资源简介

(共34张PPT)
华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.2等腰三角形的判定第12章全等三角形第12章全等三角形12.3.2等腰三角形的判定同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕12.3.2等腰三角形的判定核心知识点编写，承接上一节等腰三角形的性质，形成“性质+判定”完整知识体系。重点考查等腰三角形的判定定理（等角对等边）、性质与判定的区分、利用角度关系判定等腰三角形、结合全等三角形证明边相等进而判定等腰三角形、复杂图形中识别等腰三角形等高频考点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生厘清性质与判定的逻辑关系，规范几何证明书写，突破定理混用、逻辑颠倒、图形识别不清等易错问题。一、选择题（每题3分，共15分）1.等腰三角形最核心的判定定理是（）A.等边对等角B.等角对等边C.三线合一D.轴对称图形2.在△ABC中，已知∠A=∠B，则下列结论正确的是（）A. AB=AC B. BC=AC C. AB=BC D. ∠C=90°3.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A. ∠A=∠B B. AB=BC C. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2 D. ∠A+∠B=90°4.关于等腰三角形性质与判定的说法正确的是（）A.等边对等角是判定，等角对等边是性质B.等边对等角、等角对等边均为判定C.等边对等角是性质，等角对等边是判定D.以上说法都不对5.在△ABC中，∠C=50°，∠A=80°，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.钝角三角形二、填空题（每题3分，共15分）1.在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这一判定定理简记为________。2.判定一个三角形是否为等腰三角形，有两种方法：一是证明________，二是证明________。3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=70°，则可判定________=________，△ABC为等腰三角形。4.性质与判定的逻辑区别：已知边等推角等是性质，已知角等推边等是________。5.三角形的三个内角为40°、70°、70°，该三角形是________三角形。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）等角对等边可以用来判定三角形为等腰三角形。（）（2）有两个角相等的三角形一定是等腰三角形。（）（3）等边对等角是等腰三角形的判定方法。（）（4）一个三角形中若三个角都不相等，则一定不是等腰三角形。（）2.基础计算题（6分）在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC的形状，并说明理由。3.简单证明题（6分）已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AD∥BC，求证：△ABC是等腰三角形。四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：等腰三角形判定核心定理为等角对等边，等边对等角是等腰三角形的性质。2. B解析：∠A、∠B为三角形内角，两角相等，对应对边BC、AC相等。3. D解析：∠A+∠B=90°，只能说明∠C=90°，为直角三角形，无法判定两角或两边相等。4. C解析：由边相等推角相等是性质，由角相等推边相等、判定三角形形状是判定定理。5. A解析：∠B=180°-50°-80°=50°，∠B=∠C，等角对等边，为等腰三角形。二、填空题1.等角对等边2.两条边相等；两个角相等3. BC；AC4.判定5.等腰三、解答题1.解：（1）√（2）√（3）×（4）√2.解：△ABC是等腰三角形。理由：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-65°=65°，∴ ∠B=∠C，根据等角对等边，可得AB=AC，∴△ABC为等腰三角形。3.证明：∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD=∠CAD。∵ AD∥BC，∴ ∠BAD=∠B，∠CAD=∠C。∴ ∠B=∠C，根据等角对等边，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形。核心易错总结：1.严格区分性质与判定：边等→角等（性质）、角等→边等（判定），禁止逻辑颠倒；2.判定等腰三角形两种核心思路：找等角、找等边；3.复杂图形中可结合平行线、角平分线、对顶角等条件推导等角；4.不可混淆“等边对等角”与“等角对等边”的使用场景；5.无两角或两边相等的三角形，一定不是等腰三角形。能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理.(重点)
能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题.(难点)
在△ABC 中，AB = AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边 BC 和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
探究新知
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画画看，你发现了什么？
做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？
A
B
C
AB=AC
你能验证你的结论吗？
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C. 求证：AB=AC.
A
B
C
思考︰（1）证明两条线段相等常用什么方法？
（2）有哪些构造全等三角形的方法？
D
1
2
证明：如图，作∠BAC的平分线AD.
在△BAD与△CAD中，
∵∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD，
∴△BAD≌△CAD(AAS).
