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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.13.2.2勾股定理及其逆定理的综合应用第13章勾股定理第13章勾股定理13.2.2勾股定理及其逆定理的综合应用同步练习题（含答案解析）本次练习题围绕13.2.2勾股定理及其逆定理综合应用编写，整合勾股定理正向计算与逆定理形状判定两大核心考点。重点考查“先判定直角、再计算边长”“先求边长、再判定三角形形状”的综合题型，涵盖不规则图形求边长、网格三角形判定、多直角模型、分段几何图形计算、实际场景形状判定与长度求解结合问题。题型搭配选择、填空、解答证明计算题，难度循序渐进，贴合八年级综合解题节奏，帮助学生厘清正、逆定理使用场景，突破定理混用、图形拆分困难、综合题思路混乱等高频易错点。一、选择题（每题3分，共15分）1.勾股定理与逆定理的核心区别是（）A.公式不同B.正向求边长、逆向判形状C.适用三角形不同D.计算方法不同2.三角形三边长为9，12，15，则下列说法正确的是（）A.锐角三角形B.直角三角形，最大角为90°C.钝角三角形D.无法判定3.已知△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，则△ABC的面积为（）A. 30 B. 60 C. 78 D. 904.若三角形三边满足$$a^2+b^2\neq c^2$$（c为最长边），则该三角形是（）A.一定是直角三角形B.一定不是直角三角形C.一定是锐角三角形D.一定是钝角三角形5.综合运用勾股定理与逆定理解题的关键是（）A.直接代入公式计算B.先判断直角，再按需计算边长C.只判断形状不计算D.只计算边长不判断二、填空题（每题3分，共15分）1.勾股定理：已知________三角形，求边长；逆定理：已知边长，________直角三角形。2.三边长为5，12，13的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。3.在不规则几何图形中，常通过作高拆分图形，先利用逆定理判定________，再用勾股定理求边长。4.若一个三角形最长边的平方大于另外两边平方和，则该三角形为________三角形。5.若一个三角形最长边的平方小于另外两边平方和，则该三角形为________三角形。三、解答题（共20分）1.判断正误（对的打√，错的打×）（8分）（1）勾股定理逆定理可以判定任意三角形的形状。（）（2）只要三边满足平方关系，无需看最长边，可直接判定直角三角形。（）（3）判定直角三角形后，可利用勾股定理快速求边长、面积。（）（4）非直角三角形也能用勾股定理直接计算边长。（）2.基础综合题（6分）已知三角形三边长为10，24，26，判断三角形形状，并求出该三角形的面积。3.图形综合题（6分）如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，BC边上的高为AD，求证：△ABD和△ACD均为直角三角形，并求AD的长。四、参考答案与解析一、选择题1. B解析：勾股定理正向用于直角三角形边长计算，逆定理用于通过三边关系判定直角三角形形状。2. B解析：$$9^2+12^2=81+144=225=15^2$$，满足逆定理，为直角三角形。3. A解析：三边满足勾股数，为直角三角形，直角边为5和12，面积$$S=\dfrac{1}{2}\times5\times12=30$$。4. B解析：最长边平方不等于两短边平方和，一定不是直角三角形。5. B解析：综合题型解题逻辑：先判定直角三角形，再利用勾股定理计算边长、高、面积。二、填空题1.直角；判定2.是3.直角三角形4.钝角5.锐角三、解答题1.解：（1）√（2）×（3）√（4）×2.解：∵最长边为26，$$10^2+24^2=100+576=676$$，$$26^2=676$$，∴ $$10^2+24^2=26^2$$，此三角形为直角三角形。面积$$S=\dfrac{1}{2}\times10\times24=120$$。答：该三角形为直角三角形，面积为120。3.证明与求解：设$$BD=x$$，则$$CD=14-x$$，∵ AD⊥BC，∴△ABD、△ACD为直角三角形，由勾股定理得：$$AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2$$，代入得：$$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$$，展开化简：$$169-x^2=225-196+28x-x^2$$，解得$$x=5$$，∴ $$AD=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$。答：AD的长度为12。核心易错总结：1.综合解题先判形、后计算，优先找最长边，用逆定理判定是否为直角三角形；2.严格区分正反定理：直角已知用勾股定理求边，边长已知用逆定理判直角；3.非直角三角形不可直接用勾股定理，必须作高拆分两个直角三角形求解；4.判定形状务必对比最长边平方，避免随意组合边长平方误判；5.综合题型常结合方程思想，利用公共高建立等式求解未知边长。能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；
经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件；
勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
a
b
c
A
B
C
字母表示：
如果△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形.
探究新知
例3 如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）画出所有从点A出发，另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的线段；
（2）画出所有以题（1）中所画线段为腰的等腰三角形.
A
分析：只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.
解：（1）如图，AB、AC、AE、AD的长度均为 .
A
C
B
E
D
（2）如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.
即学即练
如图，正方形网格中每一个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.请以图中的格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为 .
分析：小正方形的边长为1，由
，得出符合题意的图形.
解：如图，△ABC是所求作的三角形，其中AB= ，BC= ，AC=
.
A
B
C
例4 如图所示，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC= 90°，BC=24m，AB=26m. 求图中着色部分的面积.
