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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第12章全等三角形第12章全等三角形全章知识点总结（八年级下册）整体框架：本章从几何逻辑入门（命题与证明）→全等三角形五大判定定理→特殊三角形（等腰）性质与判定→几何双向定理（互逆命题）→几何两大对称模型（垂直平分线、角平分线），是初中几何证明的核心基石。12.1命题、定理与证明（几何逻辑基础）12.1.1命题1.命题定义：能够判断真假的陈述句。 是命题：陈述句（可判断对错） 不是命题：疑问句、感叹句、作图指令、描述性语句2.命题结构：由题设（条件）+结论两部分组成，可改写为“如果……那么……”形式。3.命题分类：-真命题：正确的命题-假命题：错误的命题（只需举1个反例即可推翻）12.1.2定理与证明1.公理：无需证明、公认正确的真命题（原始依据）。2.定理：经过严谨推理证实的真命题，可作为推理依据。3.核心关系：定理一定是真命题，真命题不一定是定理。4.几何证明要求：步步有据，依据仅限：已知、定义、公理、定理，禁止主观猜测、跳步书写。12.2全等三角形的判定（五大核心定理）全等定义：能够完全重合的两个三角形，对应边相等、对应角相等，周长、面积均相等。易错前提：形状相同≠全等，大小相同≠全等，必须形状、大小完全一致。12.2.1全等三角形的判定条件1.单一条件（一边/一角）、两个条件（两边、两角、一边一角）均无法判定全等。2.三角对应相等（AAA）：只能相似，不能判定全等。3.判定全等至少需要三组有效对应条件。12.2.2边角边（SAS）1.内容：两组对应边相等，且两边的夹角对应相等，两三角形全等。2.超级易错点：必须是夹角！SSA（边边角）不能判定全等。3.书写顺序：边—角—边，对应顶点顺序一致。12.2.3角边角（ASA）1.内容：两组对应角相等，且两角的夹边对应相等，两三角形全等。2.区分：ASA（两角夹一边），AAS（两角及一角对边），结构不可混淆。12.2.4边边边（SSS）1.内容：三组对应边分别相等，两三角形全等。2.特点：无需角的条件，仅通过边长即可判定。3.延伸：对应三角形稳定性（三边确定，三角形形状大小唯一确定）。12.2.5斜边直角边（HL）1.专属适用：仅用于直角三角形。2.内容：斜边和任意一条直角边对应相等，两直角三角形全等。3.补充：直角三角形也可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定，HL为最简方法。12.3等腰三角形（性质与判定）12.3.1等腰三角形的性质1.等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应两底角相等。2.三线合一（核心考点）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 仅限底边相关三线，腰上的中线、高、角平分线不具备该性质。3.等腰三角形是轴对称图形。4.角度计算必分类讨论：已知角可能是顶角或底角，杜绝漏解。12.3.2等腰三角形的判定1.等角对等边：三角形中两个角相等，则两角对应对边相等，三角形为等腰三角形。2.两种判定方法：①证明两边相等；②证明两角相等。3.逻辑区分：-性质：边相等→角相等（由因推果）-判定：角相等→边相等（判定形状）12.4几何互逆定理与对称模型12.4.1互逆命题和互逆定理1.互逆命题：两个命题题设、结论互相互换。所有命题都有逆命题。2.互逆定理：定理的逆命题为真且可证明，二者互为逆定理。3.核心规律：原命题真，逆命题不一定真；所有定理不一定有逆定理。4.常见互逆定理：等边对等角 等角对等边、平行线性质 平行线判定、垂直平分线性质 判定、角平分线性质 判定。12.4.2线段垂直平分线1.定义：垂直且平分一条线段的直线（唯一一条）。2.性质：垂直平分线上的点→到线段两端点距离相等。3.判定：到线段两端距离相等的点→在线段垂直平分线上。4.作用：快速转化线段长度，简化三角形周长计算。12.4.3角平分线1.定义：从角顶点出发，将角平分的射线（唯一一条）。2.性质：角平分线上的点→到角两边的垂线段距离相等。3.判定：角内部，到角两边距离相等的点→在角平分线上。 易错：距离特指垂线段长度，非任意线段；必须强调“角的内部”。全章高频易错汇总1.全等判定严禁混用：杜绝SSA、AAA判定全等；2. HL定理仅限直角三角形，普通三角形不可使用；3.等腰三角形三线合一仅限底边，角度计算必须分类讨论；4.性质与判定逻辑不可颠倒：边等推角等是性质，角等推边等是判定；5.命题必有逆命题，定理未必有逆定理；6.垂直平分线是直线，角平分线是射线，概念不可混淆；7.角平分线定理的距离是垂线段，不是到顶点的距离。全章解题思路总结1.证线段相等：优先用全等、垂直平分线性质、角平分线性质、等角对等边；2.证角相等：优先用全等、等边对等角、平行线性质；3.几何证明：先找隐藏条件（公共边、公共角、对顶角），再选合适定理，步步规范书写。知识结构
全等三角形
命题与定理
三角形全等的判定
边角边(SAS)
角边角(ASA)
边边边(SSS)
斜边直角边(HL)
角角边(AAS)
知识结构
全等三角形
等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合
等边三角形的各角都等于60°
有两个角相等的三角形是等腰三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
逆命题与逆定理
线段垂直平分线上的点到两端的距离相等
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
角平分线上的点到角两边的距离相等
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
知识要点
全等三角形的性质：
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等.
