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25.1 一元二次方程的概念
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.会设未知数，列一元二次方程.
2.了解一元二次方程及其根的概念.
3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数．
复习回顾
1.下列哪些式子是方程？
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x 5<18
2=9
×
没有未知数
×
代数式
√
√
×
不等式
√
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫作方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程.
探索新知
问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？
图1
图2
解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 2x）cm，宽为（50 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程
图1
图2
3600 cm2
100 cm
50 cm
(100 2x)(50 2x) = 3600.
整理并化简，得
x2 75x+350 = 0. ①
问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？
解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程
x(x 1) = 28.
整理并化简，得
x2 x 56 = 0. ②
问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
A
B
C
解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程
x2 = 5(5 x).
整理并化简，得
x2+5x 25 = 0. ③
观察与思考
方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2 75x+350 = 0 ①
x2 x 56 = 0 ②
x2+5x 25 = 0 ③
特点：
1.都是整式方程；
2.只含一个未知数；
3.未知数的最高次数是2.
二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项
知识要点
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）
ax2
a
bx
b
c
想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？
当a=0时
bx+c=0
一元一次方程
当a≠0，b=0时
ax2+c=0
一元二次方程
当a≠0，c=0时
ax2+bx=0
一元二次方程
当a≠0，b=c=0时
ax2=0
一元二次方程
特殊形式
总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数.
下列方程：① =5；② 8x2=x；③x3 4x=0；
④ ax2+2x 3=0；⑤ x2=3y+1；⑥ =x 1；
⑦ x(2x 3)=2x(x 1).
其中一定是一元二次方程的是__________.（填序号）
提示：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
②
牛刀小试
一元一次方程与一元二次方程的区别与联系
一元一次方程 一元二次方程
一般式 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0）
相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2–3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2–8x–10=0.
它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10.
注意：系数和项均包含前面的符号.
牛刀小试
下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？
– 1，0，1，2，3.
√
√
一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）.
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随堂练习
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. 3x+1=0 B. x2–3=0 C. y+x2=4 D. +x2=2
2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0
B
C
3.关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程， 则（ ）
A. a>1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0
4.已知关于 x 的方程 xk–1–2x+3=0 是一元二次方程，则k=______.
C
3
5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
【选自教材第3页 练习 第1题】
（1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81；
解：一般形式：5x2–4x–1=0
二次项系数：5
一次项系数：–4
常数项：–1
解：一般形式：4x2–81=0
二次项系数：4
一次项系数：0
常数项：–81
（3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3.
解：一般形式：4x2+8x–25=0
二次项系数：4
一次项系数：8
常数项：–25
解：一般形式：3x2–7x+1=0
二次项系数：3
一次项系数：–7
常数项：1
6.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
【选自教材第3页 练习 第2题】
解：设正方形的边长为 x，列得方程 4x2=25，化为一般形式为 4x2–25=0.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
解：设矩形的长为 x，列得方程 x(x–2)=100，
化为一般形式为 x2–2x–100=0.
（3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.
解：设较短木条的长为 x，列得方程 x·1=(1–x)2，化为一般形式为 x2–3x+1=0.
课堂小结
一元二次方程
概念
一般形式
ax2+bx+c=0（a≠0）
是整式方程；
只含一个未知数；
未知数的最高次数是2.
a
二次项系数
b
一次项系数
c
常数项

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