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华东师大版数学八年级上册培优精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.章末复习第13章勾股定理第13章勾股定理全章知识点总结（八年级）整体知识框架：本章是初中几何核心计算章节，承接三角形与全等三角形，建立直角三角形三边数量关系。主要分为：勾股定理（正向计算）、勾股定理逆定理（逆向判定）、反证法（几何间接证明）、实际应用与综合应用，是中考计算、几何模型、实际应用题的必考核心。13.1.1勾股定理（正向公式）1.定理内容在Rt△中，两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边$$a、b$$，斜边$$c$$$$a^2+b^2=c^2$$2.常用公式变形（必考）求斜边：$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$求直角边：$$a=\sqrt{c^2-b^2}，b=\sqrt{c^2-a^2}$$3.名词定义勾：短直角边；股：长直角边；弦：斜边。经典口诀：勾三、股四、弦五。4.适用条件（超级易错）①只适用于直角三角形；②c一定是最长边（斜边），不可乱代；③无直角不可直接用勾股定理。5.常见基础勾股数（熟记）3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41性质：勾股数的正整数倍仍然是勾股数。13.1.2直角三角形的判定（勾股定理逆定理）1.逆定理内容若三角形三边长$$a、b、c$$（$$c$$为最长边）满足：$$a^2+b^2=c^2$$，则这个三角形为直角三角形，且最长边所对的角为直角。2.三角形形状判定拓展（必考综合）设c为最长边：①$$a^2+b^2=c^2$$→直角三角形②$$a^2+b^2>c^2$$→锐角三角形③$$a^2+b^2<c^2$$→钝角三角形3.核心易错判定必须先找最长边，不能随意取边平方对比。13.1.3反证法（几何间接证明）1.定义反证法是间接证明法，不直接证明结论，而是否定结论推出矛盾。2.标准三步流程①反设：否定原结论，假设反面成立；②归谬：推理得出矛盾（与已知、定义、定理、公理矛盾）；③存真：否定假设，肯定原结论正确。3.常见词语反设（考试高频）①最多一个→至少两个②至少一个→一个都没有③有且只有→至少两个或没有4.适用题型证明“唯一性、至多、至少、不可能”类命题。13.2.1勾股定理的实际应用核心思想：生活问题→构造直角三角形→勾股定理计算四大经典模型1.梯子滑动模型：梯子长度为固定斜边，墙面、地面为直角边，滑动前后两次计算求变化量。2.树木折断模型：剩余竖杆、地面距离为直角边，折断部分为斜边，常用方程求解。3.方位行走模型：东西、南北互相垂直，直接构造Rt△求直线距离。4.测距模型：无法直接测量的距离，通过作垂直构造直角三角形求解。13.2.2勾股定理及其逆定理的综合应用1.正反定理逻辑区别（必考辨析）勾股定理（正）：已知直角三角形→求边长、高、面积逆定理（反）：已知三边长→判定是否为直角三角形、判断形状2.综合解题固定思路先判形，后计算①给出三边：先用逆定理判定是否Rt△，再算面积、周长、高；②不规则图形：作高拆分两个直角三角形，利用公共高列方程求解。3.高频综合考点①13、14、15三角形（经典题型）：高恒为12，面积84；②利用面积法求斜边上的高：$$h=\dfrac{ab}{c}$$；③结合方程思想解折叠、分段几何问题。全章核心易错大汇总1.勾股定理只用于直角三角形，锐角、钝角不可直接使用；2.公式中c必须是最长斜边，判定形状必须先找最长边；3.正逆定理不混用：直角用公式，边长判形状；4.实际应用题边长为长度，结果只取正数；5.反证法反设必须完整取反，不能片面否定；6.非直角图形求边长，必须作高构造直角三角形。全章解题口诀遇斜边，用平方；判形状，找最长；无直角，作高上；实际题，先建模；证至多，用反证；先判后算不慌张。知识结构
直角三角形
勾股定理
勾股定理的逆定理
应用
反证法
思考并回答下列问题：
问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？
问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？
问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？
问题4：反证法的步骤是什么？
知识要点
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
a
b
c
A
B
如果在Rt△ABC中，∠C=90°，
几何语言：
那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
C
勾股定理的证明方法：
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
勾股定理逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
a
b
c
A
B
C
几何语言：
如果△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
那么△ABC是直角三角形.
勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股定理与勾股定理的逆定理的关系
A
C
B
b
c
a
a2+b2=c2
数
形
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
直角三角形的判定
是互逆定理.
反证法：先假设结论的反面是正确的，然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，近而得出原结论正确．
反证法的一般步骤：
反设
1.假设命题结论的反面成立；
2.推理得出的结论与已知、定义、公理、定理矛盾；
归谬
3.假设不成立即原结论正确；
结论
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1. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　)
A．8 B．10 C．12 D．13
C
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2．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题．对这个问题稍作改编，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋AC＝9，BC＝3，则AC的长为________．
4
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3. 如图，甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图乙所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长(图乙中的实线)是________．
76
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4. 如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　)
A．5 B．4 C．6 D．16
C
【点拨】易知△ABC≌△BDE，∴AC＝BE.∵DE2＋BE2＝BD2，∴DE2＋AC2＝BD2，即S2＋S1＝1.同理．可证S2＋S3＝2，S3＋S4＝3.∴S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6.
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5. 一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面的高度AB＝1.3米，如图，与小狗的距离AC＝2.4米，小狗的高CD＝0.3米．(绳子一直是直的)
(1)此时牵狗绳BD的长是多少？
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(2)小方将手上的小球扔至3米远的M处，若她站着不动，牵狗绳最长放至4米，则小狗能否将小球捡回来？请说明理由．(假设小狗碰到球就能将球捡回来)
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6．如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝________．
45°
7．如图，这是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架AC＝24 cm，CB＝18 cm，两轮中心的距离AB＝30 cm，则点C到AB的距离为________cm.
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8. 如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与公路AB上两点A，B的距离分别为200 m和150 m，AB＝250 m，环卫车周围130 m以内(不包括130 m)为受噪声影响区域．
(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
【解】学校C会受噪声影响．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵AC＝200 m，BC＝150 m，AB＝250 m，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间为2 min，求环卫车的行驶速度为多少．
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9. 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13，7，24，25；….这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差为1.还有一类勾股数，其特点是勾为偶数，弦与股相差为2，例如6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为12，则其弦是________．
37
【点拨】设弦是x，则股为x－2，则122＋(x－2)2＝x2，解得x＝37.
10. 勾股定理中a2＋b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a，b，c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，……分析上面的勾股数组可以发现，4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，……则第5个勾股数组为____________________．
(11，60，61)
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【点拨】由勾股数组(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，……中4＝1×(3＋1)，12＝2×(5＋1)，24＝3×(7＋1)，……可得第4个勾股数组中间的数为4×(9＋1)＝40，即第4个勾股数组为(9，40，41)；第5个勾股数组中间的数为5×(11＋1)＝60，即第5个勾股数组为(11，60，61)．
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11．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它
不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．求证：∠1＝∠A＋∠B.
【证明】假设∠1≠∠A＋∠B，在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°，∴∠A＋∠B＝180°－∠2.
∵∠1＋∠2＝180°，∴∠1＝180°－∠2.
∴∠1＝∠A＋∠B，与假设相矛盾．∴假设不成立．
∴∠1＝∠A＋∠B.
12．如图，四边形ABCD是一块长方形土地，AB＝20 cm，AD＝10 cm，中间竖有一堵高2 cm的长方体砖墙(MN＝2 cm)，一只蚂蚁从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要爬________cm.
26
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13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝________．
5
14. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连结CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连结CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为________．
60
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15. 在△ABC中，AB＝15，BC＝20，BD为AC边上的高，且BD＝12，则AC＝__________．
7或25
16. 如图，C为直线l上的一个动点，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，点E在点D的右侧，并且点A，B在直线l的同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，连结AC，BC，AB，当CD的长为多少时，△ABC为直角三角形？
【解】第一种情况：如图①，当
∠BAC＝90°时，过点B作BF⊥AD于点F.
∵BE⊥l，AD⊥l，∴四边形DEBF为长方形．∴BF＝DE＝8，DF＝BE＝2.∴AF＝AD－DF＝6.由勾股定理，得AB2＝AF2＋BF2＝100，AC2＝AD2＋CD2＝64＋CD2，BC2＝(CD＋8)2＋22＝CD2＋16CD＋68，AB2＋AC2＝BC2，∴100＋64＋CD2＝CD2＋16CD＋68，解得CD＝6；
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