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章末复习
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
复习目标
1.梳理本章的知识结构网络，回顾与复习本章知识.
2.能选择适当的方法，快速、准确地解一元二次方程，知道一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，并能利用它们解决有关问题.
3.列一元二次方程解决实际问题．
4.进一步加深对方程思想、分类思想、转化思想（即降次）的理解与运用.
本章知识结构图
实际问题
一元二次方程
ax2+bx+c=0
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
x =
实际问题的答案
设未知数，列方程
解方程
降 次
配方法
公式法
因式分解法
复习回顾
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程.
2.一般形式：
ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）
a
二次项系数
b
一次项系数
c
常数项
1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. x2+=0 B. ax2+bx+c=0
C. (x–1)(x+2)=1 D. 3x2–2xy=0
2.方程 5x2–x–3=x2–3+x 的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____.
C
4
–2
0
3.已知关于x的一元二次方程 (a–1)x2+x+a2–1=0 的常数项为 0，则 a 的值为（ ）
A. 1 B. – 1 C. 1或– 1 D. 0.5
B
4.若关于x的方程 (m–1)x2+mx–1=0 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
A
知识点2 一元二次方程的解法
一元二次方程的解法及适用类型：
解法 适用的方程类型
直接开平方法 x2=p或 (mx+n)2=p (m≠0，p≥0)
配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程
公式法 所有的一元二次方程
因式分解法 一边化为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程
知识点3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定.
ax2+bx+c=0 (a≠0)
b2–4ac>0
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
无实数根
b2–4ac=0
b2–4ac<0
b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
1.若 9x2–(k+2)x+4 是完全平方式，则 k =（ ）
A. 10 B. 10或14 C. –10或14 D. 10或–14
D
2.已知三角形两边长为 2 和 6，第三边长是方程
x2–10x+21=0 的解，则这个三角形的第三边长为_____.
7
3.下列方程中，有两不等实根的是（ ）
A. x2–2x–1=0 B. x2–2x+3=0
C. x2=2x–3 D. x2–4x+4=0
4.已知关于 x 的方程 x2+4x+k=0 有两个同号的实数根，则 k 的取值范围是__________.
A
05.用适当方法解下列方程：
（1）(x–3)2–49=0；
（2）x2 –6x–18=0；
解：移项，得 (x–3)2=49，
由此可得 x–3=±7，
即 x1=10， x2= –4.
解：移项，得 x2–6x=18.
配方，得x2–6x+32=18+32，
(x–3)2=27.
由此可得 x–3=±，
即x1=3+，x2=3–.
（3）–2x2+5x= –3；
（4）(x–3)2=6–2x.
解：方程化为 –2x2+5x+3=0，
此时a= –2，b=5，c=3.
所以 Δ=b2–4ac=52–4×(–2)×3=49>0.
方程有两个不相等的实数根
x = = = ，
即 x1= 3，x2= – .
解：方程变形，得
(x–3)2+2(x–3)=0.
左边分解因式，得
(x–3)(x–3+2)=0，
即(x–3)(x–1)=0.
于是 x–3=0，或 x–1=0，
即 x1= 3，x2= 1.
知识点4 一元二次方程根与系数的关系
若 x1，x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的两个根，
则 x1+x2= – ，x1x2= .
注意事项
（使用前提）
方程先化为一般式，确定 a，b，c .
a ≠ 0
b2–4ac ≥ 0
1.若方程 x2–x–2=0 的两个根是 x1和x2，则 x12x2+x1x22的值为（ ）
A. –1 B. 1 C. –2 D. 2
C
2.若一元二次方程 2x2–6x–1=0 的两个根为 a，b，则 2a2 –3a+3b 的值为_______.
10
3.设 x1，x2 是方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 的两个实数根，且满足 x12+x22+x1x2–17=0，求 m 的值.
解：由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2= –(2m+1)，x1x2=m2–1，所以 x12+x22+x1x2–17=(x1+x2)2–x1x2–17=[–(2m+1)]2–(m2–1)–17=0，即 3m2+4m–15=0，解得 m1= ，m2= –3.
因为方程 x2+(2m+1)x+m2–1=0 有两个实数根，
所以 Δ=(2m+1)2– 4(m2–1)≥0.
所以4m+5≥0，解得 m ≥ – . 所以 m 的值为 .
知识点5 一元二次方程的应用
1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系；
2. 设：设未知数；
3. 列：根据等量关系列出方程；
4. 解：解方程；
5. 验：检验解在实际问题中是否有意义；
6. 答：写出实际问题的答案.
一元二次方程几种常见问题：
知识点5 一元二次方程的应用
一元二次方程几种常见问题：
1.数字问题
2.几何图形问题
3.传播问题
4.平均变化率问题
5.循环问题
6.销售问题
1.一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大 3，则这个两位数是 __________.
25或36
2.一个农户用 24m 长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍（如图）. 若要使鸡舍的总面积为 36m2，则每个鸡舍的长为_____m，宽为_____m.
4
3
3.向阳村 2010 年的人均收入为 12000 元，2012 年的人均收入为 14520 元. 求人均收入的年平均增长率.
解：设人均收入的年平均增长率为 x .
由题意，可知 12000(1+x)2=14520，
解得 x+1=±1.1，
所以 x1=0.1= 10% ，x2= –2.1.
又因为 x = – 2.1不合题意，舍去，所以 x=10%.
答：人均收入的年平均增长率为 10%.
4.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
解：设应邀请 x 个球队参加比赛.
由题意，可知 x(x–1)= 15，x2–x–30=0，解得 x1=6，x2= – 5.
因为球队个数不能为负数，所以 x= – 5不合题意，应舍去.
所以 x=6.
答：应邀请6个球队参加比赛.
5. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？
解：设每台冰箱降价 50x 元.
根据题意，可知 (400 50x)(8+4x)=5000，x2 6x+9=0，
解得 x1=x2=3.
所以每台冰箱降价 50x=50×3=150（元）.
答：每台冰箱的定价应为 2750 元.
课堂小结
通过本节课的复习，你还有哪些疑惑？

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