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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2.1勾股定理的实际应用第13章勾股定理第13章勾股定理13.2.1勾股定理的实际应用同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕13.2.1勾股定理的实际应用核心考点编写，承接勾股定理基础计算与判定知识，侧重生活场景建模解题。重点考查路程距离、高度测量、折叠问题、最短路径、航行测距、梯子滑动、障碍物绕行等经典实际模型，核心训练“生活场景转化为直角三角形”的建模思维。题型搭配选择、填空、解答计算题，难度循序渐进，贴合八年级同步考点，帮助学生突破不会抽象图形、边长关系混淆、实际场景找不准直角等高频易错点，规范应用题解题步骤。一、选择题（每题3分，共15分）1.解决勾股定理实际应用题的核心步骤是（）A.直接代入公式计算B.将实际场景抽象构造直角三角形C.估算边长大小D.利用三角形面积公式求解2.一架长13m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙5m，则梯子顶端距地面高度为（）A. 8m B. 10m C. 12m D. 14m3.池塘两岸A、B两点无法直接测量距离，在岸边取一点C，使∠C=90°，测得AC=6m，BC=8m，则AB长为（）A. 10m B. 12m C. 14m D. 16m4.一棵树高18m，折断后树顶落地距离树根6m，折断部分树干长度为（）A. 8m B. 10m C. 12m D. 15m5.下列实际问题不能用勾股定理求解的是（）A.求梯子靠墙高度B.求水平航行直线距离C.求任意三角形内角和D.求折叠后线段长度二、填空题（每题3分，共15分）1.勾股定理实际应用的核心思想：把________问题转化为直角三角形计算问题。2.梯子靠墙模型中，梯子长度为直角三角形的________，墙面和地面边长为直角边。3.竖直物体折断问题中，剩余竖杆、地面水平距离、折断部分分别构成直角三角形的两条直角边和________。4.甲向东走12m，乙向北走5m，两人直线距离为________m。5.最短路径问题中，常通过展开图形，利用________求两点之间最短距离。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）勾股定理实际应用必须构造直角三角形才能求解。（）（2）梯子滑动过程中，梯子的长度始终保持不变。（）（3）东西、南北行走的两人距离可直接用勾股定理计算。（）（4）实际计算中，边长结果可保留负数。（）2.基础应用题（6分）台风过后，一棵垂直高度为20m的大树折断，树顶落在离树根12m处，求大树折断部分的长度。3.生活实操题（6分）一架长15m的梯子斜靠在竖直墙面，梯子底端离墙9m，若梯子底端向外滑动3m，求梯子顶端下滑的高度。四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：所有勾股定理实际应用题，核心都是建模，将生活场景转化为标准直角三角形求解。2. C解析：由勾股定理得高度$$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$m。3. A解析：$$AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$$m，利用直角三角形测距。4. B解析：设折断部分长x，列方程求解可得折断长度为10m。5. C解析：三角形内角和为固定180°，无需勾股定理求解，其余场景均可建模计算。二、填空题1.生活实际2.斜边3.斜边4. 135.勾股定理三、解答题1.解：（1）√（2）√（3）√（4）×2.解：设折断部分长度为$$x$$ m，则剩余竖杆高$$(20-x)$$ m。根据勾股定理列方程：$$(20-x)^2+12^2=x^2$$展开化简：$$400-40x+x^2+144=x^2$$，解得$$x=13.6$$答：大树折断部分的长度为13.6m。3.解：初始状态：顶端高度$$h_1=\sqrt{15^2-9^2}=12$$m，滑动后底端距离：$$9+3=12$$m，滑动后顶端高度：$$h_2=\sqrt{15^2-12^2}=9$$m，下滑高度：$$12-9=3$$m。答：梯子顶端下滑的高度为3m。核心易错总结：1.实际问题优先找垂直关系，构造直角三角形，无直角不套用公式；2.梯子、折断树木模型中，固定总长为斜边，始终不变；3.行走测距问题中，东西、南北方向互相垂直，可直接建模；4.所有边长为实际长度，计算结果必须为正数，舍去负根；5.滑动类题型需前后两次计算，作差求变化量，不可直接估算。能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件；
温故知新
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
符号语言
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
A
b
a
C
B
c
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
探究新知
例1 如图所示，一个圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求这只蚂蚁爬行的最短路程. （精确到0.01cm）
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
A
B
C
D
解：如图所示，在Rt△ABC中，BC=圆柱体底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得
答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为10. 77 cm.