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
由此可得等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简写成“等角对等边”.
等边对等角
等角对等边
A
B
C
几何语言
在△ABC中，
∵∠B=∠C(已知)，
∴AB=AC(等角对等边).
即△ABC为等腰三角形.
判断：如图，下列推理正确吗？
∵∠1=∠2，
∴BD=DC(等角对等边).
∵∠1=∠2，
∴DC=BC(等角对等边).
【注意】“等角对等边”的前提是在同一个三角形中.
例4 如图，在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=70°.
求证：AB=AC.
A
B
C
40°
70°
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，∠A=40°，∠B=70°，
∴∠C=180° ∠A ∠B
=180° 40° 70°=70°.
∴∠C=∠B.
∴AB=AC(等角对等边).
思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
A
B
C
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这两个定理吗？
例5 如图，AB∥CD，∠1=∠2. 求证：AB=AC.
A
B
C
D
2
1
分析：要证 AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠1.
∴AB=AC(等角对等边).
例6 如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′
=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
B′
C′
A′
B
A
B
C
C′(C )
A′(A )
证明：由于直角边AC=A′C′，我们通过平移和轴对称，改变Rt△ABC的位置，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A′C′的两侧，如图所示.
C′(C )
A′(A )
B′
B
∵∠A′C′B=∠A′C′B′=90°，
∴∠B′C′B=∠A′C′B′ +∠A′C′B=180°，即点B′、C′、B在同一条直线上.
在△A′B′B中，
∵A′B′=AB=A′B，
∴∠B=∠B′(等边对等角).
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵∠B=∠B′，∠ACB=∠A′C′B′，AC=A′C′，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(AAS).
这样我们就证明了前面给出的HL判定定理.
A 组
1.等腰三角形的周长为 16，其中一条边的长是 6，求另两条边的长.
解：①当腰长是6时，底边长为16 6 6=4.
∵4+6>6，∴符合三角形的三边关系.
②当底边长是6时，腰长为 ×(16 6)=5.
∵5+5>6，∴符合三角形的三边关系.
综上所述，三角形另两条边的长分别为6、4或5、5.
2.等腰三角形的底角比顶角大15°，求各个角的度数.
解：设顶角为x°，则底角为(15+x)°.
由三角形的内角和等于180°，得x+2(15+x)=180，
解得x=50，则15+x= 65.
所以三角形各个角的度数分别为50°，65°，65°.
3.有两个三角形，它们的三个角分别为：① 20°，40°，120°；② 20°，60°，100°. 怎样把它们分别分成两个等腰三角形 画出图形试试看.
解：如图①②所示，图①有两种分法.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是边BC上的点，且BD=CE. 求证：∠ADE=∠AED.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE(全等三角形的对应边相等).
∴∠ADE=∠AED(等边对等角).
5. 如图，AB、CD相交于点E，EA=EC，AC∥BD. 求证：EB=ED.
证明：∵AC∥BD，
∴∠D=∠C，∠B=∠A(两直线平行，内错角相等).
∵EA=EC，∴∠A=∠C(等边对等角).
∴∠B=∠D(等量代换).
∴EB=ED(等角对等边).
B 组
6.如图，在等腰三角形ABC中，两底角的平分线BE、CD相交于点O. 求证：OB=OC，OD=OE.
证明：∵BE平分∠ABC，∴∠DBO=∠EBC= ∠ABC.
同理，∠ECO=∠DCB= ∠ACB.
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴∠DBO=∠ECO，∠EBC=∠DCB.
∴OB=OC.在△DBO和△ECO中，
∵∠DBO=∠ECO，BO=CO，∠DOB=∠EOC，
∴△DBO≌△ECO(ASA). ∴OD=OE.
7.如图，已知点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，且BE=CF，∠BDE=30°．求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵D为BC的中点，∴DB=DC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°.
∴△DEB和△DFC都是直角三角形.
在Rt△DEB和 Rt△DFC中，∵DB=DC，BE=CF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
∴AB=AC(等角对等边). ∴△ABC是等腰三角形.
在Rt△DEB中，∠BDE= 30°，∠B=90° ∠ BDE=
90° 30°=60°. ∴△ABC是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).