几何语言
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF，
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
A
B
C
D
E
F
全等三角形的判定：
SAS
ASA
AAS
SSS
HL
等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角相等.
简写成“等边对等角”.
B
C
D
A
几何语言
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中.
2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
简写成“等腰三角形的三线合一”.
几何语言
（1）∵AB=AC，BD=CD(已知)，
∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC(三线合一).
（2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD (已知)，
∴BD=CD，AD⊥BC(三线合一).
（3）∵AB=AC，AD⊥BC(已知)，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD(三线合一).
B
C
D
A
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
几何语言
∵在△ABC中，AB=AC=BC，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
等腰三角形的判定：
1.有两个角相等的三角形是等腰三角形.
简写成“等角对等边”.
几何语言
在△ABC中，
∵∠B=∠C(已知)，
∴AB=AC(等角对等边).
即△ABC为等腰三角形.
等边对等角
等角对等边
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
几何语言
∵∠A=∠B=∠C，
∴△ABC是等边三角形.
3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
几何语言
∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)，
∴△ABC是等边三角形.
互逆命题和互逆定理：
互逆命题与互逆定理
互逆命题
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理.
概念
线段垂直平分线：
A
B
M
N
C
P
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言
∵MN⊥AB，AC=BC，
∴PA=PB.
判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
几何语言
∵PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
角平分线：
性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
几何语言
∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB.
∴PD=PE.
判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
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1．下列句子中，是定义的是(　　)
A．在正数前面加上符号“－”的数是负数
B．a，b两条直线平行吗
C．画一个角等于已知角
D．过一点画已知直线的垂线
A
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2．下列语句中属于定理的是(　　)
A．在直线AB上任取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C．对顶角相等
D．直线AB和CD垂直吗
C
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3．对于命题“若a2>b2，则a>b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是(　　)
A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝0 D．a＝－1，b＝－2
C
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4．如图，点A，D分别在线段CE，BF上，连结AB，CD，EF.现有以下三个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成________个真命题．
3
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5. 如图，AC与BD交于点O，在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，请添加一个条件：____________________，使得△AOB≌△COD.
OA＝OC(答案不唯一)
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6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠AOB＝135°；②BA＝BF；③△AOG≌△FOD；④BD＋AG＝AB.其中正确的结论有_______________．(填序号)
①②③④
7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF.
(1)当α＝90°时，判断BE与BF的数量关系，并证明；
7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF.
(2)如图②，当90°＜α＜180°时，求证：BE＝BF.
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8. 如图所示，点C在线段AB上，△DAC和△EBC均是等边三角形．AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，连结MN.有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM＝CN，③AC＝DN，④MN∥AB，其中，正确的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．4
A
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9. 如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M、点N为射线OA、射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝________．
80°
10. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是线段BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，∠ADF＝60°.求证：AD＝DF.
【证明】如图，过点D作DG∥AC交AB于点G.
∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°.
∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠BAC＝60°，
∠BDG＝∠ACB＝60°.∴∠B＝∠BGD＝∠BDG＝60°.
∴△BGD为等边三角形，∴BG＝BD，
∴AB－BG＝BC－BD，即AG＝CD，
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11. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)如图①，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由；
【解】△DEF为等腰直角三角形．理由：
连结AD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD⊥BC.
∴∠B＝∠DAF＝∠BAD，∠ADB＝90°.∴BD＝AD.
