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25.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 循环问题与销售问题
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.熟练掌握列一元二次方程解应用题.
2.掌握循环、销售等问题的常见应用题解法.
3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
复习回顾
问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？
解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程
x(x 1) = 28.
整理并化简，得 x2 x 56 = 0.
解方程，得 x1=8，x2= –7（不合题意，舍去）.
答：组织者应邀请 8 支球队参赛.
探索新知
探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？
每两支球队之间比赛2场.
分析：如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n–1).
假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为 300，那么
n(n–1)=300.
解方程，得 n = .
由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.
因此，总场数不可能为300，这个人算得不对.
变式训练
1. 某县团委倡导“我运动，我健康，我快乐”的生活方式，准备组织一次共青团员青年足球赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件限制，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，则该县团委应邀请多少支足球队参赛？
解：设该县团委应邀请 x 支足球队参赛.
根据题意，得 x(x 1)=9×5.
解得 x1= 9（不符合题意，舍去），x2=10.
答：该县团委应邀请 10 支足球队参赛.
变式训练
2. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？
【选自教材第23页 练习 第1题】
解：由题意，得 n(n 1)=10.
解方程，得 n1=5，n2= 4（不合题意，舍去）.
答：共有5人参加聚会.
知识要点
循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下：
类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数
单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场） n(n 1)
双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、比赛问题（每两队之间赛两场） n(n 1)
探究4 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？
分析：设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元.
每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元
原来 40 20 40×20
现在 40 x 20+2x (40 x)(20+2x)
每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元
原来 40 20 40×20
现在 40 x 20+2x (40 x)(20+2x)
解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元.
根据题意，得(40 x)(20+2x)= 1200.
整理，得 x2 30x+200=0. 解得x1=10，x2=20.
因为要求每件盈利不少于25元，所以40 x≥25，解得 x≤15.
所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10.
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元.
变式训练
3.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在平台上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5 元，日销售量增加 10 件.若日销售利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
解：设每件售价应定为 x 元，则每件的利润为 (x 40) 元，日销售量为 20 + = (140 2x) 件.
依题意，得(x 40)(140 2x)=(60 40)×20.
整理，得x2 110x+3000=0.
解得x1=50，x2=60（不合题意，舍去）.
答：每件售价应定为50元.
知识要点
销售问题中常见的几个等量关系：
（1）利润 = 售价 进价；
（2）利润率 = ×100% = ×100%；
（3）售价 = 进价×（1+利润率）；
（4）总利润 = 总售价 总成本=单件利润×销售总量.
随堂练习
1.生物兴趣小的学生组，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有_____名学生.
2.已知平面上有 n 个点，其中任意3个点都不在一条直线上.小王经过每两点画一条直线，共画了171条直线，则该平面上共有_____个点.
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3.一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由.
解：设这个凸多边形的边数为n（n为正整数），则其对角线有 条.
当 = 20 时，解得 n1=8，n2= 5（不合题意，舍去）；
当 = 18 时，解得 n = （均不合题意，舍去）.
答：有20条对角线的凸多边形是八边形，不存在有这条对角线的多边形.
【选自教材第23页 练习 第2题】
4.某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价 x（单位：元/个）与每天销售量 y（单位：个）的对应值如下表：
x（元/个） … 52 53 54 55 …
y/个 … 760 740 720 700 …
（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当售价定为每个多少元时，每天的利润可达到 6000 元
x（元/个） … 52 53 54 55 …
y/个 … 760 740 720 700 …
解：（1）由表格数据可知，y 与 x 满足一次函数关系，设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b (k≠0).
将(52, 760)，(53, 740)代入 y=kx+b，得解得因为成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，所以 50≤ x ≤75，
所以y关于x的函数解析式为 y = 20x+1800（50≤ x ≤75）.
x（元/个） … 52 53 54 55 …
y/个 … 760 740 720 700 …
（2）根据题意，得(x 50)( 20x+1800)=6000.
解得 x1=60，x2=80（不符合题意，舍去）.
答：当售价定为每个60元时，每天的利润可达到 6000 元.
课堂小结
本节课学习了循环、销售与一元二次方程的问题，你有哪些收获呢？请同学们谈一谈.

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