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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.12.4.2线段垂直平分线第12章全等三角形第12章全等三角形12.4.2线段垂直平分线同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕12.4.2线段垂直平分线核心知识点编写，结合全等三角形证明、互逆命题定理知识，是几何线段、角度计算与证明的重要工具。重点考查线段垂直平分线的定义、性质定理、判定定理、性质与判定的互逆关系、利用垂直平分线性质求线段长度、周长、证明线段相等，以及垂直平分线的实际应用。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握线段垂直平分线的双向逻辑，突破性质判定混用、隐藏条件遗漏、周长计算出错等高频易错点。一、选择题（每题3分，共15分）1.线段垂直平分线的定义是（）A.垂直于一条线段的直线B.平分一条线段的直线C.垂直并且平分一条线段的直线D.过线段中点的直线2.线段垂直平分线的性质定理是（）A.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C.垂直平分线上的点到线段中点距离相等D.垂直平分线平分线段的周长3.若点P在线段AB的垂直平分线上，则下列式子一定成立的是（）A. PA=PB B. PA⊥PB C. PA=AB D. PB=AB4.到线段AB两端点距离相等的点一定在（）A.线段AB上B.线段AB的垂直平分线上C.过点A的垂线上D.过点B的垂线上5.下列关于线段垂直平分线的说法错误的是（）A.线段垂直平分线是直线B.线段垂直平分线有且只有一条C.任意一点都能作线段的垂直平分线D.线段垂直平分线垂直且平分对应线段二、填空题（每题3分，共15分）1.线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点________。2.线段垂直平分线判定：到线段两端点距离相等的点________。3.线段的垂直平分线是这条线段的________对称轴。4.若直线l垂直平分AB，点P在直线l上，PA=5，则PB=________。5.线段垂直平分线的性质和判定互为________命题、互逆定理。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）垂直于线段的直线就是线段的垂直平分线。（）（2）点P在AB垂直平分线上，则PA=PB。（）（3）PA=PB，则直线AB垂直平分线段OP。（）（4）线段垂直平分线唯一且为直线。（）2.基础计算题（6分）已知：直线l垂直平分线段AB，点P在直线l上，若AB=8，PA=6，求PB的长度。3.简单证明题（6分）已知：PA=PB，求证：点P在AB的垂直平分线上。四、参考答案与解析一、选择题1. C解析：线段垂直平分线必须同时满足两个条件：垂直于线段、平分线段。2. A解析：性质定理：线上点→到两端距离相等；B选项为判定定理，需区分清楚。3. A解析：根据垂直平分线性质，线上任意一点到线段两端距离相等，故PA=PB。4. B解析：依据线段垂直平分线判定定理，等距点必在对应线段的垂直平分线上。5. C解析：只有过线段中点且垂直于线段的直线才是垂直平分线，并非任意点可作出。二、填空题1.到线段两个端点的距离相等2.在这条线段的垂直平分线上3.一条4. 55.互逆三、解答题1.解：（1）×（2）√（3）×（4）√2.解：∵直线l垂直平分AB，点P在直线l上，根据线段垂直平分线的性质可得：PB=PA=6。3.证明：过点P作PC⊥AB于点C，∴ ∠PCA=∠PCB=90°。在Rt△PAC和Rt△PBC中，$$\begin{cases} PA=PB（已知）\\ PC=PC（公共边）\end{cases}$$，∴ Rt△PAC≌Rt△PBC（HL），∴ AC=BC。又∵ PC⊥AB，∴直线PC垂直平分AB，即点P在AB的垂直平分线上。核心易错总结：1.垂直平分线必须同时满足垂直、平分两个条件，缺一不可；2.严格区分性质与判定：线上点→边相等（性质），边相等→点在线上（判定）；3.垂直平分线是直线，不是线段或射线；4.可利用垂直平分线性质快速转化线段长度，简化周长计算；5.线段垂直平分线的性质与判定是标准互逆定理，承接上一节互逆命题知识点。理解和掌握线段垂直平分线的定理及其逆定理，并能利用它们来进行证明或计算.(重点)
知道线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.
了解数学和生活的紧密联系.
