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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.3.1等腰三角形的性质第12章全等三角形第12章全等三角形12.2.5斜边直角边（HL）同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕12.2.5斜边直角边（HL）判定定理编写，是专门适用于直角三角形的特殊全等判定方法，承接SSS、SAS、ASA、AAS通用判定定理。重点考查HL定理的专属适用条件、斜边与直角边的对应识别、利用HL证明直角三角形全等、区分HL与普通三角形判定定理、结合公共边推导全等、规避“普通三角形用HL判定”等易错点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握直角三角形专属全等判定方法，完善全等判定知识体系，规范几何证明书写步骤。一、选择题（每题3分，共15分）1.斜边直角边定理（HL）适用的三角形是（）A.任意三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2. HL定理判定直角三角形全等的条件是（）A.两条直角边对应相等B.一斜边、一直角边对应相等C.两锐角对应相等D.斜边对应相等3.下列关于HL定理的说法正确的是（）A. HL可以判定任意三角形全等B. HL是直角三角形专属全等判定定理C.直角三角形只能用HL判定全等D.一锐角一边相等即可用HL判定4.在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，已知AB=DE，补充下列哪个条件可用HL判定全等（）A. ∠A=∠D B. AC=DF C. ∠B=∠E D. BC=EF5.不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一斜边和一直角边对应相等B.两条直角边对应相等C.三个角对应相等D.一锐角和一条直角边对应相等二、填空题（每题3分，共15分）1.斜边直角边定理简记为________，仅适用于________三角形。2. HL定理的判定条件：两个直角三角形的________和一条________对应相等，则两三角形全等。3.直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、________、AAS通用判定定理。4.在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，补充条件________，可利用HL证明全等。5.判定直角三角形全等时，优先观察是否满足HL条件，可________（填“简化”或“复杂”）证明步骤。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）HL定理只能用于直角三角形全等判定。（）（2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（）（3）两个直角三角形仅有斜边相等，即可用HL判定全等。（）（4）锐角三角形和钝角三角形不能使用HL判定全等。（）2.补全证明过程（6分）已知：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，求证：Rt△ABC≌Rt△DCB。3.完整规范证明（6分）已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：HL（斜边直角边）是直角三角形专属的全等判定定理，不适用于其他三角形。2. B解析：HL定理核心条件：斜边与任意一条直角边对应相等，即可判定直角三角形全等。3. B解析：HL仅限直角三角形使用，直角三角形既可以用HL，也可以用普通三角形四种判定定理。4. B解析：AB、DE为斜边，补充一组直角边AC=DF，满足斜边+直角边，符合HL判定条件。5. C解析：三角对应相等只能证明三角形相似，无法确定边长大小，不能判定全等。二、填空题1. HL；直角2.斜边；直角边3. SSS；SAS；ASA4. $$AC=AD$$（或$$BC=BD$$）5.简化三、解答题1.解：（1）√（2）√（3）×（4）√2.证明：∵△ABC和△DCB均为直角三角形，∠A=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△DCB中，$$\begin{cases} BC=CB（公共斜边）\\ AB=DC（已知）\end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）。3.证明：∵ $$AC\perp BC，AD\perp BD$$，∴ $$\angle C=\angle D=90^\circ$$，即△ABC、△ABD为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△ABD中，$$\begin{cases} AB=AB（公共斜边）\\ AC=AD（已知）\end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。核心易错总结：1. HL专属直角三角形，绝对不能用于锐角、钝角三角形；2. HL条件缺一不可：必须同时满足斜边+一条直角边对应相等；3.直角三角形全等判定优先选HL，步骤更简洁，无需多用普通定理；4.区分HL与SAS：两边相等若为两直角边用SAS，若为斜边+直角边用HL；5.仅有角相等、仅有斜边相等，均无法判定直角三角形全等。理解并掌握等腰三角形的性质.(重点)
经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)
这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？
探究新知
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
B
C
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗
A
B
C
D
我们可以发现：
A
B
C
D
1.等腰三角形是轴对称图形.
折痕 AD 所在直线是等腰三角形的对称轴.
