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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.1.1.1勾股定理第13章勾股定理第13章勾股定理13.1.1勾股定理知识点总结整体框架：本章是初中几何核心计算章节，承接三角形、全等三角形知识，重点研究直角三角形三边固定数量关系，是几何计算、折叠、最短路径、实际测量题型的核心工具。13.1.1重点掌握勾股定理内容、公式变形、适用条件及基础计算。13.1.1勾股定理一、勾股定理内容文字表述：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边，则：$$a^2+b^2=c^2$$二、公式变形（必考）已知直角三角形任意两边，可求第三边，常用变形：1.求斜边：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$2.求直角边：$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$，$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$三、名词定义1.勾：直角三角形中较短的直角边；2.股：直角三角形中较长的直角边；3.弦：直角三角形的斜边。口诀：勾三、股四、弦五（最基础勾股数：3、4、5）。四、适用条件（超级易错）1.勾股定理只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形不适用；2.公式中c必须是斜边（最长边），a、b必须为直角边，不可随意代换；3.必须先确定直角位置，再代入公式计算。五、常见勾股数（熟记，快速解题）1.基础勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，172.勾股数性质：勾股数的正整数倍仍然是勾股数（如：3、4、5扩大2倍得6、8、10）六、勾股定理核心作用1.已知直角三角形两边，求第三边边长；2.求直角三角形周长、面积；3.用于几何折叠、最短路径、高度测量、距离计算等实际问题；4.为后续勾股定理逆定理、四边形、圆的计算奠定基础。七、高频易错点汇总1.乱用公式：非直角三角形不能用勾股定理；2.边对应错误：误将直角边当作斜边代入公式；3.计算错误：平方运算、开方运算粗心出错；4.忽略分类讨论：题目未明确哪条边为斜边时，需要分情况讨论。八、基础解题步骤规范1.先判定三角形为直角三角形，找准直角、直角边、斜边；2.列出勾股定理公式；3.代入已知数值；4.准确计算、开方，得出结果。掌握勾股定理及其简单应用，理解定理的一般探究方法；
通过利用方格纸计算面积的方法探索勾股定理
经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展数形结合的数学思想；
你知道2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM-2002)吗？在这次大会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大会的会标.
会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图.
探究新知
思考：如图所示是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，P、Q、R的面积有什么关系？
P
Q
R
A
C
B
SP+SQ=SR
直角三角形ABC三边有什么关系？
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.
那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢？
观察右图，如果每一小方格表示1cm2，那么可以得到：
P
Q
R
A
B
C
正方形P的面积=______cm2；
正方形Q的面积=______cm2；
正方形R的面积=______cm2.
9
16
25
P
Q
R
A
B
C
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是_____________
_______________.
SP+SQ=SR
由此，我们得出Rt△ABC的三边长度之间存在的关系是：
AC2+BC2=AB2
作出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
5cm
12cm
13cm
对于任意一个直角三角形，它的三边长之间是否都有这样的关系呢？
a
b
c
大正方形的面积=c2.
4个全等的直角三角形和1个小正方形的面积之和
= .
即a2+b2=c2.
由上面的探索可以发现：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
a2+b2=c2，
a
b
c
这种关系我们称为勾股定理.
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2(勾股定理).
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
我国古代，人们把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代伟大的数学成就.
勾
股
a
b
c
股
勾
弦
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例1 在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8.求AC的长.
解：根据勾股定理，可得AB2 + BC2=AC2.
所以AC= = =10.
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
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1．下列说法中正确的是(　　)
A．已知a，b，c是三角形的三边长，则a2＋b2＝c2
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2
D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2
C
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A
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3. 若在直角三角形中，有两边长分别是5和12，则第三边长为__________．
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4．如图，点E，F分别在AB，CD上，AF⊥CE，垂足为O，∠BFD＝∠C.若AF＝4，BF＝3，则点F到直线AB的距离为________．
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5．直角三角形两条直角边长之和为3.5，面积为1.5，则斜边长为________．
2.5
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6．若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，则下列选项中不能用来证明勾股定理的是(　　)
A
7．如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连结BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.
(1)证明：DF⊥AB.
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(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的验证．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，证明：a2＋b2＝c2.
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝7时，阴影部分的面积为(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
C
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9. 如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．
10
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10. 如图，将腰长为2的等腰直角三角形ABC放置于数轴上，直角边AB与数轴重合，直角顶点A与－1重合，D为AB的中点，以D为圆心，DC长为半径画弧，交数轴于点E(在D点右侧)，则点E表示的数为________．
课堂小结
勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
b
c
a2+b2=c2
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长，可以求出第三边的长.
数学思想：数形结合思想；特殊到一般的思想；转化思想.

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