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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.2.5斜边直角边第12章全等三角形第12章全等三角形12.2.5斜边直角边（HL）同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕12.2.5斜边直角边（HL）判定定理编写，是专门适用于直角三角形的特殊全等判定方法，承接SSS、SAS、ASA、AAS通用判定定理。重点考查HL定理的专属适用条件、斜边与直角边的对应识别、利用HL证明直角三角形全等、区分HL与普通三角形判定定理、结合公共边推导全等、规避“普通三角形用HL判定”等易错点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握直角三角形专属全等判定方法，完善全等判定知识体系，规范几何证明书写步骤。一、选择题（每题3分，共15分）1.斜边直角边定理（HL）适用的三角形是（）A.任意三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2. HL定理判定直角三角形全等的条件是（）A.两条直角边对应相等B.一斜边、一直角边对应相等C.两锐角对应相等D.斜边对应相等3.下列关于HL定理的说法正确的是（）A. HL可以判定任意三角形全等B. HL是直角三角形专属全等判定定理C.直角三角形只能用HL判定全等D.一锐角一边相等即可用HL判定4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，已知AB=DE，补充下列哪个条件可用HL判定全等（）A. ∠A=∠D B. AC=DF C. ∠B=∠E D. BC=EF5.不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一斜边和一直角边对应相等B.两条直角边对应相等C.三个角对应相等D.一锐角和一条直角边对应相等二、填空题（每题3分，共15分）1.斜边直角边定理简记为________，仅适用于________三角形。2. HL定理的判定条件：两个直角三角形的________和一条________对应相等，则两三角形全等。3.直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、________、AAS通用判定定理。4.在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，补充条件________，可利用HL证明全等。5.判定直角三角形全等时，优先观察是否满足HL条件，可________（填“简化”或“复杂”）证明步骤。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）HL定理只能用于直角三角形全等判定。（）（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（）（3）两个直角三角形仅有斜边相等，即可用HL判定全等。（）（4）锐角三角形和钝角三角形不能使用HL判定全等。（）2.补全证明过程（6分）已知：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，求证：Rt△ABC≌Rt△DCB。3.完整规范证明（6分）已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：HL（斜边直角边）是直角三角形专属的全等判定定理，不适用于其他三角形。2. B解析：HL定理核心条件：斜边与任意一条直角边对应相等，即可判定直角三角形全等。3. B解析：HL仅限直角三角形使用，直角三角形既可以用HL，也可以用普通三角形四种判定定理。4. B解析：AB、DE为斜边，补充一组直角边AC=DF，满足斜边+直角边，符合HL判定条件。5. C解析：三角对应相等只能证明三角形相似，无法确定边长大小，不能判定全等。二、填空题1. HL；直角2.斜边；直角边3. SSS；SAS；ASA4. $$AC=AD$$（或$$BC=BD$$）5.简化三、解答题1.解：（1）√（2）√（3）×（4）√2.证明：∵△ABC和△DCB均为直角三角形，∠A=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△DCB中，$$\begin{cases} BC=CB（公共斜边）\\ AB=DC（已知）\end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）。3.证明：∵ $$AC\perp BC，AD\perp BD$$，∴ $$\angle C=\angle D=90^\circ$$，即△ABC、△ABD为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△ABD中，$$\begin{cases} AB=AB（公共斜边）\\ AC=AD（已知）\end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。核心易错总结：1. HL专属直角三角形，绝对不能用于锐角、钝角三角形；2. HL条件缺一不可：必须同时满足斜边+一条直角边对应相等；3.直角三角形全等判定优先选HL，步骤更简洁，无需多用普通定理；4.区分HL与SAS：两边相等若为两直角边用SAS，若为斜边+直角边用HL；5.仅有角相等、仅有斜边相等，均无法判定直角三角形全等。已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“HL”定理，体会“HL”的合理性.（重点）
掌握“HL”定理，能正确应用“HL”定理证明两个三角形全等.（难点）
能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题．（难点）
1. 全等三角形的对应边 　 ，对应角 　 ．
相等
相等
2. 判定三角形全等的方法有：
SAS ，ASA ，
AAS ，SSS .
再忆直角三角形
Rt△ABC
直角边
斜边
A
B
C
直角边
2.说一说直角三角形的三条边的名称.
90°
直角边
直角边
斜边
探究新知
猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？
如图，已知线段a、b（b>a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b.
作法：（1）作线段BC，使BC=a；
（2）作∠CBM=90°；
C
B
M
（3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A；
A
（4）连结AC.
△ABC 即为所要求作的三角形.
A′
B′
C′
比一比：把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形进行比较，或剪下你作的直角三角形，放到其他同学作的直角三角形上，你有什么发现
A
B
C
叠合
Rt△ABC与Rt△A′B′C′重合，说明这两个直角三角形全等.
换两条线段，试试看，是否有同样的结论？
于是可得：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
A′
B′
C′
A
B
C
简写成“斜边直角边”或“HL”.
几何语言
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵AC=A′C′
BC=B′C′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
这是一个定理，以后会给出它的证明.
例8 如图，AC=BD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=AD.
证明：∵∠C = ∠D = 90°(已知)，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC与 Rt△BAD中，
∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴BC=AD(全等三角形的对应边相等).
即学即练
已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，且AC=BD.
求证：AB=CD.
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC(已知).
∴△ABC和△DCB都是直角三角形.
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∵AC=DB (已知)，BC=CB(公共边)，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL).
∴AB=CD(全等三角形的对应边相等).
A
B
C
D
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1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(　　)
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
C
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　)
A．28° B．59° C．60° D．62°
B
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返回
3. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝2 m，DE＝3 m，AD＝1 m，则BF的长为______m.
6
4. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连结对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF.求证： (1)∠DAC＝∠FAB；
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(2)DF＝CE＋EF.
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5．Rt△ABC和Rt△DEF如图所示，∠C＝∠F＝90°.
(1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”；
(2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”；
(3)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”；
(4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”．
AAS
ASA
HL
SAS
6．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD＋∠BDC＝________°.
90
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7．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点O，OB＝OC，连结OA，则图中全等的直角三角形共有(　　)
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
B
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8. 如图，C，D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为(　　)
A．10 B．13 C．15 D．17
B
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课堂小结
斜边直角边（HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写成“HL”）
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）.
内容
前提
在直角三角形中
用法

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