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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.3反证法第13章勾股定理第13章勾股定理13.1.3反证法同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕13.1.3反证法核心知识点编写，是初中几何第二种核心证明方法（直接证明+间接证明）。重点考查反证法的原理、证明步骤、反设写法、常见矛盾类型、利用反证法证明几何命题、否定结论的规范表述等高频考点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级逻辑推理学习节奏，帮助学生掌握间接证明思维，突破反设写错、矛盾不会找、步骤混乱等易错问题。一、选择题（每题3分，共15分）1.反证法属于（）A.直接证明法B.间接证明法C.举例证明法D.公式证明法2.反证法的第一步是（）A.推出矛盾B.否定结论（反设）C.肯定结论D.写出已知3.用反证法证明“一个三角形中最多有一个直角”，应先假设（）A.三角形中没有直角B.三角形中至少有两个直角C.三角形中最多两个直角D.三角形中有一个直角4.反证法的核心逻辑是（）A.条件正确则结论正确B.否定结论，推出矛盾，证明原结论成立C.举例验证结论D.利用定理直接推导5.下列命题适合用反证法证明的是（）A.已知边长求周长B.证明“垂直于同一直线的两直线平行” C.求角度大小D.计算三角形面积二、填空题（每题3分，共15分）1.反证法三步流程：反设→________→________。2.反设是指：________原命题的结论，假设结论的反面成立。3.用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，应假设________。4.反证法推出的矛盾可以与已知条件、________、定理、公理相矛盾。5. “最多一个”的反面是“________”。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）反证法不需要假设，直接推导即可。（）（2）反设必须正确否定原结论，不能片面否定。（）（3）推出矛盾后，即可证明原结论成立。（）（4）所有几何命题都只能用反证法证明。（）2.基础题型：写出反设（6分）用反证法证明：“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，写出第一步反设。3.简单证明题（6分）用反证法证明：三角形中不可能有两个钝角。四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：反证法是典型的间接证明方法，不从正面推导，从反面假设推矛盾。2. B解析：反证法第一步一定是反设，否定原结论。3. B解析：“最多一个”的反面为“至少两个”。4. B解析：反证法原理：否定结论→推矛盾→原结论成立。5. B解析：唯一性、至多至少类命题适合反证法，计算类题目不适用。二、填空题1.归谬（推出矛盾）；存真（肯定原结论）2.否定3.三角形三个内角都大于60°4.定义5.至少两个三、解答题1.解：（1）×（2）√（3）√（4）×2.解：反设：在同一平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直。3.证明：反设：假设一个三角形中有两个钝角。设△ABC中，∠A＞90°，∠B＞90°，则∠A+∠B＞180°，根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，可得∠C＜0°，与角度定义矛盾。因此假设不成立，故三角形中不可能有两个钝角。核心易错总结：1.反设是关键：“至少一个”反面“一个没有”，“最多一个”反面“至少两个”；2.不能只否定部分结论，必须完整取反；3.矛盾来源：已知、定义、定理、公理；4.证明结尾必须写明“假设不成立，原结论成立”；5.唯一性、存在性、至多至少类命题优先使用反证法。了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题；
理解并体会反证法的思想内涵；
通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
探究新知
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b.
A
C
B
a
b
c
（1）当a2+b2=c2时，这是一个什么三角形？
直角三角形
（2）当a2+b2≠c2时，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？
作出以如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么
（1）a=1.0，b=2.4，c=2.6；（2）a=2，b=3，c=4；
（3）a=2，b=2.5，c=3.
（1）
（2）
（3）
12+2.42=2.62
22+32≠42
22+2.52≠32
猜想：当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）存在关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形.
怎样证明？
然而，想从已知条件a2+b2≠c2（a≤b≤c）出发，直接经过推理得出结论，十分困难.
我们可以按照刚才王戎的方法推理试试.
（1）假设它是直角三角形；
（2）根据勾股定理，一定有a2+b2=c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是直角三角形.
　 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
这种证明方法叫做
反证法
　 先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确．
反证法的一般步骤：
反设
1.假设命题结论的反面成立；
2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾；
归谬
3.假设不成立即原结论正确；
结论
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难，则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
对于一般的非直角三角形，情况又会如何呢？
在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
例5 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
例6 证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是∠A+∠B+∠C > 60°+60°+60°=180 °，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
准确地作出反设（即否定结论）是非常重要的，下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语 否定词 原词语 否定词
等于 不等于 任意的 某个
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n 1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个
对所有x 成立 存在某个x 不成立 对任何x不成立 存在某个x成立
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1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不是锐角”时，应先假设(　　)
A．没有一个角是钝角或直角
B．至多有一个钝角或直角
C．没有一个角是锐角
D．没有一个角是钝角
A
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2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC内一点，连结PA，PB，PC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC，用反证法证明时，第一步应假设(　　)
A．AB≠AC
B．PB＝PC
C．∠APB＝∠APC
D．∠PBC≠∠PCB
B
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3．命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与(　　)矛盾．
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C．过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D．垂直的定义
B
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4．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补．
【解】已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1＋∠2＝180°.
证明：假设∠1＋∠2≠180°.
∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3.
∵∠1＋∠2≠180°，
∴∠3＋∠2≠180°，这和平角为180°矛盾，
∴假设∠1＋∠2≠180°不成立，即∠1＋∠2＝180°.
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5．已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；
②因此假设不成立．∴∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°；
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是(　　)
A．④③①② B．③④②①
C．①②③④ D．③④①②
D
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6．用反证法证明命题：“若a，b是整数，且ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应假设______________________．
a，b都不能被5整除
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7. 阅读下列内容，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC.因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.
上面的证明过程有没有错误？若没有错误，指出证明的方法；若有错误，请改正．
【解】有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.
又因为∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°，
这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC.
8. 如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线．用反证法证明点M与点D不重合．
【证明】假设点M与点D重合．延长AM到N，使AM＝MN，连结BN.
∵AM是BC边上的中线，
∴CM＝BM.又∵∠AMC＝∠NMB，AM＝MN，
∴△AMC≌△NMB.∴∠MAC＝∠MNB，BN＝AC.
∵AM(AD)是∠BAC的平分线，∴∠BAM＝∠MAC，
∴∠MNB＝∠BAM，∴BN＝AB，∴AC＝AB，这与AB＞AC相矛盾．
∴点M与点D重合是错误的．∴点M与点D不重合．
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课堂小结
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确

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