8. 在如图所示的三角测平架中，AB=AC，在边BC的中点D处挂一个重锤，自然下垂.调整架身，使点A恰好在重锤线上.试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？
解：BC正好处于水平位置.理由如下:
由题意可知AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC.
而AD与地面垂直，∴BC与地面平行.
∴BC正好处于水平位置.
1. 下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．2∠A＝∠B＋∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．三角形的一个外角为60°
D．∠B＝40°，∠C＝70°
D
【点拨】A.∵2∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴3∠A＝180°，解得∠A＝60°，此时不能确定∠B和∠C的度数，故无法判定△ABC的形状；B.∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∴可设∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k.又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴k＋2k＋3k＝180°，解得k＝30°，∴∠A＝k＝30°，∠B＝2k＝60°，∠C＝3k＝90°，故不能判定△ABC为等腰三角形；C.∵三角形的一个外角为60°，∴三角形的一个内角为120°，不能判定△ABC为等腰三角形；D.∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝70°＝∠C，故能判定△ABC为等腰三角形．
返回
返回
2. 如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
D
3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F.若AB＝12，AC＝8，则△AEF的周长是(　　)
A．17 B．18 C．20 D．22
C
返回
【点拨】∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝EB.同理可得DF＝FC，∴△AEF的周长为AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋ED＋DF＝AE＋BE＋AF＋CF＝AB＋AC＝20.故选C.
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N，交AB于点O，若AO＝3，BO＝4，则MC的长度为________．
返回
10
【点拨】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵MN⊥BC，∴∠MNC＝∠MNB＝90°，∴∠B＋∠BON＝90°，∠C＋∠M＝90°，∴∠M＝∠BON.∵∠BON＝∠MOA，∴∠M＝∠MOA，∴AM＝AO＝3.∵BO＝4，∴AC＝AB＝AO＋BO＝7，∴MC＝AM＋AC＝10.
5．(1)如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由．
【解】△BDE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
∵BC∥ED，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠ABD，
∴EB＝ED，∴△BDE是等腰三角形．
(2)如图②，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F，交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有(　　)
A．3个 　B．4个 C．5个 D．6个
B
②已知AB＝3，BC＝5，求CF的长．
由题可知AB∥CD，AD∥BC.
又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBG＝∠AEB.
∴AB＝AE.
∵AF⊥BE，∴∠BAF＝∠EAF.
∵BC∥AD，∴∠EAG＝∠AGB，∴∠BAF＝∠AGB，
∴BG＝AB＝3.∵AB∥FD，∴∠BAF＝∠CFG.
又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF.
∵CG＝BC－BG＝5－3＝2，∴CF＝2.
返回
6．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是(　　)
A．等腰直角三角形 B．一般的等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰钝角三角形
C
返回
7．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1 cm，3 cm，则线段AB的长为________cm.
2
【点拨】∵直尺的两对边互相平行，∴∠ACB＝∠α＝60°.∵∠A＝60°.∴∠ABC＝180°－∠ACB－∠A＝180°－60°－60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝3－1＝2(cm)．
返回
8. 如图，P是等边三角形ABC的边BC上的一点，若∠APC＝106°，在以线段AP，BP，CP的长为边长的三角形中，最小内角的度数是(　　)
A．13°　 B．15° C．16° D．14°
D
返回
【点拨】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.如图所示，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，连结PQ，则∠PAQ＝60°，AP＝AQ，BP＝CQ，∠AQC＝∠APB，∴△PAQ为等边三角形，∴PQ＝AP，∠AQP＝60°，∴以线段AP，BP，CP的长为边长的三角形，即为△PCQ，最小的内角为∠PQC.∵∠APC＝106°，
∴∠APB＝180°－106°＝74°，
∴∠AQC＝∠APB＝74°，
∴∠PQC＝74°－60°＝14°.
课堂小结
等腰三角形
判定→等角对等边
应用→证明同一个三角形中两边相等
等边三角形→判定方法
证三个角都相等或有两个角等于60°
先证等腰三角形，再证有一个角等于60°

展开更多......

收起↑