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第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
习题 25.2
复习巩固
1.解下列方程：
（1）36x2–1=0；
解：移项，得 36x2=1.
直接开平方，得 6x=±1.
所以 x1= ，x2= – .
（2）4x2=49；
解：直接开平方，得 2x=±7.
所以 x1= ，x2= – .
（3）(x+5)2=25；
（4）x2+2x+1=4.
解：直接开平方，得 x+5=±5.
所以 x1= – 10，x2= 0.
解：原方程化为 (x+1)2=4.
直接开平方，得 x+1=±2.
所以 x1=1，x2= – 3 .
2.填空：
（1）x2+6x+___=(x+___ )2； （2）x2–x+___=(x–___ )2；
（3）4x2+4x+___=(2x+___ )2；（4）x2– x+___=(x–___ )2.
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3.用配方法解下列方程：
（1）x2+10x+16=0；
（2）x2–x– = 0；
解：移项，得 x2+10x= –16.
配方，得x2+10x+52= –16+52，
(x+5)2=9.
由此可得 x+5=±3，
x1= –2，x2= –8.
解：移项，得 x2–x = .
配方，得x2–x+()2= + ()2，
(x – )2=1.
由此可得 x – =±1，
x1= ，x2= – .
（3）3x2+6x–5=0；
（4）4x2–x–9 = 0.
解：移项，得 3x2+6x=5.
二次项系数化为1，得x2+2x=.
配方，得x2+2x+12= + 12，
(x+1)2= .
由此可得 x+1=± ，
x1= –1，x2= – –1.
解：移项，得 4x2–x=9.
二次项系数化为1，得x2– x=.
配方，得x2– x+()2= + ()2，
(x – )2= .
由此可得 x – =± ，
x1= ，x2= .
4.利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况：
（1）2x2–3x– =0；
（2）16x2–24x+9=0；
解：（1）因为 a=2，b= –3，c= – ，
所以Δ=b2– 4ac=(–3)2 – 4×2×(– )=21>0，
所以方程有两个不等的实数根.
（2）因为 a=16，b= –24，c=9，
所以Δ=b2– 4ac=(–24)2 – 4×16×9=0，
所以方程有两个相等的实数根.
（3）x2– 4x+9=0；
（4）3x2+10=2x2+8x.
解：（3）因为 a=1，b= – 4，c=9，
所以Δ=b2– 4ac=(– 4)2 – 4×1×9 = – 4<0，
所以方程无实数根.
（4）原方程可化为 x2–8x+10=0.
因为 a=1，b= –8，c=10，
所以Δ=b2– 4ac=(–8)2 – 4×1×10=24>0，
所以方程有两个不等的实数根.
5.用公式法解下列方程：
（1）x2+x–12=0；
（2）x2–x – =0；
解：（1）因为 a=1，b=1，c= – 12，
Δ=b2– 4ac=12–4×1×(–12)=49>0，所以 x = = ，
所以原方程的根为 x1=3，x2= – 4.
（2）因为 a=1，b= – ，c= – ，
Δ=b2– 4ac=(– )2–4×1×(–)=3>0，所以 x = = ，所以原方程的根为 x1= ，x2= .
（3）x(x – 4)=2–8x；
（4）x2+2x+10=0；
解：（3）原方程可化为x2+4x–2=0. 因为 a=1，b=4，c= – 2，
Δ=b2– 4ac=42–4×1×(–2)=24>0，所以 x = = ，
所以原方程的根为 x1= –2+2，x2= –2–2.
（4）因为 a=1，b=2，c=10，
Δ=b2– 4ac=(2)2– 4×1×10= – 20<0，所以原方程无实数根.
6.用因式分解法解下列方程：
（1）3x2–12x= –12；
（2）4x2–144=0；
解：方程变形，得3(x2–4x+4)=0.
左边分解因式，得3(x–2)2=0.
于是 x–2=0，即 x1=x2=2.
解：左边分解因式，得
(2x+12)(2x–12)=0.
于是 2x+12=0，或 2x–12=0，
即 x1= –6，x2=6.
（3）3x(x–1)=2(x–1)；
（4）(2x–1)2=(3–x)2.