2.∠B=∠C.
你能试着写出证明过程吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
B
C
分析：由上述操作可以得到启发，即添加等腰三角形的顶角平分线 AD，然后证明△ABD≌△ACD.
证明：如图，作∠BAC的平分线AD.
D
A
1
2
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).
在证明过程中，为了需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常作成虚线.
由此得到以下等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
B
C
D
A
1
2
几何语言
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
例1 在△ABC中，已知AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的度数.
解：∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B= 80°（等边对等角）.
又∵∠A+∠B+∠C= 180°（三角形的内角和等于180°），
∴∠A= 180° ∠B ∠C
= 180° 80° 80°=20°.
由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？
B
C
D
A
重合的线段 重合的角
AB=AC ∠B=∠C
BD=CD ∠BAD=∠CAD
AD=AD ∠ADB=∠ADC
由此可得：
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
简写成“等腰三角形的三线合一”.
几何语言
B
C
D
A
1
2
（1）∵AB=AC，BD=CD(已知)，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC(三线合一).
（2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD (已知)，
∴BD=CD，AD⊥BC(三线合一).
（3）∵AB=AC，AD⊥BC(已知)，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD(三线合一).
【注意】（1）“三线合一”是等腰三角形所特有的性质；
（2）“三线合一”可以帮助我们解决线段的垂直、相等以及角的相等问题.（简记“知一推二”）
例2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°.
（1）求∠ADC的度数；（2）求∠1的度数.
解：（1）∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC(等腰三角形的三线合一).
∴∠ADC=∠ADB=90°.
（2）∵∠1+∠B+∠ADB=180°(三角形的内角和等于180°)，
∠B=30°，
∴∠1=180° ∠B ∠ADB
= 180° 30° 90°=60°.
如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？
A
O
B
P
Q
例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.
A
O
B
P
Q
证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB.
在△APQ和∠BPQ中，
∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ，
∴△APQ≌△BPQ(SSS).
∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等).
又∵AP=BP，
∴ AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一).
因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线.
如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP. 当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗？
点C在直线AB上
P
C
A
B
点C在直线AB外
C
A
B
M
N
P
点C在直线AB上
P
C
A
B
点C在直线AB外
C
A
B
M
N
P
类似
相当于作线段 MN 的垂直平分线
类似垂直平分线的证明
就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线
A
B
C
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
AB=AC=BC
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？
A
B
C
显然，AB=AC，根据“等边对等角”，可以得到∠B=∠C，
同理可得∠A=∠B，
所以∠A=∠B=∠C.
而∠A+∠B+∠C=180°.
所以∠A=∠B=∠C=60°.
由此可得等边三角形的性质：
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴？
3条对称轴
返回
1．在△ABC中，已知∠A＝70°，若△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是(　　)
A．70° B．55°
C．55°或70° D．40°或55°或70°
D
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2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　)
A．100° B．115° C．130° D．145°
B
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数为________．
45°
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4. 如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD.
(1)试说明∠ABC＝2∠C；
【解】∵AB＝AD＝CD，∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC.∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2∠C.
∴∠ABC＝2∠C.
(2)过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC.
【证明】∵AE＝AB，∴∠E＝∠ABE.
∵BE∥AD，∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE，
∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC.
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5. “一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(　　)
A．∠ADB＝∠ADC
B．AD⊥BD
C．BC＝2AD
D．△ABD与△ACD的周长相等
C
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6．如图，△ABC的周长为20，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为16，那么AD的长为________．
6
返回
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝118°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BC边的延长线上，则∠CAE的度数是(　　)
A．56° B．58° C．60° D．62°
A
【点拨】∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE.∵B，C，E三点在同一直线上，∠ACB＝118°，∴∠AEC＝∠ACE＝62°，∴∠CAE＝180°－∠AEC－∠ACE＝56°，故选A.
返回
C
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课堂小结
等腰三角形
底与腰不相等
定义
等边对等角→证明角相等
三线合一
底与腰相等→等边三角形
定义
等腰三角形的所有性质
特有性质：三边相等；三个角都等于60°

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