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第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
习题 25.1
复习巩固
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）4x2+5x=81； （2）x(x+)=0；
解：一般形式：4x2+5x–81=0
二次项系数：4
一次项系数：5
常数项：–81
解：一般形式：x2+x=0
二次项系数：1
一次项系数：
常数项：0
（3）(2x–3)(x–1)=0； （4）(3x–2)(x+1)=x(2x+1).
解：一般形式：2x2–5x+3=0
二次项系数：2
一次项系数：–5
常数项：3
解：一般形式：x2–2=0
二次项系数：1
一次项系数：0
常数项：–2
2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是 2π，求半径 r；
解：由圆的面积公式，得 πr2=2π，所以 r2=2，即 r2–2=0.
（2）一个直角三角形的两条直角边的长相差 3，面积为 9，求较长直角边的长 x；
解：由直角三角形的面积公式，得 x(x–3)=9，
所以 x2–3x–18=0.
（3）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的 2 倍，斜边长为 5，求较短直角边的长.
解：设较短直角边的长为 x，由勾股定理，得x2+(2x)2=52，所以 x2–5=0.
3.下列哪些数是一元二次方程 x2+x–12=0 的根？为什么？
– 4，– 3，– 2，– 1，0，1，2，3，4.
解：– 4，3是方程 x2+x–12=0 的根.
当x取– 4或3时，能使方程左右两边相等.
综合运用
4.南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
解：设田阔 x 步，长(x+12)步，由题意，得x(x+12)=864，化为一般形式为 x2+12x–864=0.
拓广探索
5.如果 2 是方程 x2– c = 0的一个根，求解如下问题：
（1）常数 c 是多少？
（2）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根.
解：（1）由题意，可知 22– c = 0，所以 c=4.
（2）有，因为 c=4，所以原方程为 x2–4=0，所以 x =±2，所以这个方程的另一个根为 –2.

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