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第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
复习题 25
复习巩固
1.解下列方程：
（1）64x2–1=0；
（2）4x2+12x+9=81；
解：移项，得 64x2=1.
直接开平方，得 8x=±1.
所以 x1= ，x2= – .
解：移项，二次项系数化为1，得 x2+3x–18=0.
左边分解因式，得(x+6)(x–3)=0.
于是 x+6=0，或 x–3=0，
x1= –6 ，x2= 3.
（3）x2–7x–1=0；
（4）2x2+3x=3；
解：因为 a=1，b= – 7，c= – 1.
所以 Δ=b2– 4ac=(–7)2– 4×1×
(–1)=53>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= ，x2= .
解：原方程可化为 2x2+3x–3=0，
此时a=2，b=3，c= – 3.
所以 Δ=b2– 4ac=32– 4×2×(–3)=
33>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= ，x2= .
（5）x2–2x+1=25；
（6）x(2x–5)=4x–10；
解：移项，得 x2–2x–24=0.
左边分解因式，得(x–6)(x+4)=0.
于是 x–6=0，或 x+4=0，
所以 x1= 6 ，x2= – 4.
解：原方程可化为
(2x–5)(x–2)=0.
于是 2x–5=0，或 x–2=0，
所以 x1= ，x2= 2.
（7）x2+5x+7=3x+11；
（6）1–4x+16x2=2–8x .
解：原方程可化为 x2+2x – 4=0.
因为 a=1，b=2，c= – 4.
所以 Δ=b2– 4ac=22– 4×1×(–4)
=20>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = = – 1±，
即 x1= –1+，x2= –1 – .
解：原方程可化为 16x2+4x–1=0，
此时a=16，b=4，c= –1.
所以 Δ=b2– 4ac=42– 4×16×(–1)=
80>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= ，x2= .
2. 解决第2页的问题1.
解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为(100 2x) cm，宽为(50 2x) cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 (100 2x)(50 2x)=3600.
整理并化简，得x2 75x+350=0，因式分解，得(x–5)(x–70)=0.
于是x 5=0，或 x–70=0，所以 x1=5，x2=70（舍去）.
答：矩形铁皮各角应切去边长为 5 cm 的正方形铁皮.
图1
图2
3600 cm2
100 cm
50 cm
3.两个数的和为 8，积为 9.75，求这两个数.
解：设其中一个数为 x，则另一个数为 8 x.
根据题意，得x(8 x)=9.75，
整理，得 x2 8x+9.75=0，
解得 x1=6.5，x2=1.5.
当 x=6.5 时，8 x = 1.5；
当 x=1.5 时，8 x = 6.5.
答：这两个数分别是 6.5 和 1.5 .
4.一个菱形的两条对角线的长相差2，其面积为4，求两条对角线的长.
解：设菱形的两条对角线的长分别为 x，x+2，
由菱形的性质，可知 x(x+2)=4.
解方程，得 x1=2，x2= 4（不合题意，舍去）.
答：菱形的两条对角线的长分别为 2，4.
5.求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1）x2–5x–10=0；
（2）2x2+7x+1=0；
解：（1）x1+x2 = – (–5) = 5，x1x2 = – 10.
（3）3x2–1=2x+5；
（4）x(x–1)=3x+7.
（2）x1+x2 = – ，x1x2 = .
（3）方程化为 3x2–2x–6=0，所以 x1+x2= – =，x1x2 = = –2.
（4）方程化为 x2–4x–7=0，所以 x1+x2=4，x1x2 = –7.
6.已知关于 x 的方程 2x2–(4k+1)x+2k2–1=0，当 k 为何值时，方程有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？
综合运用
解：由题可知，a=2，b= – (4k+1)，c=2k2–1.
由根的判别式，得Δ=b2–4ac=(4k+1)2–4×2×(2k2–1)=8k+9.
所以，当 8k+9>0，即 k > – 时，方程有两个不相等的实数根；
当 8k+9=0，即 k= – 时，方程有两个相等的实数根；
当 8k+9<0，即 k < – 时，方程没有实数根.
