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25.2 降次——解一元二次方程
25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题．
复习回顾
1.一元二次方程的求根公式是什么？
x = （b2–4ac≥0）
2.如何用判别式b2–4ac来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2– 4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当b2– 4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2– 4ac<0时，方程无实数根.
方程的两根x1和x2与系数a，b，c还有其他关系吗？
探索新知
思考：观察求根公式 x = ，它有什么特点？由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？
x1 =
x2 =
m+n
m–n
发现：相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号.
因为 x1 = ，x2 = ，
所以 x1+x2 = + = = – ，
x1x2 = · = = ，
你还有其他方法得出上述关系吗？
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的左边可以分解因式为 a(x–x1)(x–x2)，那么方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2.
反过来，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 x1和 x2，那么 ax2+bx+c = a(x–x1)(x–x2)，
即 ax2+bx+c = ax2–a(x1+x2)x+ax1x2 .
由此可得 –a(x1+x2)=b，ax1x2=c .
因此 x1+x2= – ，x1x2= .
知识要点
一元二次方程的根与系数的关系
若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根，
则 x1+x2= – ，x1x2= .
注意事项
（使用前提）
方程先化为一般式，确定 a，b，c .
a ≠ 0
b2–4ac ≥ 0
例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1）x2–6x–15 = 0；
（2）3x2+7x–9 = 0；
（3）5x–1 = 4x2.
解：（1）x1+x2 = – (–6) = 6，x1x2 = – 15.
（2）x1+x2 = –，x1x2 = = – 3.
（3）方程化为4x2–5x+1=0，所以x1+x2 = – = ，x1x2 = .
牛刀小试
一元二次方程 a b c x1+x2 x1x2
x2+7x+6=0 1 7 6 – 7 6
3x2+2=1–5x 3 5 1 –
x(x–1)=3x+7 1 – 4 – 7 4 – 7
7x2–5=x+8 7 – 1 – 13 –
与一元二次方程有关的代数式的常见变形：
x12 + x22
(x1 – x2)2
+
+
｜x1–x2｜
x1x22 + x12x2
= (x1+x2)2 – 2x1x2
= (x1+x2)2 – 4x1x2
=
=
=
=
= x1x2(x1+x2)
牛刀小试
1.设 x1，x2 是一元二次方程 x2–7x–5=0 的两个实数根，则 + 的值为________.
–
2.设 x1，x2 是方程 2x2+4x–3=0 的两个根，则：
（1）x1x22 + x12x2 =_______；
（2）(x1 – x2)2 =_______.
3
10
随堂练习
1.关于 x 的方程 x2+px+q=0 的根为 x1=1+，x2=1–，则 p=_____，q=_____.
2.已知方程 5x2+kx–6=0 的一根是2，则另一根是_____， k=_____.
– 2
– 1
–
– 7
【选自教材第16页 练习】
（1）x2–3x=15；
（2）3x2+2=1–4x；
3.不解方程，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
解：（1）方程化为 x2–3x–15=0，所以 x1+x2 = – (–3) = 3，x1x2 = – 15.
（2）方程化为 3x2+4x+1=0，所以 x1+x2 = – ，x1x2 = .
（3）5x2–1=4x2–x；
（4）2x2–x+2=3x+1.
解：（3）方程化为 x2+x–1=0，所以 x1+x2 = –1，x1x2 = – 1.
（4）方程化为 2x2–4x+1=0，所以 x1+x2 = – = 2，x1x2 = .
4.若 x1，x2 是方程 x2+2x–100=0 的两个根，求下列式子的值：
（1）x12+x22；（2） + ；（3）(x1–3)(x2–3)；
（4）｜x1–x2｜.
解：依题意有x1+x2= – 2， x1x2= – 100.
（1） x12+x22=(x1+x2)2–2x1x2=(–2)2 – 2×(–100)=204.
（2） + = = = .
4.若 x1，x2 是方程 x2+2x–100=0 的两个根，求下列式子的值：
（1）x12+x22；（2） + ；（3）(x1–3)(x2–3)；
（4）｜x1–x2｜.
解：依题意有x1+x2= – 2， x1x2= – 100.
（3）(x1–3)(x2–3)=x1x2–3(x1+x2)+9= –100–3×(–2)+9= –85.
（4）｜x1–x2｜===2 .
5.已知关于 x 的方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根之和等
于两根之积，求 m 的值.
解：设方程 x2– (2m+3)x+m2=0 的两根为 x1，x2 .
所以 x1+x2=2m+3，x1x2=m2.
根据题意得 m2=2m+3，解得 m1=3，m2= – 1.
当 m=3 时，原方程为 x2–9x+9=0，b2–4ac=45>0.方程有实数根.当 m= – 1时，原方程为 x2–x+1=0，b2–4ac= – 3<0.方程无实数根，此 m 值舍去. 所以 m 的值为3.
课堂小结
一元二次方程的根与系数的关系
先整理成一般式
二次项系数不为0
确定a，b，c的值
Δ=b2–4ac ≥ 0
两根之和等于一次项系数b除以二次项系数a的相反数.
x1+x2= –
两根之积等于常数项c除以二次项系数a.
x1x2=
ax2+bx+c=0 （a≠0）

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