A
B
C
D
即学即练
如图①，已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它爬行的最短路程.（结果保留根号）
因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
解：长方体的展开图如图.
如图②，展开前面、右面，由勾股定理得AB=
=
如图③，展开前面、上面，由勾股定理得AB=
=
如图④，展开左面、上面，由勾股定理得AB=
=
∵ ，∴爬行最短路程为 cm.
葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上.如左图所示.
葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的.若将树干的侧面展开成一个平面，如右图所示，可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的.
聪明的葛藤
例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m，宽1.6m，要开进厂门形状如图所示的某工厂.问：这辆卡车能否通过该工厂的厂门 （厂门上部分为半圆形拱门）
分析：由于车宽1.6m，所以这辆卡车能否通过该工厂的厂门，只要比较距厂门中线0.8m处的高度与车高即可.如图所示，点D在离厂门中线0.8m处，且CD⊥AB，与地面相交于点H.
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
可见高度上有0.4m的余量，因此这辆卡车能通过该工厂的厂门.
即学即练
有一根高为16m的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8m远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，∠ABC =90°，BC=8m，AB＋AC=16m．若设AB=x m，则AC=(16-x)m，然后根据勾股定理列出方程求解．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.
设AB=x m，则AC=(16-x)m.
根据勾股定理，得x2+82=(16-x)2，
解得x=6，即AB=6m.
答：电线杆断裂处A到地面的距离为6m.
如图所示，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.
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1．如图，一个三棱柱盒子底面的三边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，盒子的高为9 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒子的侧面爬行一周到盒顶的点B处，蚂蚁要爬行的最短路程是________cm.
15
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2. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了________米．
9
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3．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，则乙船的速度是______海里/时．
40
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4. 如图，在笔直的铁路上有两点A，B，相距20 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA＝8 km，CB＝14 km，现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则AE＝________km.
13.3
5. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料加工机器零件．如图，△ABC是一块直角三角形钢板边角料，∠C＝90°，AB边长为10分米，BC边长为6分米．
(1)求该钢板的面积为多少平方分米．
(2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD.
①请用尺规作图法确定点D的位置(不写作法，不用证明，保留作图痕迹)；
【解】①如图，点D即为所求．
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(2)现要利用这块边角料截取一个以AB为底边，且面积最大的等腰三角形ABD.
②求出AD的长．
【解】如图，由作图可知DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB.
在Rt△CDB中，根据勾股定理，得CD2＋BC2＝BD2，∴(8－AD)2＋62＝AD2，解得AD＝6.25分米．
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6. 我国古代有这样一道数学题：枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？大意：如图，把枯木看作一个圆柱，圆柱的高为20尺(一丈是十尺)，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是________尺．
25
【点拨】如图，将圆柱的侧面展开，则AF＝3尺，DF＝20÷5＝4(尺)，
∴AD2＝AF2＋DF2＝32＋42＝52，
∴AD＝5尺，∴葛藤的最短长度是5×5＝25(尺)．
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7. 如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm.在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为________cm.
100
8. 跷跷板是一种常见的儿童玩具．跷跷板一端着地时如图①，支柱OM⊥地面MN，OA＝OB，PC为握把，且PC⊥AB于点C，AC＝40 cm，OM＝70 cm.跷跷板可以绕点O转动，如图②是跷跷板水平时，即EF∥MN，此时点A，C，D，B的对应点分别为点E，G，H，F，恰有AE＝AG，则跷跷板AB的长为________cm.
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课堂小结
1.要记住勾股定理及逆定理的内容.
2.把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”性质来解决最短路程问题.

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