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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.2直角三角形的判定第13章勾股定理第13章勾股定理13.1.2直角三角形的判定同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕13.1.2直角三角形的判定核心知识点编写，承接勾股定理正向应用，是勾股定理的逆向运用，形成“计算—判定”完整考点体系。重点考查勾股定理逆定理的理解与运用、勾股数判断、利用三边关系判定直角三角形、区分最大边与平方和关系、复杂边长化简判定、结合三角形周长面积判断三角形形状等高频考点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握正向定理与逆定理的区别，突破找错最大边、公式套用颠倒、无法快速识别勾股数等易错问题。一、选择题（每题3分，共15分）1.判定直角三角形的核心逆定理是（）A.两角互余的三角形是直角三角形B.两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形C.有一个角是直角的三角形是直角三角形D.三边比例相等的三角形是直角三角形2.已知三角形三边长为6，8，10，则该三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.判断三角形是否为直角三角形，首先需要确定的是（）A.最短边B.最长边C.周长大小D.面积大小4.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）A. 5，12，13 B. 7，24，25 C. 6，7，8 D. 9，12，155.若三角形三边长a、b、c满足$$a^2+b^2=c^2$$，则直角为（）A. ∠A B. ∠B C. ∠C D.无法确定二、填空题（每题3分，共15分）1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足________，那么这个三角形是直角三角形。2.利用逆定理判定直角三角形时，c必须为三角形的________边。3.满足勾股定理的三个正整数，称为________。4.三边长为9，40，41的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。5.勾股定理是已知直角三角形求边长，逆定理是已知边长________直角三角形。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）任意两边平方和等于第三边平方，即可判定直角三角形。（）（2）勾股数的正整数倍仍然是勾股数。（）（3）最长边的平方等于另外两边平方和，三角形为直角三角形。（）（4）三边为1，2，3的三角形是直角三角形。（）2.基础判定题（6分）已知三角形三边长为12，16，20，判断该三角形是否为直角三角形。3.综合证明题（6分）已知三角形ABC三边长满足$$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$$，求证：△ABC是直角三角形。四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：勾股逆定理核心：三边满足两边平方和等于最长边平方，可判定直角三角形。2. B解析：$$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，满足逆定理，为直角三角形。3. B解析：必须锁定最长边，验证最长边平方是否等于另外两边平方和。4. C解析：$$6^2+7^2=85\neq64=8^2$$，不满足直角三角形判定条件。5. C解析：斜边c对应的角为直角，即∠C为直角。二、填空题1. $$a^2+b^2=c^2$$2.最长3.勾股数4.是5.判定三、解答题1.解：（1）×（2）√（3）√（4）×2.解：∵最长边为20，$$12^2+16^2=144+256=400$$，$$20^2=400$$，∴ $$12^2+16^2=20^2$$，故此三角形为直角三角形。3.证明：∵平方数非负，$$(a-3)^2+(b-4)^2+(c-5)^2=0$$，∴ $$a-3=0，b-4=0，c-5=0$$，即$$a=3，b=4，c=5$$。∵ $$3^2+4^2=9+16=25=5^2$$，∴△ABC是直角三角形。核心易错总结：1.判定直角三角形必须找最长边，只能验证“短边 +短边 =长边 ”；2.区分正反定理：直角三角形→三边关系（勾股定理），三边关系→直角三角形（逆定理）；3.不可随意组合两边平方和判定，容易出现误判；4.勾股数必须是正整数，小数、分数不属于勾股数；5.多个平方和为0的题型，可利用非负性求边长，再判定三角形形状。了解直角三角形的判定条件；
能够运用勾股数解决简单实际问题；
经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想；
思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
探究新知
在古埃及，没有三角板、圆规、量角器等作图工具，人们是怎样得到一个直角的呢？
古埃及人曾经用下面的方法画直角：
将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
你知道这是什么道理吗？
请同学们观察，这个三角形三边长分别为多少？
3
4
5
这个三角形的三条边有什么关系吗？
32+42=52
试作出三边长分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：
(1) a=3，b=4，c=5；
(2) a=4，b=6，c=8；
(3) a=6，b=8，c=10.
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形.
a2+b2=c2
猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
验证猜想：
已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：∠C=90°.
C
A
B
∠C是直角
△ABC是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
证明△ABC≌△A′B′C′
C
A
B
证明：如图所示，作△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=a2+b2=c2，即A′B′=c.
C′
A′
B′
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC = a = B′C′，
AC = b = A′C′，
AB = c = A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴∠C=∠C′=90°.
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
C
A
B
a
c
b
几何语言
∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.
注：两条较小边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角.
既学既练
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？
(1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解：(1)最长边为25，
∵a2+c2=72+242=49+576=625，
b2=252=625，
∴a2+c2=b2.
∴以7，25，24为边长的三角形是直角三角形.
既学既练
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形？
(1) a=7，b=25，c=24； (2) a=13，b=11，c=9.
分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
解：(2)最长边为13，
∵b2+c2=112+92=121+81=202，
a2=132=169，
∴b2+c2≠a2.
∴以13，11，9为边长的三角形不是直角三角形.
例4 在△ABC中，AB=n2 1，BC=2n，AC=n2+1（n为大于1的正整数）.问：△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB2+BC2=(n2 1)2+(2n)2
=n4 2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
常见勾股数： ①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；④8，15，17；⑤7，24，25.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k（k为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
扩大2倍
6，8，10
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1.四根小棒的长分别是5，9，12，13，从中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，其中是直角三角形的是(　　)
A．5，9，12 B．5，9，13
C．5，12，13 D．9，12，13
C
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2. 下列由三条线段a，b，c构成的三角形(其内角分别为∠A，∠B，∠C)：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A?∠B?∠C＝3?4?5；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中能构成直角三角形的是(　　)
A．①④ B．①②④
C．②③④ D．①②③
B
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3. 如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　)
A．点A B．点B C．点C D．点D
D
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4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为______．
150°
【点拨】连结BD.∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝6，∠ADB＝60°.∵BC＝10，CD＝8，∴BD2＋CD2＝62＋82＝100＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°.
5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°.
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
5. 如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°.
(2)求图中阴影部分的面积．
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返回
C
m
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8. 已知p，q均为质数，但满足5p2＋3q＝59，则以p＋3，1－p＋q，2p＋q－4为边长的三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
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B
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135°或45°
10. 已知在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连结CD，AD，若CD＝2, AD＝6，则∠BCD＝__________．
【点拨】分两种情况讨论，如图①和图②.∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴AC2＝42＋42＝32.又由题知CD2＝4，AD2＝36，∴AD2＝AC2＋CD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°.故①∠BCD＝90°＋45°＝135°；②∠BCD＝90°－45°＝45°.综上，∠BCD＝135°或45°.
课堂小结
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数

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