解：在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2
=82+62=100(勾股定理)，
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262=AB2，
∴△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理)，
∴S着色部分=S△ACB S△ACD
如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20kn的速度向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行.已知它们离开港口O 2h后，两艘轮船相距50n mile，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
即学即练
根据方向角可知两船所走的方向正好构成了直角，根据勾股定理求出乙轮船航行的路程，进而求出速度.
解：由题意可知，AO⊥BO，OB=20×2=40n mile，AB=50n mile，
在Rt△AOB中， n mile，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2=15n mile.
A 组
1.现有一张等腰直角三角形卡片，其斜边长为2cm. 求它的直角边长和斜边上的高. （均精确到0.1 cm）
解：如图，∠BAC=90°，AB=AC，
BC=2cm，AD⊥BC于点D.
利用勾股定理，得AB2+AC2=BC2，
即2AB2=4，AB2=2，∴AB= ≈1.4cm.
∵在Rt△ABD中，AB= cm，BD= BC=1cm，
∴AD= =1.0(cm).
2.如图所示的图形由4个等腰直角三角形组成，其中直角三角形①的腰长为1cm. 求直角三角形④的斜边长.
①
②
③
④
①
②
③
④
解：由勾股定理得直角三角形①的斜边长为 (cm)，同理可得直角三角形②的斜边长为 2(cm)，直角三角形③的斜边长为 (cm)，则直角三角形④的斜边长为 4(cm).
3.如图，为了加固一个高2m、宽3m的大门，需在相对角的顶点间加一根木条.求木条的长度.（精确到0.1m）
解：由题意知，木条的长与大门的高和宽构成直角三角形，利用勾股定理可得木条的长度为 ≈3.6(m).
答：木条的长度约为3.6 m.
4.已知三角形的三边长分别是n+1、n+2、n+3. 当n为多少时，该三角形是个直角三角形？
解：因为n+1＜n+2＜n+3，所以当三角形为直角三角形时，(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2，所以n2=4，所以n=2或n= 2.当n= 2时，n+1＜0，n+2=0，故舍去.所以当n=2时，三角形是一个直角三角形.
5.如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=4，AD=3，∠CAB=α.求∠B的度数.（用α表示）
解：∵AD⊥CD，
∴△ADC为直角三角形.
∴AC= =5.
∵AC2+BC2=52+122=169=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°.
∴∠B=180° ∠ACB ∠CAB=180° 90° α=90° α.
B 组
6.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达顶点B，那么所用细线最短需要多少厘米 如果从顶点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达顶点B，那么所用细线最短又需要多少厘米 绕3圈呢 绕n圈呢 （保留根号）
解：当细线缠绕1圈时，所用细线最短需要
当细线缠绕2圈时，所用细线最短需要
当细线缠绕3圈时，所用细线最短需要
当细线缠绕n圈时，所用细线最短需要
7.如图，某地一条公路旁有两个居民点C、D，它们各自到公路的垂直距离CA、DB分别为10 km、15 km，公路上的A、B两地相距25 km．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离.
解：医院E的建造位置如图所示.
连结CE、DE，则CE=DE.
设该医院离A地的距离AE=x km，则BE=AB AE=(25 x)km.
由题意，得∠CAE=∠DBE=90°.
∴CE2=CA2+AE2，DE2=DB2+BE2.
∴CA2+AE2=DB2+BE2.
∴102+x2=152+(25 x)2，解得x=15.
∴该医院离A地的距离为15km.
8.如图，在长30cm、宽50cm、高40cm的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短.
解：当展开前面和右面时，如图①，爬行的路程最短为
当展开前面和上面时，如图②，爬行的路程最短为
当展开下面和右面时，如图③，爬行的路程最短为
∵ ，所以最佳路线为图③中的AG.
1．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　)
A．AB2＝20 B．△ABC的面积为10
C．∠BAC＝90° D．点A到直线BC的距离是2
B
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2．如图，分别以直角三角形的三边长为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆．记大圆的面积是S1，两个小圆的面积和是S2，则S1和S2两者之间的大小关系是________．
S1＝S2
【点拨】设大圆的半径是R，两个小圆的半径分别是r1和r2，则S1＝πR2，S2＝π(r12＋r22)．由勾股定理，得(2R)2＝(2r1)2＋(2r2)2，即R2＝r12＋r22，所以πR2＝π(r12＋r22)，即S1＝S2.
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3．在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是________．
【解】如图，△DEF即为所求．
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(2)判断△DEF的形状，并说明理由．
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5. 如图，学校在校园围墙边缘开垦了一块四边形菜地ABCD，测得AB＝9 m，BC＝12 m，CD＝8 m，AD＝17 m，且∠ABC＝90°，这块菜地的面积是(　　)
A．48 m2
B．114 m2
C．122 m2
D．158 m2
B
6. 如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15 km，与公路上另一停靠站B的距离为
20 km，停靠站A，B之间的距离为25 km，且CD⊥AB.
(1)求修建的公路CD的长．
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(2)一辆货车从D处到B处走过的路程是多少？
课堂小结
会用勾股定理解决简单应用题，学会构造直角三角形．
A
C
B
E
D

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