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25.2 降次——解一元二次方程
25.2.3 因式分解法
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.知道因式分解法，会用因式分解法解一元二次方程.
2.能根据具体一元二次方程的特征，选择合适的解法，体会解决问题的多样性．
复习回顾
思考1：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？
1.直接开平方法：
x2=a(a≥0)或(mx+n)2=a(a≥0)
2.配方法：
(x+n)2=p(p≥0)
3.公式法：
x = （b2–4ac≥0）
思考2：因式分解的方法有哪些？
1.提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
2.公式法：
a2–b2=(a+b)(a–b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
3.十字相乘法：
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
探索新知
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度（单位：m）约为 10x–5x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
分析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m.
即 10x–5x2=0.
你能试着用学过的方法解这个方程吗？
配方法解方程 10x–5x2=0.
公式法解方程 10x–5x2=0.
解：移项，二次项系数化为1，得 x2–2x=0.
配方，得 x2–2x+12=12，
(x–1)2=1.
由此可得 x–1=±1，
x1= 0，x2= 2.
解：因为a= – 5，b=10，c=0，
Δ=b2–4ac=102–4×(–5)×0=100>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = ，
即x1= 0，x2= 2.
除了配方法和公式法，你还能找到更简便的方法解这个方程吗？
10x–5x2=0.
因式分解
5x(2–x)=0.
降次，化为两个一次方程
x=0或2–x=0.
解方程
x1=0，x2=2.
如果 ab=0. 那么a=0，或b=0.
知识要点
通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
因式分解法的基本步骤
一移
方程的右边=0
方程的左边因式分解
二分
三化
方程化为两个一元一次方程
四解
写出方程的两个解
直接说出下列方程的根：
牛刀小试
（1）(3x+6)(2x–4) = 0；
（2）(x+2)(x–3) = 0；
（3）(x+5)(x–1) = 0；
（4）x(x–2)= 0；
（5）x2 = x.
x1= –2，x2= 2.
x1= –2，x2= 3.
x1= –5，x2= 1.
x1= 0，x2= 2.
x1= 0，x2= 1.
例4 解下列方程：
（1）x(x–2)+x–2 = 0；
（2）5x2 –2x – = x2 –2x + .
解：左边分解因式，得
(x–2)(x+1)=0.
于是 x – 2=0，或 x+1=0，
即 x1=2，x2= – 1.
解：移项、合并同类项，得
4x2–1=0.
左边分解因式，得
(2x+1)(2x–1)=0.
于是 2x+1=0，或2x–1=0，
即 x1= – ，x2= .
思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？
方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点
配方法 配方 所有的一元二次方程 配方 当二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可以优先用此法
公式法 求根公式 所有的一元二次方程 确定a，b，c的值，代入求根公式 计算量大，易出现符号错误
因式分解法 若 ab=0. 则 a=0，或 b=0. 能化为一边为0，另一边为两个一次式的乘积的方程 因式分解 适用范围较小，对缺少一次项ax2+c=0或缺少常数项ax2+bx=0的一元二次方程求解
选择适当的方法解下列方程：
牛刀小试
（1）4(x–1)2–9=0；
（2）x2 +6x = 1；
解：方程变形，得(x–1)2=.
直接开平方，得x–1=±，
所以 x1= ，x2= – .
解：配方，得x2+6x+32=1+32，
(x+3)2=10.
由此可得x+3=±，
即x1= –3–，x2= – 3+.
（3）3x2– 4x = 5；
（4）(2x+1)2 – 4x – 2 = 0.
解：方程化为 3x2– 4x –5 = 0，
此时a=3，b= – 4，c= – 5.
所以 Δ=b2–4ac=(–4)2– 4×3×
(–5)=76>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= ，x2=.
解：方程变形，得
(2x+1)2–2(2x+1)=0.
左边分解因式，得
(2x+1)(2x+1–2)=0，
即(2x+1)(2x–1)=0.
于是 2x+1=0，或 2x–1=0，
即 x1= – ，x2= .
一元二次方程的解法及适用类型：
解法 适用的方程类型
直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0)
配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程
公式法 所有的一元二次方程
因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
解一元二次方程的基本思路：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程.
随堂练习
1.解下列方程：
【选自教材第14页 练习 第1题】
（1）x2+x=0；
（2）x2 –2x = 0；
解：左边分解因式，得
x(x+1)=0.
于是 x=0，或 x+1=0，
即 x1=0，x2= – 1.
解：左边分解因式，得
x(x–2)=0.
于是 x=0，或 x–2=0，
即 x1=0，x2= 2.
（3）3x2 – 6x = –3；
（4）4x2 – 81 = 0；
解：方程变形，得
3(x2–2x+1)=0.
左边分解因式，得
3(x–1)2=0.
于是 x–1=0，即 x1=x2=1.
解：左边分解因式，得
(2x+9)(2x–9)=0.
于是 2x+9=0，或 2x–9=0，
即 x1= – ，x2= .
（5）3x(2x+1) = 4x+2；
（6）(x–4)2 = (5–2x)2 .
解：方程变形，得
6x2–x–2=0.
左边分解因式，得
(2x+1)(3x–2)=0.
于是2x+1=0，或 3x–2=0，
即 x1= – ，x2= .
解：左边分解因式，得
[(x–4)+(5–2x)][(x–4)–(5–2x)]=0，
(1–x)(3x–9)=0.
于是1–x=0，或 3x–9=0，
即 x1=1，x2=3.
2.如图，把圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4 .求小圆形场地的半径.
解：设小圆形场地的半径为 x m，则大圆形场地的半径为 (x+5) m.
由题意，得π(x+5)2=πx2. 可化为(x+5)2=x2，(x+5)2 – (x)2=0，
[(x+5)+x][(x+5) – x]=0，即(x+5)(5 – x)=0.
所以 x1= –2（不合题意，舍去），x2=10.
答：小圆形场地的半径为10 m.
课堂小结
因式分解法
解一元二次方程
概念
将方程左边因式分解，右边=0.
依据
如果ab=0，那么a=0，或b=0.
步骤
一移，二分，三化，四解.

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