又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF.
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形．
(2)如图②，若E，F分别为AB的延长线、CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF，请判断△DEF是否仍是(1)中的形状，并说明理由．
【解】△DEF仍是等腰直角三角形．理由：连结AD.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠EAF＝90°，∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，AD⊥BC.
∴∠DBE＝135°，∠DAF＝∠BAD＋∠EAF＝135°，∠BAD＝∠ABC，∠ADB＝90°.∴∠DBE＝∠DAF，BD＝AD.
又∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF.∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF.
∴∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝∠ADF＋∠BDF＝∠ADB＝90°.∴△DEF是等腰直角三角形．
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12．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．CD平分∠ACB
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．AB垂直平分CD
D
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13．如图，在△ABC中，∠A＝100°，点D是BC上的一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝____________．
100°
14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD.
(1)求证：∠CAD＝∠ACD；
【证明】∵l是AB的垂直平分线，点D在l上，
∴DA＝DB.又∵DB＝DC，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠ACD.
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14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD.
(2)连结BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC.
【证明】∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＋∠CBD＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＋∠BAD＋∠ABD＝90°.∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠BAD.又∵∠CAD＝∠ACD，
∴∠CAD＋∠BAD＝45°，即∠EAB＝45°.
∵l是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠EAB＝45°，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.
D
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16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F.下列结论中一定正确的是(　　)
①∠CED＝∠CDE；②S△AEC?S△AEG＝AC?AG；
③∠ADF＝∠FDB；④CE＝DF.
A．①②③④ 　B．①② C．①②③ D．①②④
D
17. 如图，小颖同学想画∠AOB的平分线，可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是她做了如下操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝2 cm，分别过点C，D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．请判断小颖的做法是否可行，并说明理由．
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18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AE＝AD，则∠EDC的度数是(　　)
A．7.5° B．10° C．12.5° D．15°
D
【点拨】设∠EDC＝x.因为AB＝AC，所以可设∠B＝∠C＝y，则∠AED＝∠EDC＋∠C＝x＋y.又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x＋y，所以∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝2x＋y.又因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，所以2x＋y＝y＋30°，解得x＝15°，所以∠EDC的度数是15°.
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19. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD＝AO，连结DO，若BD＝BC，∠ABC＝54°，则∠BCA的度数为________．
42°
【点拨】∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ABO＝∠CBO，∠BAO＝∠CAO，∠BCO＝∠ACO.∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，∴∠BAO＝2∠D.设∠D＝α，则∠BAO＝2α，∠BAC＝4α.易得△DBO≌△CBO，∴∠BCO＝∠D＝α，∴∠BCA＝2α，∴54°＋4α＋2α＝180°，∴α＝21°，∴∠BCA＝42°.
20. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝____________．
70°或20°
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21. 如图，AB＝5 cm，AC＝BD＝4 cm，∠CAB＝∠DBA＝60°.点E沿线段AB由点A向点B运动，点F沿线段BD由点B向点D运动，E，F两点同时出发，它们的运动时间记为t s．已知点E的运动速度是1 cm/s，如果顶点是A，C，E的三角形与顶点是B，E，F的三角形全等，那么点F的运动速度是__________________．
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22. 已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE，点D在直线BC上，连结CE.
(1)若点D在线段BC上，如图①，求证：CE＝BC－CD.
(2)若D在CB的延长线上，如图②，其他条件不变，线段CE，BC，CD有怎样的关系？说明理由．
【解】当点D在CB的延长线上时，CE＝CD－BC，理由如下：
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠BCA＝45°，
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，
即∠BAD＝∠CAE，
(3)若D在CB的反向延长线上，如图③，其他条件不变，线段CE，BC，CD的关系是__________________(直接写出结论)．
CE＝BC＋CD
【点拨】同(2)的方法得△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∴CE＝BC＋CD.
(4)若CE＝10，CD＝4，则BC的长为________(请直接写出答案，不需要证明)．
14或6
【点拨】易知△DAB≌△EAC，∴BD＝CE.∵CE＝10，∴BD＝10.当点D在线段BC上时，由(1)知CE＝BC－CD，∴BC＝CE＋CD＝10＋4＝14，当点D在CB的延长线上时，由(2)知CE＝CD－BC，∴BC＝CD－CE＝－6，不成立，舍去；当点D在CB的反向延长线上时，由(3)知，CE＝BC＋CD，∴BC＝CE－CD＝10－4＝6.
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