7.一个直角梯形的下底比上底长 2cm，高比上底短 1cm，面积是 8cm2.画出这个梯形.
解：设梯形的上底长为 x cm，
则其下底长为(x+2)cm，高为(x–1)cm.
根据题意，得 [x+(x+2)](x–1)=8，
整理，得 x2=9. 解得x1=3，x2= –3（不合题意，舍去）.
所以 x=3，x+2=5，x–1=2.
画出这个直角梯形如图所示.
8.一个长方体的长与宽的比为 5∶2，高为 5cm，表面积为40cm2.画出这个长方体的展开图.
解：设这个长方体的长为 5x cm，则宽为 2x cm.
根据题意，得2(5x·5+2x·5+5x·2x)=40，整理，得2x2+7x–4=0，
解得 x1= ，x2= –4.
因为长方体的边长不能为负数，
所以 x = –4不合题意，舍去，所以 x = .
所以这个长方体的长为 5x=2.5（cm），宽为 2x=1（cm）.
所以这个长方体的展开图如图所示.
（注意：长方体的侧面展开图不唯一，可由题意自行画出）
9.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
解：设应邀请 x 个球队参加比赛.
由题意，可知 x(x–1)=15，x2–x–30=0，
解得 x1=6，x2= –5（不合题意，舍去）.
所以 x = 6.
答：应邀请6个球队参加比赛.
10.如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用 20m 长的篱笆围成一个面积为 48 m2 的矩形菜园？
解：设与墙垂直的篱笆长为 x m，则与墙平行的篱笆长为 (20–2x) m.
根据题意，得 x(20–2x)=48，
整理，得 x2–10x+24=0，
解得 x1=6，x2=4，所以 20–2x=8或12.
答：用 20m 长的篱笆围成一个长为 8m，宽为 6m 的矩形或长为 12m，宽为 4m.
11. 某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由1.75% 降至 1.50%.平均每次降息的百分率是多少（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）？
解：设平均每次降息的百分率为 x.
根据题意，得 1.75%(1–x)2=1.50%.
整理，得 (1–x)2= ，解得 x1≈0.0742，x2≈1.9258.
因为降息的百分率不能大于1，所以 x≈1.9258不合题意，舍去.
所以 x≈0.0742=7.42%.
答：平均每次降息的百分率约是7.42%.
12. 绿水村 2020 年的人均收入为 18000 元，2022 年的人均收入为 21000 元. 求人均收入的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）.
解：设人均收入的年平均增长率为 x.
由题意，可知 18000(1+x)2=21000，解得x=± –1，
所以 x1≈0.0801，x2≈ – 2.1. 又因为 x= – 2.1 不合题意，舍去，
所以 x=8.01%.
答：人均收入的年平均增长率为8.01%.
拓广探索
13.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图.其问题如下：今有圭垛一堆，上一束，底宽八束.问共几束？
（1）你能解决这个问题吗？
解：由题意，得第1行共有1束；前2行共有1+2=3束；前3行共有1+2+3=6束；
所以前n行共有1+2+3+ +(n–2)+(n–1)+n=n(n+1)束.
当n=8时，n(n+1)=36束.
（2）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第 n 行有 n
束……你能发现从上往下前行的数的和是 300 吗？（提
示：1+2+3+ +(n–2)+(n–1)+n=n(n+1).）
解：当 n(n+1)=300时，解得x1=24，x2= –25（不合题意，舍去）.
所以，从上往下数，前24行的束数的和是300.
14. 一个小球以 5m/s 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s 后小球停止滚动.
（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（2）小球滚动 5m 用了多少秒（结果保留小数点后一位）？
（提示：匀速直线运动中，每个时间段内的平均速度 =（初速度与末速度的算术平均数）与路程 l ，时间 t 的关系为 l=vt.）
解：（1）5÷4=1.25（m/s）.
答：小球的滚动速度平均每秒减少 1.25 m/s.
（2）设小球滚动 5 m 用了t s，
则可列方程 ·t =5，解得 t=4±2.
因为 t<4，所以 t=4–2≈1.2.
答：小球滚动 5 m 约用了1.2 s.

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