解：方程变形，得
3x(x–1)–2(x–1)=0.
左边分解因式，得
(x–1)(3x–2)=0.
于是 x–1=0，或 3x–2=0，
即 x1=1，x2= .
解：方程变形，得
(2x–1)2–(3–x)2=0.
左边分解因式，得
[(2x–1)+(3–x)][(2x–1)–(3–x)]=0，
(x+2)(3x–4)=0.
于是 x+2=0，或 3x–4=0，
即 x1= –2，x2= .
7.求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1）x2–3x+2=10；
（2）5x2+x–5=0；
解：（1）方程化为 x2–3x–8=0，所以 x1+x2 = – (–3) = 3，x1x2 = – 8.
（2）x1+x2 = – ，x1x2 = –1.
（3）x2+x=5x+6；
（4）7x2–5=x+8.
解：（3）方程化为 x2–4x–6=0，所以 x1+x2 = – (–4) = 4，x1x2 = – 6.
（4）方程化为 7x2–x–13=0，所以 x1+x2= ，x1x2 = – .
综合运用
8.一个直角三角形的两条直角边的长相差 5，面积是 7，求斜边的长.
解：设这个直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为(x+5).
根据题意，得 x(x+5)=7，所以 x2+5x–14=0，
解得 x= – 7（不合题意，舍去），x=2. 当x=2时，x+5=7.
由勾股定理，得直角三角形斜边的长为==.
答：这个直角三角形斜边的长为.
9.用适当方法解下列方程：
（1）3x2=54；
（2）x2– 4x=8；
解：方程变形，得x2=18.
直接开平方，得x =±，
所以 x1= ，x2= –.
解：配方，得x2–4x+22=8+22，
(x–2)2=12.
由此可得x–2=±2，
即x1=2+2，x2= 2–2.
（3）3x2–1=2x；
（4）x2–6x+9=(5–2x)2.
解：方程化为 3x2–2x–1=0，
此时a=3，b= – 2，c= – 1.
所以 Δ=b2– 4ac=(–2)2– 4×3×
(–1)=16>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1=1，x2= – .
解：方程变形，得
(x–3)2–(5–2x)2=0.
左边分解因式，得
[(x–3)+(5–2x)][(x–3)–(5–2x)]=0，
(2–x)(3x–8)=0.
于是 2–x=0，或 3x–8=0，
即 x1= 2，x2= .
10.无论 x 取何值，方程 (x–3)(x–2)–p2=0 总有两个不相等的实数根吗？如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由.
解：无论p取何值，方程 (x–3)(x–2) –p2=0 总有两个不等的实
数根，理由如下：
原方程可化为 x2–5x+6–p2=0，
Δ=(–5)2 – 4×1×(6–p2)=25–24+4p2=1+4p2.
因为 p2≥0，所以1+4p2>0，即 Δ>0，
所以原方程总有两个不等的实数根.
拓广探索
11.已知方程 2x2–6x+3=0 的两个根为 x1，x2，求下列式子的值：
（1） + ； （2）x12+x22.
解：依题意有x1+x2=3， x1x2= .
（1） + = = 2 .
（2） x12+x22=(x1+x2)2–2x1x2=32 –2× = 6.
12. （1）因为 x3–8x2+19x–12=(x–1)(x–3)(x–4)，所以 1，3，4 是一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的三个根，计算1+3+4，1×3+3×4+4×1，1×3×4 的值，它们与一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的系数有什么关系？
解：1+3+4=8，是该方程中二次项系数的绝对值；
1×3+3×4+4×1=19，是该方程中一次项系数的值；
1×3×4=12，是该方程中常数项的绝对值.
（2）如果一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 有三个实数根 x1，x2，x3，那么 ax3+bx2+cx+d 可以化为 a(x–x1)(x–x2)(x–x3).由此你能发现根 x1，x2，x3 与一元三次方程的系数之间的关系吗？
解：因为 a(x–x1)(x–x2)(x–x3)
=ax3–a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x–ax1x2x3
=ax3+bx2+cx+d，
所以 x1+x2+x3= – ，x1x2+x2x3+x1x3= ，x1x2x3= – .

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