高 速 公 路
A
B
在某高速公路 l 的同侧，有两个工厂 A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么
生活中的数学
l
探究新知
如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点.
A
B
M
N
C
P
思考：
1.连结PA、PB，将线段沿直线MN对折，你会发现什么？
2.换个点再试一试？
D
3.通过刚才的探究，你有什么猜想，如何验证？
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
A
B
M
N
C
P
思考：
如何说明PA=PB？
分析：要得到PA=PB.
△PAC≌△PBC
AC=BC，∠PCA=∠PCB，PC=PC
请写出完整的证明过程.
A
B
M
N
C
P
线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言
∵MN⊥AB，AC=BC，
∴PA=PB.
点在线段垂直平分线上
距离（线段）相等
利用“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可以解决线段相等的问题.
即学即练
如图，在△ABC中，DE是边 AC的垂直平分线，若△ABC的周长为23，△ABD的周长为15，则AE的长为______.
4
这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
条件 结论
性质定理
逆命题
一个点在线段的垂直平分线上
这个点到线段两端的距离相等
一个点到线段两端的距离相等
这个点在线段的垂直平分线上
想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？
逆命题：如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.
已知：如图，QA=QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
A
B
Q
分析：
思路1：作垂线，证中点.
思路2：作中线，证垂直.
A
B
Q
已知：如图，QA=QB.
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点Q作 MN⊥AB，垂足为点 C，
M
N
C
∵ QA=QB，QC⊥AB，
∴ AC=BC (等腰三角形的三线合一).
∴ 点Q在线段AB的垂直平分线上.
你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？
线段垂直平分线的判定定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
几何语言
∵QA=QB，
∴点Q在AB的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
A
B
Q
M
N
C
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？
A
B
C
O
m
n
l
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．
这一点到三角形三个顶点的距离相等．
怎样证明这个结论呢？
只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了.
A
B
C
O
m
n
l
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
OA＝OB
OB＝OC
OA＝OC
点O在AC的垂直平分线n上
试试看，现在你会证明了吗？
A
B
C
O
m
n
l
证明：连接 OA，OB，OC.
∵ 点O在AB，AC的垂直平分线上，
∴ OA=OB，OA=OC (线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等).
∴ OB = OC.
∴ 点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).
返回
1．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°.用直尺和圆规在边AB上确定一点D，连结CD，则∠ACD的大小为(　　)
A．60° B．75° C．65° D．70°
B
2．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC的周长为16，AC＝6，则DC的长为(　　)
A．5 B．8 C．9 D．10
A
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3. 如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB，AC，则∠DBC的度数为(　　)
A．15°
B．16°
C．18°
D．20°
A
返回
4．如图，在△ABC中，E是BC边上一点，连结AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连结DE.
(1)若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，则AB＝________；
(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
6
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因为∠ABC＝30°，∠C＝45°，
所以∠BAC＝180°－30°－45°＝105°.
由题意易得AB＝EB，AD＝ED.又因为BD＝BD，
所以△BAD≌△BED(SSS)．
所以∠BED＝∠BAC＝105°.
所以∠CDE＝∠BED－∠C＝105°－45°＝60°.
返回
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上的一点，O是AD上一点，且OB＝OC，若BC＝4，则BD的长是________．
2
返回
6. 风筝又称“纸鸢”，距今已有2 000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB＝AD，BC＝CD，AC＝90 cm，BD＝60 cm，则制作这个风筝需要的布料至少为________cm2.
2 700
7. 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，求证：OP垂直平分AB.
【证明】证法1(判定定理法)：
∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP.
∵PA⊥OM，PB⊥ON，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，
∴△AOP≌△BOP(AAS)，点P在AB的垂直平分线上．
∴OA＝OB.∴点O在AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分AB.
返回
如图，设OP与AB相交于点C，
∵∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，
∴△AOC≌△BOC(SAS)．
∴∠ACO＝∠BCO＝90°，AC＝BC.
∴OP⊥AB.∴OP垂直平分AB.
课堂小结
线段垂直平分的性质和判定
性质
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
内容
判定
内容
作用
线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
作用
见垂直平分线，得线段相等.
判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

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