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25.2 降次——解一元二次方程
25.2.2 公式法
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.
2.能运用根的判别式判断方程根的情况，能熟练地运用公式法解一元二次方程．
复习回顾
说一说用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
一移：将常数项移到方程的右边；
二化：二次项系数化为1；
三配：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的
平方；
四开：利用平方根的意义直接开平方；
五解：解两个一元一次方程.
用配方法解方程：3x2+8x–3=0.
解：移项，得 3x2+8x=3.
二次项系数化为1，得x2+x=1.
配方，得 x2+x+()2=1+()2，(x+)2=.
由此可得 x+=±，即x1= – 3，x2= .
你能试着用配方法求一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解吗？
探索新知
用配方法解一般形式一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0).
解：移项，得 ax2+bx = –c.
二次项系数化为1，得 x2+ x = – .
配方，得 x2+ x + ()2 = – + ()2 ，
即 (x + )2 = . ①
思考：对于方程①，接下来能直接开平方解吗？
(x + )2 = . ①
因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况：
（1）当 b2–4ac>0 时，>0，由①得 x + =± .
方程有两个不相等的实数根
x1 = ，x2 = .
(x + )2 = . ①
因为a≠0，所以4a2>0.式子 b2– 4ac 的值有以下三种情况：
（2）当 b2–4ac=0 时，=0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – .
（3）当 b2–4ac<0 时，<0，由①可知(x + )2 <0，而 x取任何实数都不能使 (x + )2 <0 成立，因此方程无实数根.
归纳小结
由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
b2–4ac>0
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
无实数根
b2–4ac=0
b2–4ac<0
b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
牛刀小试
一元二次方程 Δ=b2– 4ac 根的情况
x2–x–1=0 5 有两个不相等的实数根
2x2+3x+2=0 – 7 无实数根
4x2=12x–9 0 有两个相等的实数根
3x2+2=2x 0 有两个相等的实数根
当 Δ ≥ 0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为 x = 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式.
用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法.
注意：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当Δ=b2– 4ac 时，才可以用求根公式.
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例3 用公式法解下列方程：
（1）x2– 4x – 7=0；
解：因为 a=1，b= – 4，c= – 7，
所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×1×(–7)=44>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = 2±，
即 x1=2+，x2= 2 – .
x =
确定 a，b，c 的值时，要注意它们的符号.
（2）2x2 –2x+1=0；
解：因为 a=2，b= – 2，c= 1，
所以 Δ=b2 – 4ac=(–2)2– 4×2×1=0.
方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – = – = .
x =
（3）5x2 –3x=x+1；
解：方程化为 5x2 – 4x –1=0，此时a=5，b= – 4，c= – 1，
所以 Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×5×(–1)=36>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
x =
即 x1=1，x2= – .
（4）x2 +17=8x.
x =
解：方程化为 x2 – 8x+17=0，此时a=1，b= – 8，c=17，
所以 Δ=b2 – 4ac=(–8)2– 4×1×17= – 4 <0.
方程无实数根.
知识要点
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并确定 a，b，c 的值；
（2）求：求出 b2–4ac 的值；
（3）判：若 b2–4ac≥0 则利用求根公式求解；若 b2–4ac<0，则方程无实数根.
（4）代：将a，b，c的值代入求根公式，写出方程的根.
随堂练习
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则 b2–4ac 满足的条件是（ ）
A. b2–4ac=0 B. b2–4ac>0 C. b2–4ac<0 D. b2–4ac≥0
B
2.利用求根公式求 5x2+=6x 的根时，a，b，c 的值分别是（ ）
A. 5, , 6 B. 5, 6, C. 5, –6, D. 5, –6, –
C
3.已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2–2x–3=0.下列说法正确的是（ ）
A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①有实数解，②无实数解
D.①②都无实数解
B
4.用公式法解下列方程：
【选自教材第12页 练习】
（1）x2+x – 6=0；
解：因为 a=1，b=1，c= –6，
所以 Δ=b2 – 4ac=12– 4×1×(–6)=25>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1=2，x2= – 3.
（2）x2 – x – =0；
解：因为 a=1，b= –，c= – ，
所以 Δ=b2 – 4ac=(–)2– 4×1×(– )=4>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= +1，x2= – 1.
（3）3x2 – 6x +4=0；
解：因为 a=3，b= – 6，c= 4，
所以 Δ=b2 – 4ac=(–6)2– 4×3×4= – 12<0. 方程无实数根.
（4）2x2 – 3x=0；
解：因为 a=2，b= – 3，c= 0，
所以 Δ=b2 – 4ac=(–3)2– 4×2×0=9>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，即 x1=0，x2= .
（5）x2+4x+8=4x+11；
解：方程化为 x2– 3=0，此时a=1，b=0，c= –3，
所以 Δ=b2 – 4ac=02– 4×1×(–3)=12>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= ，x2= – .
（6）x(2x– 4)=5 – 8x.
解：方程化为 2x2+4x–5=0，此时a=2，b=4，c= –5，
所以 Δ=b2 – 4ac=42– 4×2×(–5)=56>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= –1+ ，x2= –1 – .
5.已知关于 x 的一元二次方程 mx2–(3m+2)x+2m+=0 (m≠0)， 求证：方程有两个不相等的实数根.
证明： Δ=b2 – 4ac = [–(3m+2)]2– 4m(2m+)=9m2+12m+4 –8m2–10m =m2+2m+4=(m+1)2+3.
因为 (m+1)2≥0，所以(m+1)2+3>0，即 Δ>0.
所以方程有两个不相等的实数根.
拓展提高
已知 a，b，c为 △ABC 的三边长，且关于 x 的方程 (x–a)(x–b)+(x–b)(x–c)+(x–c)(x–a)=0 有两个相等的实数根，试判断 △ABC 的形状.
解：将原方程整理，得 3x2–2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0.
因为Δ=b2–4ac=[2(a+b+c)]2–4×3(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2+2ab+
2ac+2bc)–12(ab+bc+ac)=4(a2+b2+c2–ab–ac–bc)
=2[(a2–2ab+b2)+(b2–2bc+c2)+(a2–2ac+c2)]=2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2]
因为方程有两个相等的实数根，所以 Δ=0，
即2[(a–b)2+(b–c)2+(a–c)2]=0. 所以a–b=0， b–c=0， a–c=0.
所以a=b=c. 故△ABC为等边三角形.
课堂小结
公式法
用求根公式解一元二次方程的方法
求根公式
x =
一元二次方程根的判别式 Δ= b2–4ac
当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；
当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
当Δ<0时，方程无实数根.

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