴∠C＝∠3(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(____________________________)．
两直线平行，同位角相等
90
内错角相等，两直线平行
6. (1)如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据
图形的特征添加一个关于角的条件，使∠BEF＝∠CDG，
可以添加的条件是________________________________；
(2)如图，请你从①DG∥BC；②DG平分∠ADC；③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题．并证明．
条件：________________________，结论：___________.(填序号)
∠B＋∠BDG＝180°(答案不唯一)
(答案不唯一)①③
②
证明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD.
∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC.
返回
7. 【探究】在研究两条角平分线的位置关系时，我们会发现有些角平分线的位置关系比较特殊：邻补角的平分线____________，一对对顶角的平分线______________________________．如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线____________，一对内错角的平分线__________，一对同旁内角的平分线____________；
互相垂直
共线(或在一条直线上)
互相平行
互相平行
互相垂直
【论证】如图①，已知AB∥CD，GH分别与AB，CD交于点E，F，EM，FN分别平分∠GEB，∠EFD，则EM________FN，请证明这个结论的正确性；
∥
【应用】如图②，两条笔直的街道AB，CD相交于点O，街道OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，请应用“探究”中的结论说明街道EOF是笔直的．
∵OE，OF分别平分∠AOC，∠BOD，∠AOC与∠BOD是对顶角，∴根据“一对对顶角的平分线共线(或在一条直线上)”可得点E，O，F在同一条直线上，即街道EOF是笔直的．
返回

展开更多......

收起↑